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Die wichtigsten Regeln zum Bruchrechnen
Größter gemeinsamer Teiler und
kleinstes gemeinsames Vielfaches
1 Der größte gemeinsame Teiler (ggT)
Zu jeder Zahl kann man ihre Teilermenge angeben.
Beispiel: Τ30 = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} Τ12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
Die gemeinsamen Teiler beider Zahlen lauten: 1, 2, 3 und 6
Der größte gemeinsame Teiler beider Zahlen: ggT(30; 12) = 6
2 Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)
Zu jeder Zahl kann man ihre Vielfachenmenge angeben.
Beispiel: ς8 = {8; 16; 24;32; 40; 48; 56; 64; 72; ..} ς12 = {12; 24; 36; 48; 60; 72; ..}
Die gemeinsamen Vielfachen beider Zahlen lauten: 24, 48, 72, ...
Ermittlung des ggT mit Hilfe der Primfaktorenzerlegung:
Beispiel: ggT (240; 300) =
240 = 2⋅ 2⋅ 2⋅ 2⋅ 3⋅5 1. Primfaktorenzerlegung
300 = 2⋅2⋅ ⋅ 3⋅5⋅5
––––––––––––––––––––––––– 2. Man bildet das Produkt aus
ggT (240; 300) = 2⋅2⋅ ⋅3⋅5 = 60 den gemeinsamen Primfaktoren
Der ggT zweier oder mehrerer Zahlen ist das Produkt der gemeinsamen
Primfaktoren.
Ermittlung des kgV mit Hilfe der Primfaktorenzerlegung:
Beispiel: kgV(240; 300) =
240 = 2⋅ 2⋅ 2⋅ 2⋅ 3⋅5 1. Primfaktorenzerlegung
300 = 2⋅2⋅ ⋅ 3⋅5⋅5
––––––––––––––––––– 2. Man bildet das Produkt aller
kgV(240; 300) = 2⋅ 2⋅ 2⋅ 2⋅ 3⋅5⋅5 = 1200 vorkommenden Primfaktoren
Das kgV ist das Produkt aller Primfaktoren der ersten Zahl und der
Primfaktoren die in der zweiten Zahl noch zusätzlich vorkommen
Die wichtigsten Regeln zum Bruchrechnen
Größter gemeinsamer Teiler und
kleinstes gemeinsames Vielfaches
1 Der größte gemeinsame Teiler (ggT)
Zu jeder Zahl kann man ihre Teilermenge angeben.
Beispiel: Τ30 = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} Τ12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
Die gemeinsamen Teiler beider Zahlen lauten: 1, 2, 3 und 6
Der größte gemeinsame Teiler beider Zahlen: ggT(30; 12) = 6
2 Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)
Zu jeder Zahl kann man ihre Vielfachenmenge angeben.
Beispiel: ς8 = {8; 16; 24;32; 40; 48; 56; 64; 72; ..} ς12 = {12; 24; 36; 48; 60; 72; ..}
Die gemeinsamen Vielfachen beider Zahlen lauten: 24, 48, 72, ...
Ermittlung des ggT mit Hilfe der Primfaktorenzerlegung:
Beispiel: ggT (240; 300) =
240 = 2⋅ 2⋅ 2⋅ 2⋅ 3⋅5 1. Primfaktorenzerlegung
300 = 2⋅2⋅ ⋅ 3⋅5⋅5
––––––––––––––––––––––––– 2. Man bildet das Produkt aus
ggT (240; 300) = 2⋅2⋅ ⋅3⋅5 = 60 den gemeinsamen Primfaktoren
Der ggT zweier oder mehrerer Zahlen ist das Produkt der gemeinsamen
Primfaktoren.
Ermittlung des kgV mit Hilfe der Primfaktorenzerlegung:
Beispiel: kgV(240; 300) =
240 = 2⋅ 2⋅ 2⋅ 2⋅ 3⋅5 1. Primfaktorenzerlegung
300 = 2⋅2⋅ ⋅ 3⋅5⋅5
––––––––––––––––––– 2. Man bildet das Produkt aller
kgV(240; 300) = 2⋅ 2⋅ 2⋅ 2⋅ 3⋅5⋅5 = 1200 vorkommenden Primfaktoren
Das kgV ist das Produkt aller Primfaktoren der ersten Zahl und der
Primfaktoren die in der zweiten Zahl noch zusätzlich vorkommen
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Die wichtigsten Regeln zum Bruchrechnen
Formveränderung von Brüchen
1 Kürzen
Wenn im Zähler und Nenner eines Bruches gemeinsame Faktoren enthalten sind,
so kann man den Bruch kürzen.
2 Erweitern
Das Gegenteil vom Kürzen ist das Erweitern.
Hierbei werden Zähler und mit einem bestimmten Faktor multipliziert.
3 Addition von Brüchen
Zwei Brüche werden addiert (zusammengezählt), indem man sie zunächst auf
einen gemeinsamen Nenner (den Hauptnenner) bringt
Dieses erreicht man, indem man die Brüche jeweils mit geeigneten Faktoren
erweitert.
Kürzen heißt Zähler und Nenner eines Bruches durch dieselbe Zahl dividieren.
Beispiel: cb
ca
b
a
:
:= 10
9
2:20
2:18
20
18 ==
Beachte: Man darf mit 0 nicht kürzen
Erweitern heißt Zähler und Nenner eines Bruches mit derselben Zahl
Beispiel: cb
ca
b
a
= (20) 10
15
52
53
2
3 =
=
Beachte: Man darf mit 0 nicht erweitern
Regel: Man bestimmt den Hauptnenner und mach die Brüche gleichnamig.
Man addiert die Zähler.
Man behält den gemeinsamen Nenner bei.
Beispiel: 12
5212
29
12
20
12
9
3
5
4
3 ==+=+
Die wichtigsten Regeln zum Bruchrechnen
Formveränderung von Brüchen
1 Kürzen
Wenn im Zähler und Nenner eines Bruches gemeinsame Faktoren enthalten sind,
so kann man den Bruch kürzen.
2 Erweitern
Das Gegenteil vom Kürzen ist das Erweitern.
Hierbei werden Zähler und mit einem bestimmten Faktor multipliziert.
3 Addition von Brüchen
Zwei Brüche werden addiert (zusammengezählt), indem man sie zunächst auf
einen gemeinsamen Nenner (den Hauptnenner) bringt
Dieses erreicht man, indem man die Brüche jeweils mit geeigneten Faktoren
erweitert.
Kürzen heißt Zähler und Nenner eines Bruches durch dieselbe Zahl dividieren.
Beispiel: cb
ca
b
a
:
:= 10
9
2:20
2:18
20
18 ==
Beachte: Man darf mit 0 nicht kürzen
Erweitern heißt Zähler und Nenner eines Bruches mit derselben Zahl
Beispiel: cb
ca
b
a
= (20) 10
15
52
53
2
3 =
=
Beachte: Man darf mit 0 nicht erweitern
Regel: Man bestimmt den Hauptnenner und mach die Brüche gleichnamig.
Man addiert die Zähler.
Man behält den gemeinsamen Nenner bei.
Beispiel: 12
5212
29
12
20
12
9
3
5
4
3 ==+=+
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Die wichtigsten Regeln zum Bruchrechnen
4 Subtraktion von Brüchen
Beim Subtrahieren (Abziehen) eines Bruches von einem anderen geht man
prinzipiell genauso vor:
Wenn die Nenner der Brüche gemeinsame Faktoren enthalten, so braucht man
nur mit den anderen Faktoren der Nenner zu erweitern. Man muss hierbei das
kleinste gemeinsame Vielfach der Nenner bestimmen. Diese ist der Hauptnenner.
5 Multiplikation von Brüchen
Zwei Brüche werden miteinander multipliziert (mal genommen), indem man
jeweils die Werte im Zähler und die Werte im Nenner miteinander multipliziert.
Regel: Man bestimmt den Hauptnenner und mach die Brüche gleichnamig.
Man subtrahiert die Zähler.
Man behält den gemeinsamen Nenner bei.
Beispiel: 12
7
12
8
12
15
3
2
4
5 =−=−
Regel: Bruch mal Bruch
Man multipliziert Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner.
Gemischte Zahlen werden vorher in unechte Brüche umgewandelt.
Beispiel: db
ca
d
c
b
a
= 14
1
72
11
218
43
21
4
8
3 =
=
=
Bruch mal ganze Zahl
Man verwandelt die ganze Zahl in einen Bruch mit dem Nenner 1
und verfährt nach obiger Regel.
Beispiel: b
ca
b
cacb
a=
= 1 123
36
13
124123
4 ==
=
Die wichtigsten Regeln zum Bruchrechnen
4 Subtraktion von Brüchen
Beim Subtrahieren (Abziehen) eines Bruches von einem anderen geht man
prinzipiell genauso vor:
Wenn die Nenner der Brüche gemeinsame Faktoren enthalten, so braucht man
nur mit den anderen Faktoren der Nenner zu erweitern. Man muss hierbei das
kleinste gemeinsame Vielfach der Nenner bestimmen. Diese ist der Hauptnenner.
5 Multiplikation von Brüchen
Zwei Brüche werden miteinander multipliziert (mal genommen), indem man
jeweils die Werte im Zähler und die Werte im Nenner miteinander multipliziert.
Regel: Man bestimmt den Hauptnenner und mach die Brüche gleichnamig.
Man subtrahiert die Zähler.
Man behält den gemeinsamen Nenner bei.
Beispiel: 12
7
12
8
12
15
3
2
4
5 =−=−
Regel: Bruch mal Bruch
Man multipliziert Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner.
Gemischte Zahlen werden vorher in unechte Brüche umgewandelt.
Beispiel: db
ca
d
c
b
a
= 14
1
72
11
218
43
21
4
8
3 =
=
=
Bruch mal ganze Zahl
Man verwandelt die ganze Zahl in einen Bruch mit dem Nenner 1
und verfährt nach obiger Regel.
Beispiel: b
ca
b
cacb
a=
= 1 123
36
13
124123
4 ==
=
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Die wichtigsten Regeln zum Bruchrechnen
6 Division von Brüchen
Ein Bruch wird durch einen anderen Bruch dividiert (geteilt), indem man ihn mit
Dem Kehrwert des anderen Bruches multipliziert (mal nimmt).
Es wird bei der Darstellung zusätzlich verdeutlicht, dass man das Teilen durch
Einen Bruch auch wieder mittels eines Bruchstriches darstellen kann.
7. Regel für Bruchrechnungen
Regel: Man bildet den Kehrwert des zweiten Bruches und multipliziert
anschließend die beiden Brüche.
Beispiel: cb
da
c
d
b
a
d
c
b
a
==: 15
4
53
14
59
34
59
34
3
5:9
4 =
=
=
=
Regel: Terme
Inhalte von Klammern ausrechnen
Punkt vor Strich
Rechenrichtung von links nach rechts
Bruchterme
Das Ergebnis eines Bruchterms erhältst du, indem du zuerst den
Zähler, dann den Nenner berechnest.
Doppelbrüche
Der Zähler des Doppelbruchs wird mit dem Nennerkehrwert
Multipliziert.
Beispiel: cb
da
c
d
b
a
d
c
b
a
==
Die wichtigsten Regeln zum Bruchrechnen
6 Division von Brüchen
Ein Bruch wird durch einen anderen Bruch dividiert (geteilt), indem man ihn mit
Dem Kehrwert des anderen Bruches multipliziert (mal nimmt).
Es wird bei der Darstellung zusätzlich verdeutlicht, dass man das Teilen durch
Einen Bruch auch wieder mittels eines Bruchstriches darstellen kann.
7. Regel für Bruchrechnungen
Regel: Man bildet den Kehrwert des zweiten Bruches und multipliziert
anschließend die beiden Brüche.
Beispiel: cb
da
c
d
b
a
d
c
b
a
==: 15
4
53
14
59
34
59
34
3
5:9
4 =
=
=
=
Regel: Terme
Inhalte von Klammern ausrechnen
Punkt vor Strich
Rechenrichtung von links nach rechts
Bruchterme
Das Ergebnis eines Bruchterms erhältst du, indem du zuerst den
Zähler, dann den Nenner berechnest.
Doppelbrüche
Der Zähler des Doppelbruchs wird mit dem Nennerkehrwert
Multipliziert.
Beispiel: cb
da
c
d
b
a
d
c
b
a
==
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Die wichtigsten Regeln zum Bruchrechnen
Dezimalbrüche
1 Addieren und subtrahieren von Dezimalbrüche
Man setzt Komma unter Komma und addiert (subtrahiert) stellenweise.
2 Multiplizieren von Dezimalbrüche
Man multipliziert zunächst so, als stände bei den Faktoren kein Komma.
Dann gibt man dem Ergebnis so viele Nachkommastellen, wie die Faktoren zusammen
haben.
3 Dividieren von Dezimalbrüche
Man verschiebt zunächst bei beiden Zahlen das Komma um die gleiche Anzahl
von Stellen nach rechts, bis durch eine natürliche Zahl dividiert werden kann.
Wenn man beim Dividieren links von den Einern zu den Zehnteln übergeht, setzt man
rechts ein Komma.
Beispiel: 27,11 2,91
+ 8,167 - 2,845
35,277 0,065
Beispiel: 2,91 4,5
1164
1455_
13095 = 13,095
Beispiel: 21,838 : 7,16 = 2183,8 : 716 = 3,05
2148
3580
3580
0
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Dezimalbrüche
1 Addieren und subtrahieren von Dezimalbrüche
Man setzt Komma unter Komma und addiert (subtrahiert) stellenweise.
2 Multiplizieren von Dezimalbrüche
Man multipliziert zunächst so, als stände bei den Faktoren kein Komma.
Dann gibt man dem Ergebnis so viele Nachkommastellen, wie die Faktoren zusammen
haben.
3 Dividieren von Dezimalbrüche
Man verschiebt zunächst bei beiden Zahlen das Komma um die gleiche Anzahl
von Stellen nach rechts, bis durch eine natürliche Zahl dividiert werden kann.
Wenn man beim Dividieren links von den Einern zu den Zehnteln übergeht, setzt man
rechts ein Komma.
Beispiel: 27,11 2,91
+ 8,167 - 2,845
35,277 0,065
Beispiel: 2,91 4,5
1164
1455_
13095 = 13,095
Beispiel: 21,838 : 7,16 = 2183,8 : 716 = 3,05
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Die wichtigsten Regeln zum Bruchrechnen
Nun solltest du dich auskennen
1. Das Dividieren ist die ___________________ vom Multiplizieren.
2. Doppelpunkt und Bruchstrich sind ________________________ Rechenzeichen
3. Der Teilungszahl (Zähler) heißt ______________, der Teiler
(Nenner) ______________. Beide zusammen bilden einen ___________.
Das Ergebnis heißt _________________.
Jeder Bruch ist ein _________ , und jeder _________ ist ein Bruch.
___________ __a___ a : b = c
___________ b
______ _________
______
4. Ist a ein Vielfaches von b, so bedeutet der Term --- eine ganze Zahl.
5. Ist a kein Vielfaches von b, so entsteht eine _________ .
Eine __________ Ist ein Quotient ganzer Zahlen.
6. Ganze Zahlen und Bruchzahlen haben den gemeinsamen Namen ________ .
7. Vertauscht man Zähler und Nenner, so entsteht der _________________
der Bruchzahl.
8. Der ___________ einer Bruchzahl hat einen anderen Wert als die Bruchzahl.
Die wichtigsten Regeln zum Bruchrechnen
Nun solltest du dich auskennen
1. Das Dividieren ist die ___________________ vom Multiplizieren.
2. Doppelpunkt und Bruchstrich sind ________________________ Rechenzeichen
3. Der Teilungszahl (Zähler) heißt ______________, der Teiler
(Nenner) ______________. Beide zusammen bilden einen ___________.
Das Ergebnis heißt _________________.
Jeder Bruch ist ein _________ , und jeder _________ ist ein Bruch.
___________ __a___ a : b = c
___________ b
______ _________
______
4. Ist a ein Vielfaches von b, so bedeutet der Term --- eine ganze Zahl.
5. Ist a kein Vielfaches von b, so entsteht eine _________ .
Eine __________ Ist ein Quotient ganzer Zahlen.
6. Ganze Zahlen und Bruchzahlen haben den gemeinsamen Namen ________ .
7. Vertauscht man Zähler und Nenner, so entsteht der _________________
der Bruchzahl.
8. Der ___________ einer Bruchzahl hat einen anderen Wert als die Bruchzahl.
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Die wichtigsten Regeln zum Bruchrechnen
Multiplikation von Brüchen:
____________________________________________________________
____________________________________________________________
Division von Brüchen:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
Division eines Bruches mit einer natürlichen Zahl:
______________________________________________________________
______________________________________________________________
Addition und Subtraktion:
______________________________________________________________
______________________________________________________________
Bestimmung des Hauptnenners:
______________________________________________________________
______________________________________________________________
Addition eines Bruches mit einer ganzen Zahl:
______________________________________________________________
______________________________________________________________
Rechengesetze bei der Multiplikation und Addition von Brüchen:
_________________________________________________________
_________________________________________________________
Regeln für Terme:
_________________________________________________________
_________________________________________________________
Bruchterme
______________________________________________________________
______________________________________________________________
Doppelbrüche
______________________________________________________________
______________________________________________________________
Die wichtigsten Regeln zum Bruchrechnen
Multiplikation von Brüchen:
____________________________________________________________
____________________________________________________________
Division von Brüchen:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
Division eines Bruches mit einer natürlichen Zahl:
______________________________________________________________
______________________________________________________________
Addition und Subtraktion:
______________________________________________________________
______________________________________________________________
Bestimmung des Hauptnenners:
______________________________________________________________
______________________________________________________________
Addition eines Bruches mit einer ganzen Zahl:
______________________________________________________________
______________________________________________________________
Rechengesetze bei der Multiplikation und Addition von Brüchen:
_________________________________________________________
_________________________________________________________
Regeln für Terme:
_________________________________________________________
_________________________________________________________
Bruchterme
______________________________________________________________
______________________________________________________________
Doppelbrüche
______________________________________________________________
______________________________________________________________
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Die wichtigsten Regeln zum Bruchrechnen
Lösungen
1. Das Dividieren ist die __Umkehrung_____ vom Multiplizieren.
2. Doppelpunkt und Bruchstrich sind _gleichbedeutende____ Rechenzeichen
3. Der Teilungszahl (Zähler) heißt _Dividend___, der Teiler
(Nenner) _Divisor_____. Beide zusammen bilden einen _Quotienten__.
Das Ergebnis heißt _Quotientwert_____.
Jeder Bruch ist ein _Quotient__ , und jeder _ Quotient _ ist ein Bruch.
_Dividend_ __a___ a : b = c
_Divisor___ b
Quotient Quotientwert
(Bruch)
4. Ist a ein Vielfaches von b, so bedeutet der Term 𝑎
𝑏 eine ganze Zahl.
5. Ist a kein Vielfaches von b, so entsteht eine Bruchzahl .
Eine _ Bruchzahl _ Ist ein Quotient ganzer Zahlen.
6. Ganze Zahlen und Bruchzahlen haben den gemeinsamen Namen rationale Zahl .
7. Vertauscht man Zähler und Nenner, so entsteht der __Kehrwert__
der Bruchzahl.
8. Der _ Kehrwert_ einer Bruchzahl hat einen anderen Wert als die
Bruchzahl.
Die wichtigsten Regeln zum Bruchrechnen
Lösungen
1. Das Dividieren ist die __Umkehrung_____ vom Multiplizieren.
2. Doppelpunkt und Bruchstrich sind _gleichbedeutende____ Rechenzeichen
3. Der Teilungszahl (Zähler) heißt _Dividend___, der Teiler
(Nenner) _Divisor_____. Beide zusammen bilden einen _Quotienten__.
Das Ergebnis heißt _Quotientwert_____.
Jeder Bruch ist ein _Quotient__ , und jeder _ Quotient _ ist ein Bruch.
_Dividend_ __a___ a : b = c
_Divisor___ b
Quotient Quotientwert
(Bruch)
4. Ist a ein Vielfaches von b, so bedeutet der Term 𝑎
𝑏 eine ganze Zahl.
5. Ist a kein Vielfaches von b, so entsteht eine Bruchzahl .
Eine _ Bruchzahl _ Ist ein Quotient ganzer Zahlen.
6. Ganze Zahlen und Bruchzahlen haben den gemeinsamen Namen rationale Zahl .
7. Vertauscht man Zähler und Nenner, so entsteht der __Kehrwert__
der Bruchzahl.
8. Der _ Kehrwert_ einer Bruchzahl hat einen anderen Wert als die
Bruchzahl.
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Die wichtigsten Regeln zum Bruchrechnen
Multiplikation von Brüchen:
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner
Division von Brüchen:
Die natürliche Zahl wird mit dem Zähler multipliziert. Der Nenner wir beibehalten.
Division eines Bruches mit einer natürlichen Zahl:
Der Nenner wird mit der natürlichen Zahl multipliziert und der Zähler beibehalten._
Addition und Subtraktion:
Brüche gleichnamig machen
Zähler addieren oder subtrahieren
Nenner beibehalten
Bestimmung des Hauptnenners:
Die einzelnen Nenner werden als Produkt von Primzahlen geschrieben. Der
Hauptnenner setzt sich aus den höchsten Potenzen aller vorkommenden Prim-
faktoren zusammen.
Addition eines Bruches mit einer ganzen Zahl:
1. Die Summe einer natürlichen Zahl mit einem Bruch kann als gemischter Bruch
geschrieben werden.
2. Eine natürliche Zahl wird als gleichnamiger Bruch erweitert. Anschließend
Werden die Zähler addiert.
Rechengesetze bei der Multiplikation und Addition von Brüchen:
Vertauschungsgesetzt: Kommutativgesetz, KG
Die Faktoren (Summanden) dürfen getauscht werden.
Verbindungsgesetz: Assoziativgesetz, AG
Die Klammern dürfen vertauscht werden
Regeln für Terme:
Inhalte von Klammern ausrechnen
Punkt vor Strich
Rechenrichtung von links nach rechts
Bruchterme
Das Ergebnis eines Bruchterms erhältst du, indem du zuerst den Zähler, dann den
Nenner berechnest.
Doppelbrüche
Der Zähler des Doppelbruchs wird mit dem Nennerkehrwert multipliziert.
Die wichtigsten Regeln zum Bruchrechnen
Multiplikation von Brüchen:
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner
Division von Brüchen:
Die natürliche Zahl wird mit dem Zähler multipliziert. Der Nenner wir beibehalten.
Division eines Bruches mit einer natürlichen Zahl:
Der Nenner wird mit der natürlichen Zahl multipliziert und der Zähler beibehalten._
Addition und Subtraktion:
Brüche gleichnamig machen
Zähler addieren oder subtrahieren
Nenner beibehalten
Bestimmung des Hauptnenners:
Die einzelnen Nenner werden als Produkt von Primzahlen geschrieben. Der
Hauptnenner setzt sich aus den höchsten Potenzen aller vorkommenden Prim-
faktoren zusammen.
Addition eines Bruches mit einer ganzen Zahl:
1. Die Summe einer natürlichen Zahl mit einem Bruch kann als gemischter Bruch
geschrieben werden.
2. Eine natürliche Zahl wird als gleichnamiger Bruch erweitert. Anschließend
Werden die Zähler addiert.
Rechengesetze bei der Multiplikation und Addition von Brüchen:
Vertauschungsgesetzt: Kommutativgesetz, KG
Die Faktoren (Summanden) dürfen getauscht werden.
Verbindungsgesetz: Assoziativgesetz, AG
Die Klammern dürfen vertauscht werden
Regeln für Terme:
Inhalte von Klammern ausrechnen
Punkt vor Strich
Rechenrichtung von links nach rechts
Bruchterme
Das Ergebnis eines Bruchterms erhältst du, indem du zuerst den Zähler, dann den
Nenner berechnest.
Doppelbrüche
Der Zähler des Doppelbruchs wird mit dem Nennerkehrwert multipliziert.
