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Geraden und Winkel am Kreis
Kreis und Tangente
Tangenten im Alltag:
Tangenten haben bei allen Kreisbewegungen eine besondere Bedeutung, egal ob
dies Fahrten im Karussell sind, die Funken beim Schleifen mit einer Drehscheibe
oder im Sport ein Hammer oder ein Diskus aus der Drehbewegung heraus
geworfen wird. Bevor du eine Anwendung näher kennenlernen kannst, sollst du
dir zunächst einiges überlegen und ausprobieren.
1. Eine verschiebbare Sekante
A ) Vorbereitung:
Führe folgende Konstruktionsschritte durch. Benenne nach jedem
Konstruktionsschritt die neu hinzugekommenen Punkte, um den Überblick zu
behalten:
1. Zeichne einen Kreis k mit beliebigen Radius um einen Mittelpunkt M
2. Wähle einen beliebigen Punkt T, der auf dem Kreis liegt, aus und zeichne
die Stecke [MT]. (Wie nennt man diese Strecke?)
3. Zeichne einen Punkt A so, dass
- A außerhalb des Kreises liegt und
- die Gerade TA eine Sekante ist.
4. Markiere den zweiten Schnittpunkt von TA mit dem Kreis k und benenne
ihn mit S.
5. Lass den Winkel MTA anzeigen. (Eventuell ATM, der Winkel soll kleiner als
90° sein)
B ) Neuigkeiten entdecken
Nun sollst du mit Hilfe der Zeichnung einen neuen Satz herausfinden, der uns
bei anderen Problemstellungen helfen kann.
i. Packe den Punkt A mit der Zange und verschiebe ihn so, dass sich der
Punkt S auf den Punkt T zubewegt. Beobachte dabei den Winkel MTA.
ii. Eine Position von A ergibt einen besonderen Fall. Betrachte ihn genau.
(Betrachte nur den Bereich 0°< Winkel MTA <180°)
Geraden und Winkel am Kreis
Kreis und Tangente
Tangenten im Alltag:
Tangenten haben bei allen Kreisbewegungen eine besondere Bedeutung, egal ob
dies Fahrten im Karussell sind, die Funken beim Schleifen mit einer Drehscheibe
oder im Sport ein Hammer oder ein Diskus aus der Drehbewegung heraus
geworfen wird. Bevor du eine Anwendung näher kennenlernen kannst, sollst du
dir zunächst einiges überlegen und ausprobieren.
1. Eine verschiebbare Sekante
A ) Vorbereitung:
Führe folgende Konstruktionsschritte durch. Benenne nach jedem
Konstruktionsschritt die neu hinzugekommenen Punkte, um den Überblick zu
behalten:
1. Zeichne einen Kreis k mit beliebigen Radius um einen Mittelpunkt M
2. Wähle einen beliebigen Punkt T, der auf dem Kreis liegt, aus und zeichne
die Stecke [MT]. (Wie nennt man diese Strecke?)
3. Zeichne einen Punkt A so, dass
- A außerhalb des Kreises liegt und
- die Gerade TA eine Sekante ist.
4. Markiere den zweiten Schnittpunkt von TA mit dem Kreis k und benenne
ihn mit S.
5. Lass den Winkel MTA anzeigen. (Eventuell ATM, der Winkel soll kleiner als
90° sein)
B ) Neuigkeiten entdecken
Nun sollst du mit Hilfe der Zeichnung einen neuen Satz herausfinden, der uns
bei anderen Problemstellungen helfen kann.
i. Packe den Punkt A mit der Zange und verschiebe ihn so, dass sich der
Punkt S auf den Punkt T zubewegt. Beobachte dabei den Winkel MTA.
ii. Eine Position von A ergibt einen besonderen Fall. Betrachte ihn genau.
(Betrachte nur den Bereich 0°< Winkel MTA <180°)
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Fasse das Ergebnis zusammen, indem du folgende Tabelle ins Heft oder ein
Worddokument überträgst und dort ergänzt!
Lagebeziehung zw. S und
T
Winkel
MTA
Lagebez. zw. Kreis k und Gerade
TA
Gerade TA ist eine
S = T Gerade TA ist eine
Gerade TA ist eine
2a ) Lot auf dem Radius eines Kreises
Vorbereitung:
Führe folgende Konstruktionsschritte durch. Benenne nach jedem
Konstruktionsschritt die neu hinzugekommenen Punkte, um den Überblick zu
behalten:
1. Zeichne einen Kreis k mit beliebigen Radius um einen Mittelpunkt M
2. Wähle einen beliebigen Punkt T, der auf dem Kreis liegt, aus und zeichne
die Stecke [MT]. (Achte darauf, dass die Form des Punktes T KEIN
ausgefüllter Kreis ist, dies ist wichtig für Aufgabe2).
3. Zeichne das Lot t auf die Stecke [MT] durch den Punkt T
Tipp: IN Euklid kannst du ein Lot über das Menü Konstruktion -->
Lot/Senkrechte oder das Symbol erstellen. Du musst zuerst den
Punkt durch den das Lot gehen soll anklicken, danach die Gerade bzw.
Strecke auf der das Lot stehen soll.
4. Trage den rechten Winkel zwischen dem Lot t und [MT] ein. (TIPP: Um
über einen Winkel anzeigen zu können benötigst du drei Punkte. Es
reicht NICHT mit der Maus ungefähr auf das Lot zu zielen! Du erhältst
den Punkt auf einer Linie über Zeichnen--> Punkt auf einer Linie oder über
die Ikone bei der Symbolleiste "Konstruieren".)
2b ) Neuigkeiten entdecken
Beantworte folgende Frage (ins Heft bzw. Worddokument):
Wie viele Schnittpunkte hat das Lot mit dem Kreis? Wie nennt man also die
Gerade t in Bezug zum Kreis?
Hast du die Antwort auf die beiden Fragen? Du kannst die Korrektheit in deiner
Fasse das Ergebnis zusammen, indem du folgende Tabelle ins Heft oder ein
Worddokument überträgst und dort ergänzt!
Lagebeziehung zw. S und
T
Winkel
MTA
Lagebez. zw. Kreis k und Gerade
TA
Gerade TA ist eine
S = T Gerade TA ist eine
Gerade TA ist eine
2a ) Lot auf dem Radius eines Kreises
Vorbereitung:
Führe folgende Konstruktionsschritte durch. Benenne nach jedem
Konstruktionsschritt die neu hinzugekommenen Punkte, um den Überblick zu
behalten:
1. Zeichne einen Kreis k mit beliebigen Radius um einen Mittelpunkt M
2. Wähle einen beliebigen Punkt T, der auf dem Kreis liegt, aus und zeichne
die Stecke [MT]. (Achte darauf, dass die Form des Punktes T KEIN
ausgefüllter Kreis ist, dies ist wichtig für Aufgabe2).
3. Zeichne das Lot t auf die Stecke [MT] durch den Punkt T
Tipp: IN Euklid kannst du ein Lot über das Menü Konstruktion -->
Lot/Senkrechte oder das Symbol erstellen. Du musst zuerst den
Punkt durch den das Lot gehen soll anklicken, danach die Gerade bzw.
Strecke auf der das Lot stehen soll.
4. Trage den rechten Winkel zwischen dem Lot t und [MT] ein. (TIPP: Um
über einen Winkel anzeigen zu können benötigst du drei Punkte. Es
reicht NICHT mit der Maus ungefähr auf das Lot zu zielen! Du erhältst
den Punkt auf einer Linie über Zeichnen--> Punkt auf einer Linie oder über
die Ikone bei der Symbolleiste "Konstruieren".)
2b ) Neuigkeiten entdecken
Beantworte folgende Frage (ins Heft bzw. Worddokument):
Wie viele Schnittpunkte hat das Lot mit dem Kreis? Wie nennt man also die
Gerade t in Bezug zum Kreis?
Hast du die Antwort auf die beiden Fragen? Du kannst die Korrektheit in deiner
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Euklid-Datei selbst überprüfen, indem du in Euklid den/die Schnittpunkt/e von
dem Lot mit dem Kreis anzeigen lässt. Es kann sein, dass sich nicht viel in deiner
Zeichnung ändert. Beachte jedoch die Form der Punkte. Schnittpunkte werden in
Euklid zunächst immer als ausgefüllte Kreise symbolisiert)
3. ) Zusammenfassung - Satz von der Tangente
a) und b) haben natürlich etwas miteinander zu tun. Aus den beiden Ergebnissen
lässt sich der Satz der Tangente formulieren. Die Voraussetzung ist dabei
hinreichend und notwendig (eine Richtung ist a) die andere Richtung ist b))
Aufgabe: Neuigkeiten zusammenfassen und strukturieren
Versuche den Satz der Tangente zu formulieren.
4. ) Konstruktion der Tangente
Der Satz von der Tangente ermöglicht die Konstruktion von Tangenten bei
verschiedenen Aufgabenstellungen. Es gibt drei Typen von Aufgabenstellungen.
Aufgabe: Neuigkeiten anwenden
4a) Aufgabentyp (leicht): Wie konstruiert man die Tangente in einem
gegebenen Berührpunkt B?
konkrete Aufgabe: Konstruiere die Tangente an den Kreis k(M; 5 cm) mit M(-
1/3) durch den Berührpunkt B(3/0).
Tipp zu Euklid: Ein Punkt lässt sich über die Ikone (Reiter Konstruktion)
durch Koordinaten festlegen. Das Koordinatensystem lässt sich über die Ikone
(Reiter Messen & Rechnen) sichtbar machen. Liegt der Teil, den du
zeichnen sollst sehr am Rand, kannst du den Ursprung des Koordinatensystems
mit gedrückter linker Maustaste verschieben.
Tipp: Hast du dir eine Skizze zur Problemstellung gemacht?
Denke an den Satz von der Tangente! (bzw. an Aufgabe 2)
4b) Aufgabentyp (mittel): Wie konstruiert man die Tangenten parallel zu einer
gegebenen Geraden g?
konkrete Aufgabe: Konstruiere die Tangenten an den Kreis k(M; 3cm) mit M(-
4/-2) parallel zur Gerade AB mit A(3/-2) und B(0/4).
Euklid-Datei selbst überprüfen, indem du in Euklid den/die Schnittpunkt/e von
dem Lot mit dem Kreis anzeigen lässt. Es kann sein, dass sich nicht viel in deiner
Zeichnung ändert. Beachte jedoch die Form der Punkte. Schnittpunkte werden in
Euklid zunächst immer als ausgefüllte Kreise symbolisiert)
3. ) Zusammenfassung - Satz von der Tangente
a) und b) haben natürlich etwas miteinander zu tun. Aus den beiden Ergebnissen
lässt sich der Satz der Tangente formulieren. Die Voraussetzung ist dabei
hinreichend und notwendig (eine Richtung ist a) die andere Richtung ist b))
Aufgabe: Neuigkeiten zusammenfassen und strukturieren
Versuche den Satz der Tangente zu formulieren.
4. ) Konstruktion der Tangente
Der Satz von der Tangente ermöglicht die Konstruktion von Tangenten bei
verschiedenen Aufgabenstellungen. Es gibt drei Typen von Aufgabenstellungen.
Aufgabe: Neuigkeiten anwenden
4a) Aufgabentyp (leicht): Wie konstruiert man die Tangente in einem
gegebenen Berührpunkt B?
konkrete Aufgabe: Konstruiere die Tangente an den Kreis k(M; 5 cm) mit M(-
1/3) durch den Berührpunkt B(3/0).
Tipp zu Euklid: Ein Punkt lässt sich über die Ikone (Reiter Konstruktion)
durch Koordinaten festlegen. Das Koordinatensystem lässt sich über die Ikone
(Reiter Messen & Rechnen) sichtbar machen. Liegt der Teil, den du
zeichnen sollst sehr am Rand, kannst du den Ursprung des Koordinatensystems
mit gedrückter linker Maustaste verschieben.
Tipp: Hast du dir eine Skizze zur Problemstellung gemacht?
Denke an den Satz von der Tangente! (bzw. an Aufgabe 2)
4b) Aufgabentyp (mittel): Wie konstruiert man die Tangenten parallel zu einer
gegebenen Geraden g?
konkrete Aufgabe: Konstruiere die Tangenten an den Kreis k(M; 3cm) mit M(-
4/-2) parallel zur Gerade AB mit A(3/-2) und B(0/4).
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Tipp:
Hast du dir eine Skizze zur Problemstellung gemacht?
Das Problem wäre gelöst, wenn du die passenden Berührpunkte finden
würdest, denn dann kannst du Vorgehen wie bei Aufgabe 4i.
Überlege welche Eigenschaften die Berührpunkte erfüllen müssen!
Noch n Tipp: Die Berührpunkte müssen folgende Eigenschaften erfüllen:
• Sie müssen auf dem Kreis liegen.
• Sie sind der Endpunkt des Radius, der senkrecht auf die gesuchte
Tangente steht. Da g parallel zur gesuchten Tangente liegt, muss die
Verlängerung und des Radius auch senkrecht auf g stehen!
4c) Aufgabentyp (schwer): Wie konstruiert man die Tangenten durch einen
gegebenen Punkt A außerhalb des Kreises?
konkrete Aufgabe: Konstruiere die Tangenten an den Kreis k(M; 4cm) mit
M(6/5) durch den Punkt A(12/4).
Tipp: Hast du dir eine Skizze zur Problemstellung gemacht?
Das Problem wäre gelöst, wenn du die passenden Berührpunkte finden
würdest, denn dann kannst du Vorgehen wie bei Aufgabe 4i.
Überlege welche Eigenschaften die Berührpunkte erfüllen müssen!
Noch n Tipp: Die Berührpunkte müssen folgende Eigenschaften erfüllen:
Sie müssen auf dem Kreis liegen.
Sie sind der Endpunkt des Radius, der senkrecht auf die gesuchte Tangente
steht.
Damit kommen wir noch nicht viel weiter. Deshalb ein ganz anderer Tipp:
Es gibt wieder zwei Tangenten als Lösungen, dementsprechend auch zwei
Berührpunkte T1 und T2.
Suche eine Symmetrieachse bezüglich der die beiden Punkte T1 und T2
symmetrisch zueinander sind.
Noch n Tipp: Die Geraden MA ist die Symmetrieachse der Punkte T1 und T2.
symmetrisch zueinander.
In der Abbildung rechts ist die Strecke MA eingezeichnet. Wie groß ist der
Winkel MT1A bzw. MT2A. Zeichne ihn in die Skizze ein. Schau es dir genau an.
Erinnere dich vielleicht an die 7. Klasse (Grundwissen, das wir bereits
wiederholt haben, etwas ganz bekanntes!)
Letzter Tipp: Die beiden Winkel MT1A bzw. MT2A sind 90°.
Der Satz des Thales hilft!
Tipp:
Hast du dir eine Skizze zur Problemstellung gemacht?
Das Problem wäre gelöst, wenn du die passenden Berührpunkte finden
würdest, denn dann kannst du Vorgehen wie bei Aufgabe 4i.
Überlege welche Eigenschaften die Berührpunkte erfüllen müssen!
Noch n Tipp: Die Berührpunkte müssen folgende Eigenschaften erfüllen:
• Sie müssen auf dem Kreis liegen.
• Sie sind der Endpunkt des Radius, der senkrecht auf die gesuchte
Tangente steht. Da g parallel zur gesuchten Tangente liegt, muss die
Verlängerung und des Radius auch senkrecht auf g stehen!
4c) Aufgabentyp (schwer): Wie konstruiert man die Tangenten durch einen
gegebenen Punkt A außerhalb des Kreises?
konkrete Aufgabe: Konstruiere die Tangenten an den Kreis k(M; 4cm) mit
M(6/5) durch den Punkt A(12/4).
Tipp: Hast du dir eine Skizze zur Problemstellung gemacht?
Das Problem wäre gelöst, wenn du die passenden Berührpunkte finden
würdest, denn dann kannst du Vorgehen wie bei Aufgabe 4i.
Überlege welche Eigenschaften die Berührpunkte erfüllen müssen!
Noch n Tipp: Die Berührpunkte müssen folgende Eigenschaften erfüllen:
Sie müssen auf dem Kreis liegen.
Sie sind der Endpunkt des Radius, der senkrecht auf die gesuchte Tangente
steht.
Damit kommen wir noch nicht viel weiter. Deshalb ein ganz anderer Tipp:
Es gibt wieder zwei Tangenten als Lösungen, dementsprechend auch zwei
Berührpunkte T1 und T2.
Suche eine Symmetrieachse bezüglich der die beiden Punkte T1 und T2
symmetrisch zueinander sind.
Noch n Tipp: Die Geraden MA ist die Symmetrieachse der Punkte T1 und T2.
symmetrisch zueinander.
In der Abbildung rechts ist die Strecke MA eingezeichnet. Wie groß ist der
Winkel MT1A bzw. MT2A. Zeichne ihn in die Skizze ein. Schau es dir genau an.
Erinnere dich vielleicht an die 7. Klasse (Grundwissen, das wir bereits
wiederholt haben, etwas ganz bekanntes!)
Letzter Tipp: Die beiden Winkel MT1A bzw. MT2A sind 90°.
Der Satz des Thales hilft!
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5. Tangentenabschnitt und Berührsehne
Mehr oder weniger zum Abschluss des Kapitels noch zwei Namensfestlegungen.
Solche Festlegungen sind völlig normal, wenn man eine "Sache" öfter verwendet.
Betrachte folgende Abbildung. Es ist die Lösung von Aufgabe 4, jedoch ohne die
Hilfslinien der Konstruktion.
Die beiden blauen Strecken [T1A] und [T2A] nennt man Tangentenabschnitte.
Die rosa Strecke [T1T2] nennt man Berührsehne.
Aufgabe: Eigenschaften von Tangentenabschnitte und Berührsehne
a) Übertrage die Graphik und die obige Namensdefinition in deinen Heft. Erkläre
warum die Namen genau so gewählt wurden (und nicht z.B. ein
Rosawunderschönlinie heißt).
b) Versuche verschiedene Eigenschaften von den Tangentenabschnitten und der
Berührsehne zu finden. Begründe diese Eigenschaften
Tipp: Betrachte genau die Abbildung! Welche besondere Eigenschaft hat die
Gerade MA bezüglich der Punkte und T1 und T2?
Noch n Tipp: MA ist Symmetrieachse!!!
Die Eigenschaften der Achsensymmetrie (Grundwissen!) liefern dir genau die
gesuchten Eigenschaften!
5. Tangentenabschnitt und Berührsehne
Mehr oder weniger zum Abschluss des Kapitels noch zwei Namensfestlegungen.
Solche Festlegungen sind völlig normal, wenn man eine "Sache" öfter verwendet.
Betrachte folgende Abbildung. Es ist die Lösung von Aufgabe 4, jedoch ohne die
Hilfslinien der Konstruktion.
Die beiden blauen Strecken [T1A] und [T2A] nennt man Tangentenabschnitte.
Die rosa Strecke [T1T2] nennt man Berührsehne.
Aufgabe: Eigenschaften von Tangentenabschnitte und Berührsehne
a) Übertrage die Graphik und die obige Namensdefinition in deinen Heft. Erkläre
warum die Namen genau so gewählt wurden (und nicht z.B. ein
Rosawunderschönlinie heißt).
b) Versuche verschiedene Eigenschaften von den Tangentenabschnitten und der
Berührsehne zu finden. Begründe diese Eigenschaften
Tipp: Betrachte genau die Abbildung! Welche besondere Eigenschaft hat die
Gerade MA bezüglich der Punkte und T1 und T2?
Noch n Tipp: MA ist Symmetrieachse!!!
Die Eigenschaften der Achsensymmetrie (Grundwissen!) liefern dir genau die
gesuchten Eigenschaften!
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Lösungen
1) a) Eine verschiebbare Sekante
So sollte deine Zeichnung aussehen, wenn du alle Schritte der Vorbereitung
durchgeführt hast:
2a) Lot auf dem Radius eines Kreises
So sollte deine Zeichnung aussehen, wenn du alle Schritte der Vorbereitung
durchgeführt hast:
3.) Zusammenfassung - Satz von der Tangente
Eine Gerade t durch einen Punkt T k(M;r) ist genau dann Tangente, wenn
t MT ist, d.h., wenn die Gerade und der zugehörige Radius senkrecht
zueinander stehen.
Lösungen
1) a) Eine verschiebbare Sekante
So sollte deine Zeichnung aussehen, wenn du alle Schritte der Vorbereitung
durchgeführt hast:
2a) Lot auf dem Radius eines Kreises
So sollte deine Zeichnung aussehen, wenn du alle Schritte der Vorbereitung
durchgeführt hast:
3.) Zusammenfassung - Satz von der Tangente
Eine Gerade t durch einen Punkt T k(M;r) ist genau dann Tangente, wenn
t MT ist, d.h., wenn die Gerade und der zugehörige Radius senkrecht
zueinander stehen.
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4. ) Konstruktion der Tangente
4a) allgemeine Lösungsstrategie:
• Die gesuchten Tangenten ist das Lot auf den Radius durch den Berührpunkt T
4a) Lösung der konkreten Aufgabe:
4b) allgemeine Lösungsstrategie:
• Konstruiere das Lot l zu g durch den Mittelpunkt M. Es schneidet den Kreis in
den (Berühr-)Punkten T1 und T2.
• Die gesuchten Tangenten stehen senkrecht auf dem Lot l durch den
Mittelpunkt in den Punkten T1 und T2.
• (oder die Parallelen zu g durch T1 und T2 sind die gesuchten Tangenten)
4b) Lösung der konkreten Aufgabe:
4c) allgemeine Lösungsstrategie:
• Konstruiere über [MA] den Thaleskreis
• Die Schnittpunkte des Thaleskreises mit dem Kreis k sind die Berührpunkte T1
und T2.
• Die Geraden AT1 und AT2 sind die gesuchten Tangenten
4. ) Konstruktion der Tangente
4a) allgemeine Lösungsstrategie:
• Die gesuchten Tangenten ist das Lot auf den Radius durch den Berührpunkt T
4a) Lösung der konkreten Aufgabe:
4b) allgemeine Lösungsstrategie:
• Konstruiere das Lot l zu g durch den Mittelpunkt M. Es schneidet den Kreis in
den (Berühr-)Punkten T1 und T2.
• Die gesuchten Tangenten stehen senkrecht auf dem Lot l durch den
Mittelpunkt in den Punkten T1 und T2.
• (oder die Parallelen zu g durch T1 und T2 sind die gesuchten Tangenten)
4b) Lösung der konkreten Aufgabe:
4c) allgemeine Lösungsstrategie:
• Konstruiere über [MA] den Thaleskreis
• Die Schnittpunkte des Thaleskreises mit dem Kreis k sind die Berührpunkte T1
und T2.
• Die Geraden AT1 und AT2 sind die gesuchten Tangenten
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Lösung der konkreten Aufgabe:
• Die beiden Tangentenabschnitte [T1A] und [T2A] sind gleich lang.
Begründung: T1und T2 sind symmetrisch zur Achse MA. Symmetrische Punkte
sind zu jedem beliebigen Punkt auf der Achse gleich weit entfernt.
• Die Berührsehne [T1T2] steht senkrecht auf der Achse und wird durch die
Achse halbiert.
Begründung: T1und T2 sind symmetrisch zur Achse MA. Die Strecke zwischen
zueinander symmetrischen Punkten steht senkrecht auf der Achse und wird
durch die Achse halbiert.
Lösung der konkreten Aufgabe:
• Die beiden Tangentenabschnitte [T1A] und [T2A] sind gleich lang.
Begründung: T1und T2 sind symmetrisch zur Achse MA. Symmetrische Punkte
sind zu jedem beliebigen Punkt auf der Achse gleich weit entfernt.
• Die Berührsehne [T1T2] steht senkrecht auf der Achse und wird durch die
Achse halbiert.
Begründung: T1und T2 sind symmetrisch zur Achse MA. Die Strecke zwischen
zueinander symmetrischen Punkten steht senkrecht auf der Achse und wird
durch die Achse halbiert.
