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Geraden und Winkel am Kreis
Tangentenviereck
Aufgabe 1: Wiederholung Geometrie 7. Klasse - Dreiecke:
Beantworte folgende Fragen
• Wie findest du den Umkreismittelpunkt eines Dreiecks?
• Wie findest du den Schwerpunkt eines Dreiecks?
• Wie findest du den Inkreismittelpunkt eines Dreiecks?
Tipp: Denke an die Dreieckstransversalen (Mittelsenkrechten,
Winkelhalbierende, Höhen und Seitenhalbierende)
Aufgabe 2: Inkreis eines Vierecks
Konstruiere zu einem beliebigen Dreieck den Inkreis! (Falls du hierbei Probleme
hast, arbeite nochmals genau Aufgabe 1 durch)
Aufgabe 3
Gibt es zu jedem Viereck einen Inkreis?
Begründe knapp und stichhaltig und veranschauliche mit
Beispielen.
Tipps: Eine möglicher Weg zu einer Begründung geht
über den Satz vom Inkreismittelpunkt am Dreieck.
Versuche ihn auf das Viereck zu übertragen und
probiere es an zwei bis drei Beispielen aus.
Wenn man den Satz vom Inkreismittelpunkt am Dreieck überträgt, müsste der
Mittelpunkt des Inkreises der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden sein.
Konstruiere den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden in einem Rechteck, oder
einem Drachenviereck.
Aufgabe 4: Tangentenviereck
Vorbereitung:
Führe folgende Konstruktionsschritte durch. Benenne nach jedem
Konstruktionsschritt die neu hinzugekommenen Punkte, um den Überblick zu
behalten:
1. Zeichne einen Kreis k mit beliebigen Radius um einen Mittelpunkt M. (Der
Radius sollte nicht zu groß und der Mittelpunkt in der Mitte gewählt
werden.)
2. Wähle vier beliebige Punkte T1 bis T4 auf dem Kreis.
Hinweis: Es reicht nicht mit der Maus ungefähr auf die Kreislinie zu
Geraden und Winkel am Kreis
Tangentenviereck
Aufgabe 1: Wiederholung Geometrie 7. Klasse - Dreiecke:
Beantworte folgende Fragen
• Wie findest du den Umkreismittelpunkt eines Dreiecks?
• Wie findest du den Schwerpunkt eines Dreiecks?
• Wie findest du den Inkreismittelpunkt eines Dreiecks?
Tipp: Denke an die Dreieckstransversalen (Mittelsenkrechten,
Winkelhalbierende, Höhen und Seitenhalbierende)
Aufgabe 2: Inkreis eines Vierecks
Konstruiere zu einem beliebigen Dreieck den Inkreis! (Falls du hierbei Probleme
hast, arbeite nochmals genau Aufgabe 1 durch)
Aufgabe 3
Gibt es zu jedem Viereck einen Inkreis?
Begründe knapp und stichhaltig und veranschauliche mit
Beispielen.
Tipps: Eine möglicher Weg zu einer Begründung geht
über den Satz vom Inkreismittelpunkt am Dreieck.
Versuche ihn auf das Viereck zu übertragen und
probiere es an zwei bis drei Beispielen aus.
Wenn man den Satz vom Inkreismittelpunkt am Dreieck überträgt, müsste der
Mittelpunkt des Inkreises der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden sein.
Konstruiere den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden in einem Rechteck, oder
einem Drachenviereck.
Aufgabe 4: Tangentenviereck
Vorbereitung:
Führe folgende Konstruktionsschritte durch. Benenne nach jedem
Konstruktionsschritt die neu hinzugekommenen Punkte, um den Überblick zu
behalten:
1. Zeichne einen Kreis k mit beliebigen Radius um einen Mittelpunkt M. (Der
Radius sollte nicht zu groß und der Mittelpunkt in der Mitte gewählt
werden.)
2. Wähle vier beliebige Punkte T1 bis T4 auf dem Kreis.
Hinweis: Es reicht nicht mit der Maus ungefähr auf die Kreislinie zu
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zielen! Du erhältst den Punkt auf einer Linie über Zeichnen--> Punkt auf
einer Linie oder über die Ikone bei der Symbolleiste "Konstruieren".
3. Konstruiere durch alle vier Punkte T1 bis T4 Tangenten an den Kreis
(Tipp: )
4. Die vier Schnittpunkte der Tangenten ergaben ein die Eckpunkte eines
Vierecks. Markiere und benenne die Eckpunkte mit A,B,C,D. Markiere und
benenne die Seiten des Vierecks mit a,b,c,d.
Hinweis: Die Seiten eines Vierecks sind Strecken, keine Geraden!!
(Tipp: )
5. Markiere die Eckpunkte und Seiten Siten des Vierecks mit Farbe.
Aufgabe 5 frische Neuigkeiten:
Nun sollst du mit Hilfe der Zeichnung einen neuen Satz herausfinden, der uns
bei anderen Problemstellungen helfen kann
1. Lasse die Längen der Strecken a,b,c,d anzeigen.
2. Verschiebe einen (oder mehrere) der Punkte T1 - T4. (Sie sind an die
Kreislinie gebunden). Beobachte dabei die angezeigten Streckenängen.
Fällt dir etwas auf?
3. Fülle für vier unterschiedliche Positionen von T1 - T4. die Tabelle aus.
Betrachte die Werte genau. Was fällt dir auf? Ergänze die Tabelle um
zwei weitere geeignete Spalten um deine Vermutung zu bestätigen.
Tipp: Die geeignete Spalten sind die Summen der jeweils gegenüberliegenden
Streckenlängen, d.h.
Spalte 5: a+c
Spalte 6: b+d
Position a in cm b in cm c in cm d in cm
1
2
3
4
zielen! Du erhältst den Punkt auf einer Linie über Zeichnen--> Punkt auf
einer Linie oder über die Ikone bei der Symbolleiste "Konstruieren".
3. Konstruiere durch alle vier Punkte T1 bis T4 Tangenten an den Kreis
(Tipp: )
4. Die vier Schnittpunkte der Tangenten ergaben ein die Eckpunkte eines
Vierecks. Markiere und benenne die Eckpunkte mit A,B,C,D. Markiere und
benenne die Seiten des Vierecks mit a,b,c,d.
Hinweis: Die Seiten eines Vierecks sind Strecken, keine Geraden!!
(Tipp: )
5. Markiere die Eckpunkte und Seiten Siten des Vierecks mit Farbe.
Aufgabe 5 frische Neuigkeiten:
Nun sollst du mit Hilfe der Zeichnung einen neuen Satz herausfinden, der uns
bei anderen Problemstellungen helfen kann
1. Lasse die Längen der Strecken a,b,c,d anzeigen.
2. Verschiebe einen (oder mehrere) der Punkte T1 - T4. (Sie sind an die
Kreislinie gebunden). Beobachte dabei die angezeigten Streckenängen.
Fällt dir etwas auf?
3. Fülle für vier unterschiedliche Positionen von T1 - T4. die Tabelle aus.
Betrachte die Werte genau. Was fällt dir auf? Ergänze die Tabelle um
zwei weitere geeignete Spalten um deine Vermutung zu bestätigen.
Tipp: Die geeignete Spalten sind die Summen der jeweils gegenüberliegenden
Streckenlängen, d.h.
Spalte 5: a+c
Spalte 6: b+d
Position a in cm b in cm c in cm d in cm
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Aufgabe 6) Zusammenfassung - Satz vom Tangentenviereck
Teilaufgabe b müsste dir Mut geben, eigentlich schon fast Gewissheit für eine
Behauptung. Natürlich hat die Behauptung auch eine Voraussetzung.
Aufgabe 6 ein neuer Satz:
a) Formuliere einen neuen Satz, den Satz vom Tangentenviereck
b) Beweise den Satz und seinen Kehrsatz
Aufgabe 7) Konstruktion eines Tangentenvierecks
Aufgabe 7a (leicht):
a) Konstruiere ein Tangentenviereck mit folgenden Eigenschaften a= 5 cm; b=
3,6 cm; f = 6,4 cm; α = 65°
Aufgabe 7b)
Speichere das Ergebnis aus Teilaufgabe a) unter dem Namen kap4_aufg6ii.geo
ab.
Entferne danach alle Hilfslinien, so dass nur das Tangentenviereck übrig bleibt.
Konstruiere nun den Inkreis des Tangentenvierecks.
Aufgabe 7c (schwer):
i) Konstruiere ein Tangentenviereck mit folgenden Eigenschaften b= 3,5 cm; c =
7,5cm; r= 2,4cm; γ = 125°, wobei r der Radius den Inkreises ist.
Aufgabe 6) Zusammenfassung - Satz vom Tangentenviereck
Teilaufgabe b müsste dir Mut geben, eigentlich schon fast Gewissheit für eine
Behauptung. Natürlich hat die Behauptung auch eine Voraussetzung.
Aufgabe 6 ein neuer Satz:
a) Formuliere einen neuen Satz, den Satz vom Tangentenviereck
b) Beweise den Satz und seinen Kehrsatz
Aufgabe 7) Konstruktion eines Tangentenvierecks
Aufgabe 7a (leicht):
a) Konstruiere ein Tangentenviereck mit folgenden Eigenschaften a= 5 cm; b=
3,6 cm; f = 6,4 cm; α = 65°
Aufgabe 7b)
Speichere das Ergebnis aus Teilaufgabe a) unter dem Namen kap4_aufg6ii.geo
ab.
Entferne danach alle Hilfslinien, so dass nur das Tangentenviereck übrig bleibt.
Konstruiere nun den Inkreis des Tangentenvierecks.
Aufgabe 7c (schwer):
i) Konstruiere ein Tangentenviereck mit folgenden Eigenschaften b= 3,5 cm; c =
7,5cm; r= 2,4cm; γ = 125°, wobei r der Radius den Inkreises ist.
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Lösungen
Aufgabe 1:Umkreis eines Dreiecks
Der Umkreis eines Dreiecks ist der Kreis, auf dem alle drei Ecken des Dreiecks
so liegen, dass das Dreieck innerhalb des Kreises liegt (siehe folgende 2
Beispiele).
Wie findest du den Umkreismittelpunkt eines Dreiecks?
Noch ein Tipp: Denke an die Dreieckstransversalen (Mittelsenkrechten,
Winkelhalbierende, Höhen und Seitenhalbierende)
b) Schwerpunkt eines Dreiecks
Wenn man versuchst ein Dreieck auf einer Bleistiftspitze auszubalancieren,
befindete es sich genau dann im Gleichgewicht, wenn die Bleistiftspitze
unterhalb des Schwerpunkt des Dreiecks ist.
Wie findest du den Schwerpunkt eines Dreiecks?
Noch ein Tipp: Denke an die Dreieckstransversalen
(Mittelsenkrechten, Winkelhalbierende, Höhen und
Seitenhalbierende)
c) Inkreis eines Dreiecks
Der Inkreis eines Dreiecks ist der Kreis, der innerhalb
des Dreieck so liegt, dass der Kreis alle drei Seiten des Dreiecks berührt (siehe
folgende 2 Beispiele).
Lösungen
Aufgabe 1:Umkreis eines Dreiecks
Der Umkreis eines Dreiecks ist der Kreis, auf dem alle drei Ecken des Dreiecks
so liegen, dass das Dreieck innerhalb des Kreises liegt (siehe folgende 2
Beispiele).
Wie findest du den Umkreismittelpunkt eines Dreiecks?
Noch ein Tipp: Denke an die Dreieckstransversalen (Mittelsenkrechten,
Winkelhalbierende, Höhen und Seitenhalbierende)
b) Schwerpunkt eines Dreiecks
Wenn man versuchst ein Dreieck auf einer Bleistiftspitze auszubalancieren,
befindete es sich genau dann im Gleichgewicht, wenn die Bleistiftspitze
unterhalb des Schwerpunkt des Dreiecks ist.
Wie findest du den Schwerpunkt eines Dreiecks?
Noch ein Tipp: Denke an die Dreieckstransversalen
(Mittelsenkrechten, Winkelhalbierende, Höhen und
Seitenhalbierende)
c) Inkreis eines Dreiecks
Der Inkreis eines Dreiecks ist der Kreis, der innerhalb
des Dreieck so liegt, dass der Kreis alle drei Seiten des Dreiecks berührt (siehe
folgende 2 Beispiele).
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Umkreis eines Dreiecks
Satz vom Umkreis eines Dreiecks
Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis; sein
Mittelpunkt ist der gemeinsame Schnittpunkt M
der Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten.
b) Schwerpunkt eines Dreiecks
Satz vom Schwerpunkt
eines Dreiecks
In jedem Dreieck schneiden
sich die drei
Seitenhalbierenden in genau
einem Punkt, dem
Schwerpunkt des Dreiecks.
c) Inkreis eines Dreiecks
Satz vom Inkreis eines Dreiecks
Jedes Dreieck besitzt einen Inkreis; sein Mittelpunkt ist der gemeinsame
Schnittpunkt M der drei Winkelhalbierenden.
Für seinen Radius r gilt: r= d(M; [AB]) *
• r= d(M; [AB]) in Worten: Der Radius ist der Abstand zwischen dem
Schnittpunkt M der Winkelhalbierenden und der Seite a= [AB]
selbstverständlich ist auch der Abstand zur Seite b oder c möglich,
jedoch ist der Radius NICHT der Abstand von M zum Schnittpunkt der
Winkelhalbierenden mit der entsprechenden Seite!
Umkreis eines Dreiecks
Satz vom Umkreis eines Dreiecks
Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis; sein
Mittelpunkt ist der gemeinsame Schnittpunkt M
der Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten.
b) Schwerpunkt eines Dreiecks
Satz vom Schwerpunkt
eines Dreiecks
In jedem Dreieck schneiden
sich die drei
Seitenhalbierenden in genau
einem Punkt, dem
Schwerpunkt des Dreiecks.
c) Inkreis eines Dreiecks
Satz vom Inkreis eines Dreiecks
Jedes Dreieck besitzt einen Inkreis; sein Mittelpunkt ist der gemeinsame
Schnittpunkt M der drei Winkelhalbierenden.
Für seinen Radius r gilt: r= d(M; [AB]) *
• r= d(M; [AB]) in Worten: Der Radius ist der Abstand zwischen dem
Schnittpunkt M der Winkelhalbierenden und der Seite a= [AB]
selbstverständlich ist auch der Abstand zur Seite b oder c möglich,
jedoch ist der Radius NICHT der Abstand von M zum Schnittpunkt der
Winkelhalbierenden mit der entsprechenden Seite!
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Finden lässt sich der Abstand zwischen dem Schnittpunkt M der
Winkelhalbierenden und der Seite a= [AB] indem man vom Punkt ein Lot auf die
Seite s konstruiert. Der Schnittpunkt zwischen a und dem Lot nennt man
Lotfußpunkt. Der Abstand (und damit auch der Radius) ist die Länge der Strecke
[FM]
Aufgabe 3
Gefragt war, ob es zu jedem Viereck einen Inkreis gibt.
Ein einziges Gegenbeispiel ist somit eine ausreichende Begründung für die
richtige Antwort nein zur Frage.
geeignet dafür ist beispielsweise das Rechteck. Ein Inkreis der alle vier Seiten
berührt ist nicht möglich!
oder
oder
Finden lässt sich der Abstand zwischen dem Schnittpunkt M der
Winkelhalbierenden und der Seite a= [AB] indem man vom Punkt ein Lot auf die
Seite s konstruiert. Der Schnittpunkt zwischen a und dem Lot nennt man
Lotfußpunkt. Der Abstand (und damit auch der Radius) ist die Länge der Strecke
[FM]
Aufgabe 3
Gefragt war, ob es zu jedem Viereck einen Inkreis gibt.
Ein einziges Gegenbeispiel ist somit eine ausreichende Begründung für die
richtige Antwort nein zur Frage.
geeignet dafür ist beispielsweise das Rechteck. Ein Inkreis der alle vier Seiten
berührt ist nicht möglich!
oder
oder
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Aufgabe Nr. 4: Vorbereitung:
So sollte deine Zeichnung aussehen, wenn du alle Schritte der Vorbereitung
durchgeführt hast:
Aufgabe 6a
Ein Viereck ist genau dann ein Tangentenviereck, wenn die Summen der
Längen je zweier Gegenseiten gleich groß sind.
Aufgabe Nr. 4: Vorbereitung:
So sollte deine Zeichnung aussehen, wenn du alle Schritte der Vorbereitung
durchgeführt hast:
Aufgabe 6a
Ein Viereck ist genau dann ein Tangentenviereck, wenn die Summen der
Längen je zweier Gegenseiten gleich groß sind.
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Aufgabe 6b
Beweis des Satzes:
Vor.: ABCD ist ein Tangentenviereck
Beh.: a + c = b + d
Bew.: a + c = (u+v) + (s+t) = (v+s)
+ (u+t) = b + d q.e.d.
Den Beweis vom Kehrsatz musst
du alleine schaffen. Im Prinzip
geht er mehr oder weniger
rückwärts zum obigen Teil unter
Verwendung unseres Wissens
über Tangentenabschnitte.
Aufgabe 7a: Tangentenviereck
Beachte: Am Ende der Konstruktion kommen zwei Punkte C in Betracht. Nur einer
bleibt übrig, wenn das Viereck ein Tangentenviereck sein soll. Warum?
Aufgabe 6b
Beweis des Satzes:
Vor.: ABCD ist ein Tangentenviereck
Beh.: a + c = b + d
Bew.: a + c = (u+v) + (s+t) = (v+s)
+ (u+t) = b + d q.e.d.
Den Beweis vom Kehrsatz musst
du alleine schaffen. Im Prinzip
geht er mehr oder weniger
rückwärts zum obigen Teil unter
Verwendung unseres Wissens
über Tangentenabschnitte.
Aufgabe 7a: Tangentenviereck
Beachte: Am Ende der Konstruktion kommen zwei Punkte C in Betracht. Nur einer
bleibt übrig, wenn das Viereck ein Tangentenviereck sein soll. Warum?
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Nur in einem konvexen Viereck kann es einen Inkreis geben! Notiere dies in dein Heft!
Sie dir das konkave Viereck in der Zeichnung an. Wie willst du hier einen Inkreis
einfügen?
Aufgabe 7b:
Konstruktionsbeschreibung:
Beachte: Alle 4 Winkelhalbierenden schneiden sich in einem Punkt!
Nur in einem konvexen Viereck kann es einen Inkreis geben! Notiere dies in dein Heft!
Sie dir das konkave Viereck in der Zeichnung an. Wie willst du hier einen Inkreis
einfügen?
Aufgabe 7b:
Konstruktionsbeschreibung:
Beachte: Alle 4 Winkelhalbierenden schneiden sich in einem Punkt!
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Aufgabe 7c:
Konstruktionsbeschreibung:
1) die gegebenen Größen b, c
und den WInkel γ einzeichnen:
• B ist ein freier Basispunkt
• C ist ein freier Basispunkt
• b ist eine Strecke der
festen Länge 3,5 cm
zwischen B und C
• g1 ist eine Gerade durch C
im Winkel der Weite - 125°
zur Geraden ( B ; C )
• k1 ist ein Kreis mit
Mittelpunkt C und Radius
7,5 cm
• D ist der 2. Schnittpunkt
der Linie g1 mit dem Kreis
k1
• c ist die Strecke [ C ; D ]
2) Konstruktion des Inkreismittelpunkts einzeichnen
(Idee: M liegt auf der Winkelhalbierenden von Gamma und hat zur Strecke c den
Abstand r=2,4 cm )
• g2 ist die Halbierende des Winkels ( D ; C ; B )
(Parallele zu c im Abstand r=2,4cm)
• P2 ist ein freier Basispunkt
• l1 ist das Lot von P2 auf g1
• P3 ist der Schnittpunkt der Linien g1 und l1
• k4 ist ein Kreis mit Mittelpunkt P3 und Radius 2,4 cm
• P5 ist der 2. Schnittpunkt der Linie l1 mit dem Kreis k4
• l2 ist das Lot von P5 auf l1
• M ist der Schnittpunkt der Linien g2 und l2
3) Konstruktion des Inkreises:
• k5 ist ein Kreis mit Mittelpunkt M und Radius 2,4 cm
4) Konstruktion der Berührpunkte auf c und d
• T2 ist der 2. Schnittpunkt der Linie c mit dem Kreis k5
• T1 ist der 2. Schnittpunkt der Linie b mit dem Kreis k5
• s3 ist die Strecke [ B ; M ]
• P11 ist Bildpunkt von T1 bei der Achsenspiegelung an s3
Aufgabe 7c:
Konstruktionsbeschreibung:
1) die gegebenen Größen b, c
und den WInkel γ einzeichnen:
• B ist ein freier Basispunkt
• C ist ein freier Basispunkt
• b ist eine Strecke der
festen Länge 3,5 cm
zwischen B und C
• g1 ist eine Gerade durch C
im Winkel der Weite - 125°
zur Geraden ( B ; C )
• k1 ist ein Kreis mit
Mittelpunkt C und Radius
7,5 cm
• D ist der 2. Schnittpunkt
der Linie g1 mit dem Kreis
k1
• c ist die Strecke [ C ; D ]
2) Konstruktion des Inkreismittelpunkts einzeichnen
(Idee: M liegt auf der Winkelhalbierenden von Gamma und hat zur Strecke c den
Abstand r=2,4 cm )
• g2 ist die Halbierende des Winkels ( D ; C ; B )
(Parallele zu c im Abstand r=2,4cm)
• P2 ist ein freier Basispunkt
• l1 ist das Lot von P2 auf g1
• P3 ist der Schnittpunkt der Linien g1 und l1
• k4 ist ein Kreis mit Mittelpunkt P3 und Radius 2,4 cm
• P5 ist der 2. Schnittpunkt der Linie l1 mit dem Kreis k4
• l2 ist das Lot von P5 auf l1
• M ist der Schnittpunkt der Linien g2 und l2
3) Konstruktion des Inkreises:
• k5 ist ein Kreis mit Mittelpunkt M und Radius 2,4 cm
4) Konstruktion der Berührpunkte auf c und d
• T2 ist der 2. Schnittpunkt der Linie c mit dem Kreis k5
• T1 ist der 2. Schnittpunkt der Linie b mit dem Kreis k5
• s3 ist die Strecke [ B ; M ]
• P11 ist Bildpunkt von T1 bei der Achsenspiegelung an s3
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5) Konstruiere Berührpunkte auf a und b
(Idee: Die Berührpunkte sind jeweils symmetrisch zu MD bzw. zu MB (sind
gleichzeitig auch die Winkelhalbierenden))
• s3 ist die Strecke [ B ; M ]
• T4 ist Bildpunkt von T1 bei der Achsenspiegelung an s3
• s5 ist die Strecke [ M ; D ]
• P9 ist Bildpunkt von T2 bei der Achsenspiegelung an s5
6) Konstruiere den fehlenden Punkt A
(Idee: Er ist der Schnittpunkt der fehlenden beiden Tangenten)
• h1 ist eine Halbgerade mit Startpunkt B durch den Punkt P11
• h2 ist eine Halbgerade mit Startpunkt D durch den Punkt P9
• A ist der Schnittpunkt der Linien h2 und h1
Nur in einem konvexen Viereck kann es einen Inkreis geben! Notiere dies in dein Heft!
Sie dir das konkave Viereck in der Zeichnung an. Wie willst du hier einen Inkreis
einfügen?
5) Konstruiere Berührpunkte auf a und b
(Idee: Die Berührpunkte sind jeweils symmetrisch zu MD bzw. zu MB (sind
gleichzeitig auch die Winkelhalbierenden))
• s3 ist die Strecke [ B ; M ]
• T4 ist Bildpunkt von T1 bei der Achsenspiegelung an s3
• s5 ist die Strecke [ M ; D ]
• P9 ist Bildpunkt von T2 bei der Achsenspiegelung an s5
6) Konstruiere den fehlenden Punkt A
(Idee: Er ist der Schnittpunkt der fehlenden beiden Tangenten)
• h1 ist eine Halbgerade mit Startpunkt B durch den Punkt P11
• h2 ist eine Halbgerade mit Startpunkt D durch den Punkt P9
• A ist der Schnittpunkt der Linien h2 und h1
Nur in einem konvexen Viereck kann es einen Inkreis geben! Notiere dies in dein Heft!
Sie dir das konkave Viereck in der Zeichnung an. Wie willst du hier einen Inkreis
einfügen?
