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Mathematik Trigonometrische Funktionen
Realschule 10. Klasse
Aufgabe 1 a : Berechne Seite b:
Aufgabe 1b: Berechne Seite c:
Aufgabe 2:
Ein gleichschenkeliges Trapez hat folgende Maße:
a = 22 cm ; c = 10 cm ; d = 8 cm
Berechne den Winkel β und die Höhe des Trapezes
Aufgabe 3:
Um die Höhe eines Turmes zu ermitteln, wird von einem Punkt aus, der 41 m vom Fußpunkt des
Turmes entfernt ist, die Spitze des Turmes unter einem Winkel von 25,5° gesehen.
Die Augen des Betrachters sind in einer Höhe von 1,5 m .
Wie hoch ist der Turm?
Aufgabe 4:
Die Entfernung zwischen zwei Punkten A und B im Gelände wird mit Hilfe einer Standlinie CD
gemessen.
Wie lang ist die Strecke AB?
Mathematik Trigonometrische Funktionen
Realschule 10. Klasse
Aufgabe 1 a : Berechne Seite b:
Aufgabe 1b: Berechne Seite c:
Aufgabe 2:
Ein gleichschenkeliges Trapez hat folgende Maße:
a = 22 cm ; c = 10 cm ; d = 8 cm
Berechne den Winkel β und die Höhe des Trapezes
Aufgabe 3:
Um die Höhe eines Turmes zu ermitteln, wird von einem Punkt aus, der 41 m vom Fußpunkt des
Turmes entfernt ist, die Spitze des Turmes unter einem Winkel von 25,5° gesehen.
Die Augen des Betrachters sind in einer Höhe von 1,5 m .
Wie hoch ist der Turm?
Aufgabe 4:
Die Entfernung zwischen zwei Punkten A und B im Gelände wird mit Hilfe einer Standlinie CD
gemessen.
Wie lang ist die Strecke AB?
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Aufgabe 5 :
Die vorgeschriebene Dachneigung in einem Wohngebiet soll mindestens 35° betragen, aber 45°
nicht überschreiten. Frau Cordes hat für das 10,5 m breite Haus mit Satteldach eine
Giebeldachhöhe von 5,30 m vorgesehen.
Wie wird die vorgeschriebene Dachneigung damit eingehalten? Begründe rechnerisch.
Aufgabe 6 :
Ein Flugzeug startet unter einem gleich bleibenden Winkel.
Es überfliegt eine 8 km vom Startplatz entfernte Hütte in 2350 m Höhe.
a) Berechne den Winkel für den Steilflug
b) Welchen Weg hat das Flugzeug bis zu der Stelle zurückgelegt, an der es die Hütte überfliegt?
c) Nach welcher Flugstrecke sind 10 km Höhe erreicht?
Aufgabe 5 :
Die vorgeschriebene Dachneigung in einem Wohngebiet soll mindestens 35° betragen, aber 45°
nicht überschreiten. Frau Cordes hat für das 10,5 m breite Haus mit Satteldach eine
Giebeldachhöhe von 5,30 m vorgesehen.
Wie wird die vorgeschriebene Dachneigung damit eingehalten? Begründe rechnerisch.
Aufgabe 6 :
Ein Flugzeug startet unter einem gleich bleibenden Winkel.
Es überfliegt eine 8 km vom Startplatz entfernte Hütte in 2350 m Höhe.
a) Berechne den Winkel für den Steilflug
b) Welchen Weg hat das Flugzeug bis zu der Stelle zurückgelegt, an der es die Hütte überfliegt?
c) Nach welcher Flugstrecke sind 10 km Höhe erreicht?
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Lösungen:
Aufgabe 1a:
cos 37,0 = b / 5,9 nach b umgestellt: b= 5,9 • cos 37 = 4,71 cm
Aufgabe 1b:
sin55 = 7,5 / c nach c umgestellt: c= 7,5 / sin 55 = 9,16 cm
Aufgabe 2 :
a = c + 2•s umgestellt: s = (a-c)/2 s = (22-10)/2 s = 6 cm
cos β = s/b mit b=d folgt: β = arc cos ( 6/8) β = 41,41°
sin β = h/b umgestellt: h = b • sin β = 8 • sin 41,41 h = 5,3 cm
Aufgabe 3 :
T = Turmhöhe
b = 1,5 m Betrachtergröße
h Höhe Dreieck
s = 41 m Abstand zum Turm
T = b + h und tan 25,5 =h/s dann folgt h = s • tan 25,5
T = b + s • tan 25,5
T = 1,5 + 41 • tan 25,5 = 21,1 m
Aufgabe 4:
sin 50 = AD / CD umgestellt: AD = CD • sin 50 = 270m • sin 50 = 206,83m
α = 180° - 90° - 50° = 40°
β= 110° - 40° = 70°
tan β = AB / AD umgestellt: AB = AD • tan β = 206,83 • tan 70 Strecke AB = 568,3 m
Aufgabe 5:
Hausbreite c = 10,5 m und Giebelhöhe h = 5,3 m
tan β = c/2 / h
tan β = 5,25 / 5,3 daraus folgt β = 45,3°
Da 45,3° > 45° wurde die vorgeschriebene Dachneigung nicht eingehalten.
Aufgabe 6:
Die Hütte befindet sich an Position B
Strecke AB ist 8 km
Strecke BC ist 2350 m
Lösungen:
Aufgabe 1a:
cos 37,0 = b / 5,9 nach b umgestellt: b= 5,9 • cos 37 = 4,71 cm
Aufgabe 1b:
sin55 = 7,5 / c nach c umgestellt: c= 7,5 / sin 55 = 9,16 cm
Aufgabe 2 :
a = c + 2•s umgestellt: s = (a-c)/2 s = (22-10)/2 s = 6 cm
cos β = s/b mit b=d folgt: β = arc cos ( 6/8) β = 41,41°
sin β = h/b umgestellt: h = b • sin β = 8 • sin 41,41 h = 5,3 cm
Aufgabe 3 :
T = Turmhöhe
b = 1,5 m Betrachtergröße
h Höhe Dreieck
s = 41 m Abstand zum Turm
T = b + h und tan 25,5 =h/s dann folgt h = s • tan 25,5
T = b + s • tan 25,5
T = 1,5 + 41 • tan 25,5 = 21,1 m
Aufgabe 4:
sin 50 = AD / CD umgestellt: AD = CD • sin 50 = 270m • sin 50 = 206,83m
α = 180° - 90° - 50° = 40°
β= 110° - 40° = 70°
tan β = AB / AD umgestellt: AB = AD • tan β = 206,83 • tan 70 Strecke AB = 568,3 m
Aufgabe 5:
Hausbreite c = 10,5 m und Giebelhöhe h = 5,3 m
tan β = c/2 / h
tan β = 5,25 / 5,3 daraus folgt β = 45,3°
Da 45,3° > 45° wurde die vorgeschriebene Dachneigung nicht eingehalten.
Aufgabe 6:
Die Hütte befindet sich an Position B
Strecke AB ist 8 km
Strecke BC ist 2350 m
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a:
tan β = BC / AB
tan β = 2350 / 8000 daraus folgt β = 16,37°
Das Flugzeug steigt unter einem Winkel von 16,37°
b:
gesucht Strecke AC
cos β = AB / AC umgestellt AC = AB / cos β
AC = 8000 / cos 16,37° AC = 8338 m
Das Flugzeug hat beim Überflug der Hütte eine Wegstrecke von 8338 m zurückgelegt
c:
gesucht Flugstrecke AE
10 km Überflughöhe im Punkt D
sin β = ED / AE umgestellt nach AE
AE = ED / sin β
AE = 10 / sin 16,37° AD = 35,48 km
Nach einer Flugstrecke von 35,48 km ist eine Flughöhe von 10 km erreicht.
a:
tan β = BC / AB
tan β = 2350 / 8000 daraus folgt β = 16,37°
Das Flugzeug steigt unter einem Winkel von 16,37°
b:
gesucht Strecke AC
cos β = AB / AC umgestellt AC = AB / cos β
AC = 8000 / cos 16,37° AC = 8338 m
Das Flugzeug hat beim Überflug der Hütte eine Wegstrecke von 8338 m zurückgelegt
c:
gesucht Flugstrecke AE
10 km Überflughöhe im Punkt D
sin β = ED / AE umgestellt nach AE
AE = ED / sin β
AE = 10 / sin 16,37° AD = 35,48 km
Nach einer Flugstrecke von 35,48 km ist eine Flughöhe von 10 km erreicht.
