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Schulaufgabe aus der Mathematik - Klasse 8
Thema: Grundwissen, Terme, binomische Formeln, Extremwerte, Geometrische Ortsbereiche
Grundwissen:
Aufgabe 1:
Berechne die Lösungsmenge der beiden linearen Gleichungen über der Grundmenge Q.
a) 2x + 2,1 = 6,5 – 2x 1,5 P
b) (4 + 8) · 2 – 3x = 2x + (5 – 8) – 2x 2,5 P
Rechnen mit Termen:
Aufgabe 2:
Multipliziere aus und fasse soweit wie möglich zusammen!
a) 7x - [ 3x + 2 ( 4x - 8 ) - ( - 3x + 11 ) - 4 ] + 15x = 2,0 P
b) ( 6 + a ) ( a – 6 ) + 22 - ( - 3)3 = 2,5 P
Aufgabe 3:
Klammere den angegebenen Faktor aus:
a) 2x2 – 3x + 8 Faktor: 4 1,0 P
b) 3g2 – g + 2 Faktor: 0,5 1,0 P
Binomische Formeln:
Aufgabe 4:
Wende – wenn möglich – die binomischen Formeln an, vereinfache, ordne!
a) ( 8x – 5y ) ( 8x + 5y ) = 1,0 P
b) ( x + 6 )2 = 1,0 P
c) ( 13x + 10y ) ( 10x – 13y ) = 1,0 P
Aufgabe 5:
Ergänze die Leerstellen, so dass eine binomische Formel entsteht!
a) (11x + ___ )2 = ___ + ___ + 144y2 1,5 P
b) (___ - 0,4)2 = ___ - 8x + ____ 1,5 P
Aufgabe 6:
Faktorisiere wenn möglich!
a) 2,25 – 9x2 = 1,0 P
b) 289a2 – 170ab + 25b2 = 1,0 P
Extremwerte:
Aufgabe 7:
Gegeben ist der Term T(x) = 6 – 2x + 2x2
a) Besitzt dieser Term ein Minimum oder ein Maximum? (Begründung !!)
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________ 2,0 P
Schulaufgabe aus der Mathematik - Klasse 8
Thema: Grundwissen, Terme, binomische Formeln, Extremwerte, Geometrische Ortsbereiche
Grundwissen:
Aufgabe 1:
Berechne die Lösungsmenge der beiden linearen Gleichungen über der Grundmenge Q.
a) 2x + 2,1 = 6,5 – 2x 1,5 P
b) (4 + 8) · 2 – 3x = 2x + (5 – 8) – 2x 2,5 P
Rechnen mit Termen:
Aufgabe 2:
Multipliziere aus und fasse soweit wie möglich zusammen!
a) 7x - [ 3x + 2 ( 4x - 8 ) - ( - 3x + 11 ) - 4 ] + 15x = 2,0 P
b) ( 6 + a ) ( a – 6 ) + 22 - ( - 3)3 = 2,5 P
Aufgabe 3:
Klammere den angegebenen Faktor aus:
a) 2x2 – 3x + 8 Faktor: 4 1,0 P
b) 3g2 – g + 2 Faktor: 0,5 1,0 P
Binomische Formeln:
Aufgabe 4:
Wende – wenn möglich – die binomischen Formeln an, vereinfache, ordne!
a) ( 8x – 5y ) ( 8x + 5y ) = 1,0 P
b) ( x + 6 )2 = 1,0 P
c) ( 13x + 10y ) ( 10x – 13y ) = 1,0 P
Aufgabe 5:
Ergänze die Leerstellen, so dass eine binomische Formel entsteht!
a) (11x + ___ )2 = ___ + ___ + 144y2 1,5 P
b) (___ - 0,4)2 = ___ - 8x + ____ 1,5 P
Aufgabe 6:
Faktorisiere wenn möglich!
a) 2,25 – 9x2 = 1,0 P
b) 289a2 – 170ab + 25b2 = 1,0 P
Extremwerte:
Aufgabe 7:
Gegeben ist der Term T(x) = 6 – 2x + 2x2
a) Besitzt dieser Term ein Minimum oder ein Maximum? (Begründung !!)
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________ 2,0 P
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b) Fertige eine Wertetabelle für x ∈ [ - 3,5; 0,5 ] mit Δ x = 0,5 2,0 P
c) Berechne den Extremwert des Terms und die zugehörige Belegung für x!
(Rechnung !!!) 4,0 P
Aufgabe 8:
Zeichne den Graphen zu folgenden quadratischen Termen (nicht rechnen – es genügt die
Lage des Graphen in den passenden Quadranten sowie die Position Minimum/Maximum zu
erkennen)!
a) - x2 – 2 1,0 P
b) - x2 + 1 1,0 P
c) (x-1,5)2 1,5 P
Aufgabe 9:
Gib den maximalen oder minimalen Termwert durch Ablesen an!
a) T(x) = 4 – (x – 3)2 ____________ 1,0 P
b) T(x) = 3 (x + 4)2 – 2 ____________ 1,0 P
c) T(x) = 2 – x2 ____________ 1,0 P
Aufgabe 10:
Von einem quadratischen Term sind der Extremwert, die Art des Extremwerts und die
zugehörige Belegung bekannt. Gib einen möglichen Term mit diesen Eigenschaften an:
Extremwert Art Stelle Term
2 Maximum X = 3
-1 Minimum X = (-1)
8 Minimum X = 0
3,5 P
Geometrische Ortsbereiche:
Aufgabe 11:
„Ich suche alle Punkte T die von einem Punkt B weniger, als 2,5 cm entfernt sind.“
a) Wie bezeichnet man diesen geometrischen Ort genau? (Wortlaut)
_______________________________________________________ 1,0 P
b) Zeichne den Punkt B und die Lage der Punkte T (grüne Farbe). 1,5 P
c) Gib die beiden mathematisch korrekten Schreibweisen an. 1,0 P
__________________________________
__________________________________
VIEL ERFOLG ☺☺ _____ 40 P
b) Fertige eine Wertetabelle für x ∈ [ - 3,5; 0,5 ] mit Δ x = 0,5 2,0 P
c) Berechne den Extremwert des Terms und die zugehörige Belegung für x!
(Rechnung !!!) 4,0 P
Aufgabe 8:
Zeichne den Graphen zu folgenden quadratischen Termen (nicht rechnen – es genügt die
Lage des Graphen in den passenden Quadranten sowie die Position Minimum/Maximum zu
erkennen)!
a) - x2 – 2 1,0 P
b) - x2 + 1 1,0 P
c) (x-1,5)2 1,5 P
Aufgabe 9:
Gib den maximalen oder minimalen Termwert durch Ablesen an!
a) T(x) = 4 – (x – 3)2 ____________ 1,0 P
b) T(x) = 3 (x + 4)2 – 2 ____________ 1,0 P
c) T(x) = 2 – x2 ____________ 1,0 P
Aufgabe 10:
Von einem quadratischen Term sind der Extremwert, die Art des Extremwerts und die
zugehörige Belegung bekannt. Gib einen möglichen Term mit diesen Eigenschaften an:
Extremwert Art Stelle Term
2 Maximum X = 3
-1 Minimum X = (-1)
8 Minimum X = 0
3,5 P
Geometrische Ortsbereiche:
Aufgabe 11:
„Ich suche alle Punkte T die von einem Punkt B weniger, als 2,5 cm entfernt sind.“
a) Wie bezeichnet man diesen geometrischen Ort genau? (Wortlaut)
_______________________________________________________ 1,0 P
b) Zeichne den Punkt B und die Lage der Punkte T (grüne Farbe). 1,5 P
c) Gib die beiden mathematisch korrekten Schreibweisen an. 1,0 P
__________________________________
__________________________________
VIEL ERFOLG ☺☺ _____ 40 P
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2. Schulaufgabe aus der Mathematik
Klasse 8 Realschule Bayern
Februar 2012
LÖSUNG
Grundwissen:
Aufgabe 1:
Berechne die Lösungsmenge der beiden linearen Gleichungen über der Grundmenge Q.
a) 2x + 2,1 = 6,5 - 2x | + 2x – 2,1 1,5 P
4x = 4,4 | :4
x = 1,1 L={1,1}
b) (4 + 8) · 2 – 3x = 2x + (5 – 8) – 2x 2,5 P
24 – 3x = (-3) | -24
- 3x = (- 27) | : (-3)
x = 9 L = {9}
Rechnen mit Termen:
Aufgabe 2:
Multipliziere aus und fasse soweit wie möglich zusammen!
a) 7x - [ 3x + 2 ( 4x - 8 ) - ( - 3x + 11 ) - 4 ] + 15x = 2,0 P
7x – [ 3x + 8x – 16 + 3x – 11 – 4 ] + 15x =
7x – 3x – 8x + 16 – 3x + 11 + 4 + 15x = 8x + 31
b) ( 6 + a ) ( a – 6 ) + 22 - ( - 3)3 = 2,5 P
( a + 6 ) ( a – 6 ) + 4 – (- 27 ) =
a2 - 36 + 4 + 27 = a2 – 5
Aufgabe 3:
Klammere den angegebenen Faktor aus:
a) 2x2 – 3x + 8 Faktor: 4 1,0 P
4 (0,5x2 – 0,75x + 2)
b) 3g2 – g + 2 Faktor: 0,5 1,0 P
0,5 (6g2 – 2g + 4)
Binomische Formeln:
Aufgabe 4:
Wende – wenn möglich – die binomischen Formeln an, vereinfache, ordne!
a) ( 8x – 5y ) ( 8x + 5y ) = (8x)2 – (5y)2 = 64x2 - 25y2 1,0 P
b) ( x + 6 )2 = x2 – 12x + 36 1,0 P
c) ( 13x + 10y ) ( 10x – 13y ) = (keine binomische Formel) 1,0 P
130x2 + 100xy – 169xy – 130y2 = 130x2 – 69xy – 130y2
Aufgabe 5:
Ergänze die Leerstellen, so dass eine binomische Formel entsteht!
a) (11x + 12y )2 = 121x2 + 264xy + 144y2 1,5 P
b) (10x - 0,4)2 = 100x2 - 8x + 0,16 1,5 P
Aufgabe 6:
Faktorisiere – wenn möglich!
a) 2,25 – 9x2 = (1,5 – 3x) (1,5 + 3x) 1,0 P
b) 289a2 – 170ab + 25b2 = (17a - 5b)2 1,0 P
2. Schulaufgabe aus der Mathematik
Klasse 8 Realschule Bayern
Februar 2012
LÖSUNG
Grundwissen:
Aufgabe 1:
Berechne die Lösungsmenge der beiden linearen Gleichungen über der Grundmenge Q.
a) 2x + 2,1 = 6,5 - 2x | + 2x – 2,1 1,5 P
4x = 4,4 | :4
x = 1,1 L={1,1}
b) (4 + 8) · 2 – 3x = 2x + (5 – 8) – 2x 2,5 P
24 – 3x = (-3) | -24
- 3x = (- 27) | : (-3)
x = 9 L = {9}
Rechnen mit Termen:
Aufgabe 2:
Multipliziere aus und fasse soweit wie möglich zusammen!
a) 7x - [ 3x + 2 ( 4x - 8 ) - ( - 3x + 11 ) - 4 ] + 15x = 2,0 P
7x – [ 3x + 8x – 16 + 3x – 11 – 4 ] + 15x =
7x – 3x – 8x + 16 – 3x + 11 + 4 + 15x = 8x + 31
b) ( 6 + a ) ( a – 6 ) + 22 - ( - 3)3 = 2,5 P
( a + 6 ) ( a – 6 ) + 4 – (- 27 ) =
a2 - 36 + 4 + 27 = a2 – 5
Aufgabe 3:
Klammere den angegebenen Faktor aus:
a) 2x2 – 3x + 8 Faktor: 4 1,0 P
4 (0,5x2 – 0,75x + 2)
b) 3g2 – g + 2 Faktor: 0,5 1,0 P
0,5 (6g2 – 2g + 4)
Binomische Formeln:
Aufgabe 4:
Wende – wenn möglich – die binomischen Formeln an, vereinfache, ordne!
a) ( 8x – 5y ) ( 8x + 5y ) = (8x)2 – (5y)2 = 64x2 - 25y2 1,0 P
b) ( x + 6 )2 = x2 – 12x + 36 1,0 P
c) ( 13x + 10y ) ( 10x – 13y ) = (keine binomische Formel) 1,0 P
130x2 + 100xy – 169xy – 130y2 = 130x2 – 69xy – 130y2
Aufgabe 5:
Ergänze die Leerstellen, so dass eine binomische Formel entsteht!
a) (11x + 12y )2 = 121x2 + 264xy + 144y2 1,5 P
b) (10x - 0,4)2 = 100x2 - 8x + 0,16 1,5 P
Aufgabe 6:
Faktorisiere – wenn möglich!
a) 2,25 – 9x2 = (1,5 – 3x) (1,5 + 3x) 1,0 P
b) 289a2 – 170ab + 25b2 = (17a - 5b)2 1,0 P
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Extremwerte:
Aufgabe 7:
Gegeben ist der Term T(x) = 6 – 2x + 2x2 = 2x2 – 2x + 6
a) Besitzt dieser Term ein Minimum oder ein Maximum? (Begründung !!)
Es handelt sich um ein Minimum, weil der Faktor um x2 positiv ist 2,0 P
b) Fertige eine Wertetabelle für x ∈ [ - 3,5; 0,5 ] mit Δ x = 0,5 2,0 P
-3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5
y 37,5 30 23,5 18 13,5 10 7,5 6 5,5
c) Berechne den Extremwert des Terms und die zugehörige Belegung für x!
(Rechnung !!!) 4,0 P
2 ( x2 – x + 0,52 – 0,52) + 6 =
2 [ (x - 0,5)2 – 0,25] + 6 =
2 (x – 0,5)2 – 0,5 + 6 =
2 (x – 0,5)2 + 5,5
Tmin = 5,5 für x = 0,5
Aufgabe 8:
Zeichne den Graphen zu folgenden quadratischen Termen (nicht rechnen – es genügt die
Lage des Graphen in den passenden Quadranten sowie die Position Minimum/Maximum zu
erkennen) !
a) - x2 – 2 (Öffnung nach unten, max bei y – 2) 1,0 P
b) - x2 + 1 (Öffnung nach unten, max bei y + 1) 1,0 P
c) (x - 1,5)2 (Öffnung nach oben, min bei x + 1,5) 1,5 P
Aufgabe 9:
Gib den maximalen oder minimalen Termwert durch Ablesen an!
a) T(x) = 4 – (x – 3)2 Tmax = 4 1,0 P
b) T(x) = 3 (x + 4)2 – 2 Tmin = (-2) 1,0 P
c) T(x) = 2 – x2 Tmax = 2 1,0 P
Aufgabe 10:
Von einem quadratischen Term sind der Extremwert, die Art des Extremwerts und die
zugehörige Belegung bekannt. Gib einen möglichen Term mit diesen Eigenschaften an:
Extremwert Art Stelle Term
2 Maximum X = 3 - (x – 3)2 + 2
-1 Minimum X = (-1) (x + 1)2 - 1
8 Minimum X = 0 (x + 0)2 + 8
3,5 P
Extremwerte:
Aufgabe 7:
Gegeben ist der Term T(x) = 6 – 2x + 2x2 = 2x2 – 2x + 6
a) Besitzt dieser Term ein Minimum oder ein Maximum? (Begründung !!)
Es handelt sich um ein Minimum, weil der Faktor um x2 positiv ist 2,0 P
b) Fertige eine Wertetabelle für x ∈ [ - 3,5; 0,5 ] mit Δ x = 0,5 2,0 P
-3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5
y 37,5 30 23,5 18 13,5 10 7,5 6 5,5
c) Berechne den Extremwert des Terms und die zugehörige Belegung für x!
(Rechnung !!!) 4,0 P
2 ( x2 – x + 0,52 – 0,52) + 6 =
2 [ (x - 0,5)2 – 0,25] + 6 =
2 (x – 0,5)2 – 0,5 + 6 =
2 (x – 0,5)2 + 5,5
Tmin = 5,5 für x = 0,5
Aufgabe 8:
Zeichne den Graphen zu folgenden quadratischen Termen (nicht rechnen – es genügt die
Lage des Graphen in den passenden Quadranten sowie die Position Minimum/Maximum zu
erkennen) !
a) - x2 – 2 (Öffnung nach unten, max bei y – 2) 1,0 P
b) - x2 + 1 (Öffnung nach unten, max bei y + 1) 1,0 P
c) (x - 1,5)2 (Öffnung nach oben, min bei x + 1,5) 1,5 P
Aufgabe 9:
Gib den maximalen oder minimalen Termwert durch Ablesen an!
a) T(x) = 4 – (x – 3)2 Tmax = 4 1,0 P
b) T(x) = 3 (x + 4)2 – 2 Tmin = (-2) 1,0 P
c) T(x) = 2 – x2 Tmax = 2 1,0 P
Aufgabe 10:
Von einem quadratischen Term sind der Extremwert, die Art des Extremwerts und die
zugehörige Belegung bekannt. Gib einen möglichen Term mit diesen Eigenschaften an:
Extremwert Art Stelle Term
2 Maximum X = 3 - (x – 3)2 + 2
-1 Minimum X = (-1) (x + 1)2 - 1
8 Minimum X = 0 (x + 0)2 + 8
3,5 P
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Geometrische Ortsbereiche:
Aufgabe 11:
„Ich suche alle Punkte T die von einem Punkt B weniger, als 2,5 cm entfernt sind.“
a) Wie bezeichnet man diesen geometrischen Ort genau? (Wortlaut)
Es handelt sich um das Kreisinnere. 1,0 P
b) Zeichne den Punkt B und die Lage der Punkte T (grüne Farbe). 1,5 P
(Hier zeichnest du einen Kreis mit dem Radius 2,5 cm und markierst
den Bereich INNERHALB der Kreislinie komplett grün)
c) Gib die beiden mathematisch korrekten Schreibweisen an. 1,0 P
k: (B;r = 2,5 cm) oder k: = {T/BP =/< 2,5 cm}
____
40 P
VIEL ERFOLG ☺☺
Notenschlüssel
40 bis 35 1
34,5 bis 30 2
29,5 bis 25 3
24,5 bis 20 4
19,5 bis 15 5
14,5 bis 0 6
Geometrische Ortsbereiche:
Aufgabe 11:
„Ich suche alle Punkte T die von einem Punkt B weniger, als 2,5 cm entfernt sind.“
a) Wie bezeichnet man diesen geometrischen Ort genau? (Wortlaut)
Es handelt sich um das Kreisinnere. 1,0 P
b) Zeichne den Punkt B und die Lage der Punkte T (grüne Farbe). 1,5 P
(Hier zeichnest du einen Kreis mit dem Radius 2,5 cm und markierst
den Bereich INNERHALB der Kreislinie komplett grün)
c) Gib die beiden mathematisch korrekten Schreibweisen an. 1,0 P
k: (B;r = 2,5 cm) oder k: = {T/BP =/< 2,5 cm}
____
40 P
VIEL ERFOLG ☺☺
Notenschlüssel
40 bis 35 1
34,5 bis 30 2
29,5 bis 25 3
24,5 bis 20 4
19,5 bis 15 5
14,5 bis 0 6
