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Lineare Gleichungssysteme Arbeitsblatt 1
1. Löse folgende Gleichungssysteme:
a) (I) 6x + 5y = -36 b) (I) 2x – 6y = 1
(II) -7x + 3y = -11 (II) x – y = 1
2. Löse das Gleichungssystem rechnerisch und graphisch:
(I) y = 2x – 1
(II) x = 0,5 y + 3
3. Klaus zahlt für 17 normale und 2 Farbkopien 9,84 Euro, Claudia für 1 Farbkopie und
39 normale Kopien 8,58 Euro. Wie viel kostet eine Farbkopie?
4. Gegeben sind die Geraden y = 2x – 2 und y = 0,5x + 3
a) Zeichne die Geraden in ein Koordinatensystem! Bestimme den Schnittpunkt.
b) Die beiden Gleichungen bilden ein Gleichungssystem.
Löse das Gleichungssystem rechnerisch
5. Löse die Gleichungssysteme rechnerisch und zeichnerisch. Wähle für a) b) c)
unterschiedliche Farben. Vergleiche zur Kontrolle die Ergebnisse der Rechnungen mit
den Schnittpunkten in der Zeichnung.
a) (1) y = 2x – 1 b) (1) y = -4x + 2 c) (1) y = 0,5x – 1,5
(2) y = - x + 2 (2) y = -2x (2) y = -2x + 3,5
Lineare Gleichungen sind Gleichungen mit zwei Variablen, nämlich x und y.
Diese Gleichungen haben als Lösung Zahlenpaare (x;y), welche die Gleichung
lösen. Trägt man alle diese Paare in ein Koordinatensystem ein, so liegen sie
alle auf einer Geraden.
Merke: Steht die Gleichung nicht in der Form: y = mx + b da, so formt man sie
immer als Erstes in diese Form um.
Beispiel: 2x + y = 8
y = 8 - 2x also y = -2x + 8
Lineare Gleichungssysteme bestehen aus zwei Gleichungen mit jeweils zwei
Variablen. Jede der Gleichungen hat unendlich viele Zahlenpaare als Lösung.
Wie kann man aber die Zahlenpaare finden, die beide Gleichungen lösen?
1. Lösung durch Zeichnung: Die Koordinaten des Schnittpunktes S(x/y)
2. Lösung durch Rechnung
2.1. Gleichsetzungsverfahren
2.2. Einsetzungsverfahren
2.3. Additionsverfahren
Die Zahlenpaare, die beide Gleichungen lösen, nennt man Lösung des
Gleichungssystems.
Merke: Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen hat entweder
genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen.
Lineare Gleichungssysteme Arbeitsblatt 1
1. Löse folgende Gleichungssysteme:
a) (I) 6x + 5y = -36 b) (I) 2x – 6y = 1
(II) -7x + 3y = -11 (II) x – y = 1
2. Löse das Gleichungssystem rechnerisch und graphisch:
(I) y = 2x – 1
(II) x = 0,5 y + 3
3. Klaus zahlt für 17 normale und 2 Farbkopien 9,84 Euro, Claudia für 1 Farbkopie und
39 normale Kopien 8,58 Euro. Wie viel kostet eine Farbkopie?
4. Gegeben sind die Geraden y = 2x – 2 und y = 0,5x + 3
a) Zeichne die Geraden in ein Koordinatensystem! Bestimme den Schnittpunkt.
b) Die beiden Gleichungen bilden ein Gleichungssystem.
Löse das Gleichungssystem rechnerisch
5. Löse die Gleichungssysteme rechnerisch und zeichnerisch. Wähle für a) b) c)
unterschiedliche Farben. Vergleiche zur Kontrolle die Ergebnisse der Rechnungen mit
den Schnittpunkten in der Zeichnung.
a) (1) y = 2x – 1 b) (1) y = -4x + 2 c) (1) y = 0,5x – 1,5
(2) y = - x + 2 (2) y = -2x (2) y = -2x + 3,5
Lineare Gleichungen sind Gleichungen mit zwei Variablen, nämlich x und y.
Diese Gleichungen haben als Lösung Zahlenpaare (x;y), welche die Gleichung
lösen. Trägt man alle diese Paare in ein Koordinatensystem ein, so liegen sie
alle auf einer Geraden.
Merke: Steht die Gleichung nicht in der Form: y = mx + b da, so formt man sie
immer als Erstes in diese Form um.
Beispiel: 2x + y = 8
y = 8 - 2x also y = -2x + 8
Lineare Gleichungssysteme bestehen aus zwei Gleichungen mit jeweils zwei
Variablen. Jede der Gleichungen hat unendlich viele Zahlenpaare als Lösung.
Wie kann man aber die Zahlenpaare finden, die beide Gleichungen lösen?
1. Lösung durch Zeichnung: Die Koordinaten des Schnittpunktes S(x/y)
2. Lösung durch Rechnung
2.1. Gleichsetzungsverfahren
2.2. Einsetzungsverfahren
2.3. Additionsverfahren
Die Zahlenpaare, die beide Gleichungen lösen, nennt man Lösung des
Gleichungssystems.
Merke: Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen hat entweder
genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen.
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Lineare Gleichungssysteme Arbeitsblatt 2
1. Löse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren:
(I) 5 y + 3 x = 44
(II) 3 x = 4 y + 8
2. Löse folgendes Gleichungssystem zeichnerisch:
(I) y = - x + 2
(II) 2 y + 4 x = 3
3. Von welchen Gleichungen ist das Zahlenpaar (3; 4) eine Lösung? Kreuze an:
a) 2x = 11
2y b) y + 3x = -13 c) y + 9,5 = 4,5x
d) 0 = -x + 11 – 2y e) 3y – 16,2x = -4,2 f) 4y = 8
3x+8
g) y – 6,1 = -0,7x h) y = 15
12x+3
4
Drei Gleichungen werden nicht von (3; 4) gelöst. Ersetze in diesen die Zahl ohne
Variable so, dass (3; 4) nun eine Lösung ist.
4. Hans soll am Kiosk für seine Familie und die Verwandten, die schon seit drei Tagen zu
Besuch sind Eis holen. Ein Milchfinger kostet 1,20 € und eine Schokohand 1,50 €. Das
Geld hat er abgezählt mitbekommen, genau 18 €. Auf dem Weg zum Kiosk sagt sich
Hans ständig vor, wie viel von welchem Eis er holen soll, dabei vertauscht er leider
irgendwann die Eissorten. Beim Bezahlen bekommt er 0,90 € zurück. Stelle das lineare
Gleichungssystem auf und löse mit dem Additionsverfahren.
Die Variable x steht für die Anzahl der ______________ und die Variable y für die
Anzahl der _______________.
Eigentlich soll Hans ____ Milchfinger und ____ Schokohände holen.
5. Löse das Gleichungssystem mit dem Einsetzverfahren:
(I) y + 5 = 2x
(II) 8y = 2y + 22
6. Löse das Gleichungssystem rechnerisch und graphisch:
y = 2x – 1
x = 1
2y+3
7. Ein Bauer besitzt Hasen und Hühner, zusammen haben sie 22 Beine. Wie viele Hasen
und wie viele Hühner könnten dem Bauer gehören? Stelle eine Gleichung mit zwei
Variablen auf und gib alle möglichen ganzzahligen Lösungen an.
Gegeben ist folgende Gleichung: 8y – 6x = 72.
Eine mögliche Textaufgabe zu dieser Gleichung könnte die Anzahl der Beine von
________ und __________ betreffen.
Notiere die ganzzahligen Lösungen der Gleichung
Lineare Gleichungssysteme Arbeitsblatt 2
1. Löse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren:
(I) 5 y + 3 x = 44
(II) 3 x = 4 y + 8
2. Löse folgendes Gleichungssystem zeichnerisch:
(I) y = - x + 2
(II) 2 y + 4 x = 3
3. Von welchen Gleichungen ist das Zahlenpaar (3; 4) eine Lösung? Kreuze an:
a) 2x = 11
2y b) y + 3x = -13 c) y + 9,5 = 4,5x
d) 0 = -x + 11 – 2y e) 3y – 16,2x = -4,2 f) 4y = 8
3x+8
g) y – 6,1 = -0,7x h) y = 15
12x+3
4
Drei Gleichungen werden nicht von (3; 4) gelöst. Ersetze in diesen die Zahl ohne
Variable so, dass (3; 4) nun eine Lösung ist.
4. Hans soll am Kiosk für seine Familie und die Verwandten, die schon seit drei Tagen zu
Besuch sind Eis holen. Ein Milchfinger kostet 1,20 € und eine Schokohand 1,50 €. Das
Geld hat er abgezählt mitbekommen, genau 18 €. Auf dem Weg zum Kiosk sagt sich
Hans ständig vor, wie viel von welchem Eis er holen soll, dabei vertauscht er leider
irgendwann die Eissorten. Beim Bezahlen bekommt er 0,90 € zurück. Stelle das lineare
Gleichungssystem auf und löse mit dem Additionsverfahren.
Die Variable x steht für die Anzahl der ______________ und die Variable y für die
Anzahl der _______________.
Eigentlich soll Hans ____ Milchfinger und ____ Schokohände holen.
5. Löse das Gleichungssystem mit dem Einsetzverfahren:
(I) y + 5 = 2x
(II) 8y = 2y + 22
6. Löse das Gleichungssystem rechnerisch und graphisch:
y = 2x – 1
x = 1
2y+3
7. Ein Bauer besitzt Hasen und Hühner, zusammen haben sie 22 Beine. Wie viele Hasen
und wie viele Hühner könnten dem Bauer gehören? Stelle eine Gleichung mit zwei
Variablen auf und gib alle möglichen ganzzahligen Lösungen an.
Gegeben ist folgende Gleichung: 8y – 6x = 72.
Eine mögliche Textaufgabe zu dieser Gleichung könnte die Anzahl der Beine von
________ und __________ betreffen.
Notiere die ganzzahligen Lösungen der Gleichung
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Lineare Gleichungssysteme Arbeitsblatt 3
1. Addiert man zu einer Zahl das Doppelte einer zweiten, so erhält man 142.
Wenn man von der zweiten Zahl das Fünffache der ersten Zahl subtrahiert, erhält
man 5.
2. Löse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren.
6 x + 13 y = 31
- 13 y + 4 x = -1
3. Hier sind die Lösungsschritte samt Probe der beiden linearen Gleichungssysteme
durcheinandergeraten. Markiere zusammengehörende Kärtchen in einer Farbe und
nummeriere die Abfolge der Lösungsschritte.
a) (1) 3x + y = 8 b) (1) 0,6x + 2y = 4,4
(2) y = 2x – 12 (2) 0,6x = 3y + 0,6
__(1‘) y = 8 – 3x __ (1) – (2) 3y + 0,6 + 2y = 4,4
__ x = 4,8 __ 0,6x + 1,52 = 4,4 |-15,2
__ 12 + y = 8 |-12 __ 5 y = 3,8 |:5
__ P mit (2) -4 = 2 · 4 – 12 __ 2,88 = 2,88
__ -4 = -4 __ (2‘) 0,6x – 3y – 0,6 = 0
__ 5y + 0,6 = 4,4 |-0,6 __ x = 4
__ y = 0,76 __ (1) 0,6x + 2 · 0,76 = 4,4
__ P mit (2) 0,6 · 4,8 = 3 · 0,76 + 0,6 __ (1‘) = (2‘) 8 – 3x= 2x – 12 |+12 | +3x
__ -4x = 8 – 12 __ y = -4
__ (1) 3 · 4 + y = 8 __ 5x = 20 |:5
__ 0,6x = 2,88 | : 0,6
4. Ermittle durch Rechnung (mit Rechenweg) die Lösungsmengen der folgenden linearen
Gleichungssysteme über der Grundmenge = !
a) I 3x + 7y = 12,6
∩ II -6 + 25,2 = -7y
b) I 2x – 4y – 8 = 0
∩ II y=2x− 1
2
c) I 2(x – 7) + 3y = 5x – 2
∩ II 3x + 4(y – 1) = 19
5. Die für eine Klassenfahrt vorgesehene Jugendherberge hat laut Herbergsverzeichnis
insgesamt 18 Zimmer und 76 Betten. Die Zimmer sind Drei- und Fünfbettzimmer. Für
die Zimmerverteilung muss der Fahrtleiter die Anzahlt der Drei- bzw. Fünfbettzimmer
kennen.
Lineare Gleichungssysteme Arbeitsblatt 3
1. Addiert man zu einer Zahl das Doppelte einer zweiten, so erhält man 142.
Wenn man von der zweiten Zahl das Fünffache der ersten Zahl subtrahiert, erhält
man 5.
2. Löse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren.
6 x + 13 y = 31
- 13 y + 4 x = -1
3. Hier sind die Lösungsschritte samt Probe der beiden linearen Gleichungssysteme
durcheinandergeraten. Markiere zusammengehörende Kärtchen in einer Farbe und
nummeriere die Abfolge der Lösungsschritte.
a) (1) 3x + y = 8 b) (1) 0,6x + 2y = 4,4
(2) y = 2x – 12 (2) 0,6x = 3y + 0,6
__(1‘) y = 8 – 3x __ (1) – (2) 3y + 0,6 + 2y = 4,4
__ x = 4,8 __ 0,6x + 1,52 = 4,4 |-15,2
__ 12 + y = 8 |-12 __ 5 y = 3,8 |:5
__ P mit (2) -4 = 2 · 4 – 12 __ 2,88 = 2,88
__ -4 = -4 __ (2‘) 0,6x – 3y – 0,6 = 0
__ 5y + 0,6 = 4,4 |-0,6 __ x = 4
__ y = 0,76 __ (1) 0,6x + 2 · 0,76 = 4,4
__ P mit (2) 0,6 · 4,8 = 3 · 0,76 + 0,6 __ (1‘) = (2‘) 8 – 3x= 2x – 12 |+12 | +3x
__ -4x = 8 – 12 __ y = -4
__ (1) 3 · 4 + y = 8 __ 5x = 20 |:5
__ 0,6x = 2,88 | : 0,6
4. Ermittle durch Rechnung (mit Rechenweg) die Lösungsmengen der folgenden linearen
Gleichungssysteme über der Grundmenge = !
a) I 3x + 7y = 12,6
∩ II -6 + 25,2 = -7y
b) I 2x – 4y – 8 = 0
∩ II y=2x− 1
2
c) I 2(x – 7) + 3y = 5x – 2
∩ II 3x + 4(y – 1) = 19
5. Die für eine Klassenfahrt vorgesehene Jugendherberge hat laut Herbergsverzeichnis
insgesamt 18 Zimmer und 76 Betten. Die Zimmer sind Drei- und Fünfbettzimmer. Für
die Zimmerverteilung muss der Fahrtleiter die Anzahlt der Drei- bzw. Fünfbettzimmer
kennen.
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Lineare Gleichungssysteme Arbeitsblatt 4
1. Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren. Mache die Probe!
Notiere den Schnittpunkt.
I. 8x + 4y = 24
II. 3x + y = 8
2. Stelle das Gleichungssystem grafisch dar und gib den Schnittpunkt der Geraden an!
Mache die Probe!
I. 2x + 3y = 12
II. 2 x – y = 4
3. Stelle die linearen Gleichungen von
(1) und (2) auf, berechne den Schnitt-
punkt der beiden Graphen und mache
eine Probe.
4. Notiere an den Linien, ob das Gleichungssystem aus den beiden linearen
Gleichungen keine (k), eine (e) oder unendlich (u) viele gemeinsame Lösungen
hat.
5. In 16 Jahren wird ein Vater doppelt so alt sein wie sein Sohn. Zusammen sind heute
beide 40. Wie alt ist jeder?
Stelle eine Gleichung auf
y = 2x + 1
y = 2x – 1
3
4y = 2,5x + 3
2y = 4x – 1
0 = x – 1
2y
Lineare Gleichungssysteme Arbeitsblatt 4
1. Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren. Mache die Probe!
Notiere den Schnittpunkt.
I. 8x + 4y = 24
II. 3x + y = 8
2. Stelle das Gleichungssystem grafisch dar und gib den Schnittpunkt der Geraden an!
Mache die Probe!
I. 2x + 3y = 12
II. 2 x – y = 4
3. Stelle die linearen Gleichungen von
(1) und (2) auf, berechne den Schnitt-
punkt der beiden Graphen und mache
eine Probe.
4. Notiere an den Linien, ob das Gleichungssystem aus den beiden linearen
Gleichungen keine (k), eine (e) oder unendlich (u) viele gemeinsame Lösungen
hat.
5. In 16 Jahren wird ein Vater doppelt so alt sein wie sein Sohn. Zusammen sind heute
beide 40. Wie alt ist jeder?
Stelle eine Gleichung auf
y = 2x + 1
y = 2x – 1
3
4y = 2,5x + 3
2y = 4x – 1
0 = x – 1
2y
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Lineare Gleichungssysteme Arbeitsblatt 5
1. Ermittle die Gleichungen der beiden Geraden,
lies die Koordinaten des Schnittpunkts ab
und bestimme sie anschließend exakt durch
Rechnung.
2. Löse die linearen Gleichungssysteme. Was fällt dir auf?
a) 2x = 4y + 4 b) 2x = 4y + 4
2x = 4y + 5 4y = 2x – 4
Überprüfe deine Ergebnisse durch eine zeichnerische Lösung.
Kann man die Besonderheiten schon am Gleichungssystem erkennen?
3. Es sollen 30 Eierkartons mit 244 Eiern vollgepackt werden. Wie viele 6-er und wie
viele 10-er Verpackungen muss man dazu nehmen?
4. Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren:
(I) 5 (x – y) = 2 (5,5 + y)
(II) 3 (3y – x) = 12,4 + y
5. Löse folgende Aufgabe, indem Du ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten aufstellst:
Die Summe zweier Zahlen beträgt 197, ihre Differenz 59. Wie heißen die beiden
Zahlen?
6. Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren:
(I) 4x – 2y + 2 = 0
(II) 9x – 12y – 18 = 0
7. Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren:
(I) 8x – 2y – 188 = 0
(II) 2x + 14y = 76
Lineare Gleichungssysteme Arbeitsblatt 5
1. Ermittle die Gleichungen der beiden Geraden,
lies die Koordinaten des Schnittpunkts ab
und bestimme sie anschließend exakt durch
Rechnung.
2. Löse die linearen Gleichungssysteme. Was fällt dir auf?
a) 2x = 4y + 4 b) 2x = 4y + 4
2x = 4y + 5 4y = 2x – 4
Überprüfe deine Ergebnisse durch eine zeichnerische Lösung.
Kann man die Besonderheiten schon am Gleichungssystem erkennen?
3. Es sollen 30 Eierkartons mit 244 Eiern vollgepackt werden. Wie viele 6-er und wie
viele 10-er Verpackungen muss man dazu nehmen?
4. Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren:
(I) 5 (x – y) = 2 (5,5 + y)
(II) 3 (3y – x) = 12,4 + y
5. Löse folgende Aufgabe, indem Du ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten aufstellst:
Die Summe zweier Zahlen beträgt 197, ihre Differenz 59. Wie heißen die beiden
Zahlen?
6. Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren:
(I) 4x – 2y + 2 = 0
(II) 9x – 12y – 18 = 0
7. Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren:
(I) 8x – 2y – 188 = 0
(II) 2x + 14y = 76
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Lineare Gleichungssysteme Lösung Arbeitsblatt 1
1. Löse folgende Gleichungssysteme:
a) (I) 6x + 5y = -36 b) (I) 2x – 6y = 1
(II) -7x + 3y = -11 (II) x – y = 1
a) 6x + 5y = -36 |· 3 18x + 15y = -108
-7x + 3y = -11 |·(-5) 35x – 15y = 55
Additionsverfahren: 53x = -53; x = -1
In (I): 6 · (-1) + 5y = -36; y = -6
IL = {(-1|-6)}
b) 2x - 6y = 1
x - y = 1 | ·(-2)
-4y = -1 ; y = 0;25
In (II): x - 0; 25 = 1 ; x = 1,25
IL = {(1,25|0,25)}
2. Löse das Gleichungssystem rechnerisch und graphisch:
(I) y = 2x – 1 (I) y = 2x – 1
(II) x = 0,5 y + 3 => 0,5y = 3 – x => (II) y = 6 – 2x
Rechnerisch:
Additionsverfahren: 2y = 6 – 1
y = 2,5
Einsetzen von y in (I): 2,5 = 2x – 1
3,5 = 2x
x = 1,75
Lösungsmenge: IL = (1,75| 2,5)
Graphisch:
Der Schnittpunkt der beiden Graphen ist
die Lösung.
3. Klaus zahlt für 17 normale und 2 Farbkopien 9,84 Euro, Claudia für 1 Farbkopie und
39 normale Kopien 8,58 Euro. Wie viel kostet eine Farbkopie?
Sei n der Preis einer normalen und f der einer Farbkopie (in €).
(I) 17n + 2f = 9,84
(II) 39n + f = 8,58 | · (-2)
78 n + 2f = 17,16 Subtraktionsverfahren liefert:
-61n = -7,32 | : (-61)
n = 0,12
n in (II) einsetzen: 39 · 0,12 + f = 8,58
4,68 + f = 8,58 | - 4,68
f = 3,90
Eine Farbkopie kostet 3,90 Euro.
Eine normale Kopie kostet 0,12 Euro.
Lineare Gleichungssysteme Lösung Arbeitsblatt 1
1. Löse folgende Gleichungssysteme:
a) (I) 6x + 5y = -36 b) (I) 2x – 6y = 1
(II) -7x + 3y = -11 (II) x – y = 1
a) 6x + 5y = -36 |· 3 18x + 15y = -108
-7x + 3y = -11 |·(-5) 35x – 15y = 55
Additionsverfahren: 53x = -53; x = -1
In (I): 6 · (-1) + 5y = -36; y = -6
IL = {(-1|-6)}
b) 2x - 6y = 1
x - y = 1 | ·(-2)
-4y = -1 ; y = 0;25
In (II): x - 0; 25 = 1 ; x = 1,25
IL = {(1,25|0,25)}
2. Löse das Gleichungssystem rechnerisch und graphisch:
(I) y = 2x – 1 (I) y = 2x – 1
(II) x = 0,5 y + 3 => 0,5y = 3 – x => (II) y = 6 – 2x
Rechnerisch:
Additionsverfahren: 2y = 6 – 1
y = 2,5
Einsetzen von y in (I): 2,5 = 2x – 1
3,5 = 2x
x = 1,75
Lösungsmenge: IL = (1,75| 2,5)
Graphisch:
Der Schnittpunkt der beiden Graphen ist
die Lösung.
3. Klaus zahlt für 17 normale und 2 Farbkopien 9,84 Euro, Claudia für 1 Farbkopie und
39 normale Kopien 8,58 Euro. Wie viel kostet eine Farbkopie?
Sei n der Preis einer normalen und f der einer Farbkopie (in €).
(I) 17n + 2f = 9,84
(II) 39n + f = 8,58 | · (-2)
78 n + 2f = 17,16 Subtraktionsverfahren liefert:
-61n = -7,32 | : (-61)
n = 0,12
n in (II) einsetzen: 39 · 0,12 + f = 8,58
4,68 + f = 8,58 | - 4,68
f = 3,90
Eine Farbkopie kostet 3,90 Euro.
Eine normale Kopie kostet 0,12 Euro.
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4. Gegeben sind die Geraden y = 2x - 2 und y = 0,5x + 3
a) Zeichne die Geraden in ein Koordinatensystem! Bestimme den Schnittpunkt
f (x) = 2x – 2 (blau) ; g(x) = 0,5x + 3 (rot)
Schnittpunkt S(3,3|4,6)
b) Die beiden Gleichungen bilden ein
Gleichungssystem.
Löse das Gleichungssystem rechnerisch.
(I) y = 2x – 2
(II) y = 0,5x + 3
(I)-(II) 0 = 1,5x – 5
0 = 1,5x – 5 |+5 x in (I) einsetzen:
5 = 1,5x |:1,5 y = 2 · 3,333 – 2
x = 3,3333 y = 4,666
5. Löse die Gleichungssysteme rechnerisch und zeichnerisch. Wähle für a) b) c)
unterschiedliche Farben. Vergleiche zur Kontrolle die Ergebnisse der Rechnungen mit
den Schnittpunkten in der Zeichnung.
a) (I) y = 2x – 1
(II) y = - x + 2
2x – 1 = -x + 2
3x = 3
x = 1
y = 2 – 1 = 1
Lösungsmenge: IL = {(1|1)}
b) (I) y = -4x + 2
(II) y = -2x
-4x + 2 = -2x
2x = 2
x = 1
y = -2
Lösungsmenge: IL = {(1|-2)}
c) (I) y = 0,5x – 1,5
(II) y = -2x + 3,5
0,5x – 1,5 = -2x + 3,5
2,5x = 5
x = 2
y = -4 + 3,5
y = -0,5
Lösungsmenge: IL = {(2|-0,5)}
4. Gegeben sind die Geraden y = 2x - 2 und y = 0,5x + 3
a) Zeichne die Geraden in ein Koordinatensystem! Bestimme den Schnittpunkt
f (x) = 2x – 2 (blau) ; g(x) = 0,5x + 3 (rot)
Schnittpunkt S(3,3|4,6)
b) Die beiden Gleichungen bilden ein
Gleichungssystem.
Löse das Gleichungssystem rechnerisch.
(I) y = 2x – 2
(II) y = 0,5x + 3
(I)-(II) 0 = 1,5x – 5
0 = 1,5x – 5 |+5 x in (I) einsetzen:
5 = 1,5x |:1,5 y = 2 · 3,333 – 2
x = 3,3333 y = 4,666
5. Löse die Gleichungssysteme rechnerisch und zeichnerisch. Wähle für a) b) c)
unterschiedliche Farben. Vergleiche zur Kontrolle die Ergebnisse der Rechnungen mit
den Schnittpunkten in der Zeichnung.
a) (I) y = 2x – 1
(II) y = - x + 2
2x – 1 = -x + 2
3x = 3
x = 1
y = 2 – 1 = 1
Lösungsmenge: IL = {(1|1)}
b) (I) y = -4x + 2
(II) y = -2x
-4x + 2 = -2x
2x = 2
x = 1
y = -2
Lösungsmenge: IL = {(1|-2)}
c) (I) y = 0,5x – 1,5
(II) y = -2x + 3,5
0,5x – 1,5 = -2x + 3,5
2,5x = 5
x = 2
y = -4 + 3,5
y = -0,5
Lösungsmenge: IL = {(2|-0,5)}
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Lineare Gleichungssysteme Lösung Arbeitsblatt 2
1. Löse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren
(I) 5 y + 3 x = 44
(II) 3 x = 4 y + 8
(I) 5 y + 3 x = 44 |- 5 y
(I) 3 x = 44 - 5 y
(i) = (II) 44 - 5 y = 4 y + 8 | - 8
36 - 5 y = 4 y | + 5 y
36 = 9 y | : 9
y = 4
y in (II) 3 x = 4 · 4 + 8
3 x = 24 | : 3
x = 8 L = {8; 4}
2. Löse folgendes Gleichungssystem zeichnerisch:
(I) y = - x + 2
(II) 2 y + 4 x = 3 y = -x + 2
(II) y = -2 x + 1,5 y = -(2x) + 1,5
Lösungsmenge: L= {(-0,5|2,5)}
1< = P<=2 S = 2
3. Von welchen Gleichungen ist das Zahlenpaar (3; 4) eine Lösung? Kreuze an!
a) 2x = 11
2y ⊠ 2 ∙ 3 = 1,5 ∙ 4
b) y + 3x = -13 4 + 3 ∙ 3 ≠ -13
c) y + 9,5 = 4,5x ⊠ 4 + 9,5 = 4,5 ∙ 3
d) 0 = -x + 11 – 2y ⊠ -3 + 11 – 2 ∙ 4 = 0
e) 3y – 16,2x = -4,2 3 ∙ 4 – 16,2 ∙ 3 = 12 – 48,6 = - 36,6 ≠ - 4,2
f) 4y = 8
3x+8 ⊠ 4 ∙ 4 = 8
3 ∙3 +8
g) y – 6,1 = -0,7x ⊠ 4 – 6,1 = -0,7 ∙ 3 => -2,1 = - 2,1
h) y = 15
12x+3
4 4 = 15
12 ∙3+3
4 => 4 ≠ = 15
4 +3
4 => 4 ≠ 18
4
Drei Gleichungen werden nicht von (3; 4) gelöst. Ersetze in diesen die Zahl ohne
Variable so, dass (3; 4) nun eine Lösung ist.
b) y + 3x = 13 (-13 wird durch 13 ersetzt.)
e) 3y – 16,2x = -36,6 (Ergebnis -4,2 wird durch -36,6 ersetzt.)
h) y = 15
12x+1
4 (3
4 wird durch 1
4 ersetzt.)
Lineare Gleichungssysteme Lösung Arbeitsblatt 2
1. Löse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren
(I) 5 y + 3 x = 44
(II) 3 x = 4 y + 8
(I) 5 y + 3 x = 44 |- 5 y
(I) 3 x = 44 - 5 y
(i) = (II) 44 - 5 y = 4 y + 8 | - 8
36 - 5 y = 4 y | + 5 y
36 = 9 y | : 9
y = 4
y in (II) 3 x = 4 · 4 + 8
3 x = 24 | : 3
x = 8 L = {8; 4}
2. Löse folgendes Gleichungssystem zeichnerisch:
(I) y = - x + 2
(II) 2 y + 4 x = 3 y = -x + 2
(II) y = -2 x + 1,5 y = -(2x) + 1,5
Lösungsmenge: L= {(-0,5|2,5)}
1< = P<=2 S = 2
3. Von welchen Gleichungen ist das Zahlenpaar (3; 4) eine Lösung? Kreuze an!
a) 2x = 11
2y ⊠ 2 ∙ 3 = 1,5 ∙ 4
b) y + 3x = -13 4 + 3 ∙ 3 ≠ -13
c) y + 9,5 = 4,5x ⊠ 4 + 9,5 = 4,5 ∙ 3
d) 0 = -x + 11 – 2y ⊠ -3 + 11 – 2 ∙ 4 = 0
e) 3y – 16,2x = -4,2 3 ∙ 4 – 16,2 ∙ 3 = 12 – 48,6 = - 36,6 ≠ - 4,2
f) 4y = 8
3x+8 ⊠ 4 ∙ 4 = 8
3 ∙3 +8
g) y – 6,1 = -0,7x ⊠ 4 – 6,1 = -0,7 ∙ 3 => -2,1 = - 2,1
h) y = 15
12x+3
4 4 = 15
12 ∙3+3
4 => 4 ≠ = 15
4 +3
4 => 4 ≠ 18
4
Drei Gleichungen werden nicht von (3; 4) gelöst. Ersetze in diesen die Zahl ohne
Variable so, dass (3; 4) nun eine Lösung ist.
b) y + 3x = 13 (-13 wird durch 13 ersetzt.)
e) 3y – 16,2x = -36,6 (Ergebnis -4,2 wird durch -36,6 ersetzt.)
h) y = 15
12x+1
4 (3
4 wird durch 1
4 ersetzt.)
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4. Hans soll am Kiosk für seine Familie und die Verwandten, die schon seit drei Tagen zu
Besuch sind Eis holen. Ein Milchfinger kostet 1,20 € und eine Schokohand 1,50 €. Das
Geld hat er abgezählt mitbekommen, genau 18 €. Auf dem Weg zum Kiosk sagt sich
Hans ständig vor, wie viel von welchem Eis er holen soll, dabei vertauscht er leider
irgendwann die Eissorten. Beim Bezahlen bekommt er 0,90 € zurück. Stelle das lineare
Gleichungssystem auf und löse mit dem Additionsverfahren.
Die Variable x steht für die Anzahl der Milchfinger und die Variable y für die
Anzahl der Schokohände.
(1) 1,20x + 1,50y = 18 | · 5
(2) 1,50x + 1,20y = 17,1 | · (-4)
Umgeformt: Variable x:
(1) 6x + 7,5 · y = 90 1,20x + 1,50 · 8 = 18
(2) -6x – 4,8y = -68,4 1,20x + 12 = 18
(1) + (2) 2,7y = 21,6 1,20x = 6
y = 8 x = 5
Lösung: x = 5 und y = 8
Eigentlich soll Hans 5 Milchfinger und 8 Schokohände holen.
5. Löse das Gleichungssystem mit dem Einsetzverfahren:
(1) y + 5 = 2x
(2) 8y = 2y + 22
I) y + 5 = 2 x | - 5 (II) 8 x = 2 y + 22
(I') y = 2 x - 5
(I') in (II) 8 x = 2 · (2 x - 5) x in (I') y = 2 · (-5) - 5
8 x = 4 x - 20 | - 4 x y = - 10 - 5
4 x = - 20 | : 4 y = - 15
x = - 5 L = { - 5; - 15}
6. Löse das Gleichungssystem rechnerisch und graphisch:
y = 2x – 1 Graphisch:
x = 1
2y+3 Auflösen der zweiten Gleichung nach y:
y = 2 · (1
2y+3)− 1 y = 2(x – 3) = 2x – 6
y = y + 5 | -y
0 ≠ 5 => L = {} Leere Menge
7. Ein Bauer besitzt Hasen und Hühner, zusammen haben sie 22 Beine. Wie viele Hasen
und wie viele Hühner könnten dem Bauer gehören? Stelle eine Gleichung mit zwei
Variablen auf und gib alle möglichen ganzzahligen Lösungen an.
4x + 2 y = 22 (x steht für Hasen, y für Hühner)
Anzahl Hasen 5 4 3 2 1 0
Anzahl Hühner 1 3 5 7 9 11
Gegeben ist folgende Gleichung: 8y – 6x = 72.
Eine mögliche Textaufgabe zu dieser Gleichung könnte die Anzahl der Beine von
Fliegen mit 6 Beinen und Spinnen mit 8 Beinen betreffen.
Beispiel: In der Hütte sind Spinnen und Fliegen mit insgesamt 72 Beinen. Wie viele
Spinnen und wie viele Fliegen könnten es sein?
6x + 8y = 72
Da beide Funktionen die gleiche
Steigung haben, sind es
parallele Geraden. Es gibt also
keine Schnittpunkte
4. Hans soll am Kiosk für seine Familie und die Verwandten, die schon seit drei Tagen zu
Besuch sind Eis holen. Ein Milchfinger kostet 1,20 € und eine Schokohand 1,50 €. Das
Geld hat er abgezählt mitbekommen, genau 18 €. Auf dem Weg zum Kiosk sagt sich
Hans ständig vor, wie viel von welchem Eis er holen soll, dabei vertauscht er leider
irgendwann die Eissorten. Beim Bezahlen bekommt er 0,90 € zurück. Stelle das lineare
Gleichungssystem auf und löse mit dem Additionsverfahren.
Die Variable x steht für die Anzahl der Milchfinger und die Variable y für die
Anzahl der Schokohände.
(1) 1,20x + 1,50y = 18 | · 5
(2) 1,50x + 1,20y = 17,1 | · (-4)
Umgeformt: Variable x:
(1) 6x + 7,5 · y = 90 1,20x + 1,50 · 8 = 18
(2) -6x – 4,8y = -68,4 1,20x + 12 = 18
(1) + (2) 2,7y = 21,6 1,20x = 6
y = 8 x = 5
Lösung: x = 5 und y = 8
Eigentlich soll Hans 5 Milchfinger und 8 Schokohände holen.
5. Löse das Gleichungssystem mit dem Einsetzverfahren:
(1) y + 5 = 2x
(2) 8y = 2y + 22
I) y + 5 = 2 x | - 5 (II) 8 x = 2 y + 22
(I') y = 2 x - 5
(I') in (II) 8 x = 2 · (2 x - 5) x in (I') y = 2 · (-5) - 5
8 x = 4 x - 20 | - 4 x y = - 10 - 5
4 x = - 20 | : 4 y = - 15
x = - 5 L = { - 5; - 15}
6. Löse das Gleichungssystem rechnerisch und graphisch:
y = 2x – 1 Graphisch:
x = 1
2y+3 Auflösen der zweiten Gleichung nach y:
y = 2 · (1
2y+3)− 1 y = 2(x – 3) = 2x – 6
y = y + 5 | -y
0 ≠ 5 => L = {} Leere Menge
7. Ein Bauer besitzt Hasen und Hühner, zusammen haben sie 22 Beine. Wie viele Hasen
und wie viele Hühner könnten dem Bauer gehören? Stelle eine Gleichung mit zwei
Variablen auf und gib alle möglichen ganzzahligen Lösungen an.
4x + 2 y = 22 (x steht für Hasen, y für Hühner)
Anzahl Hasen 5 4 3 2 1 0
Anzahl Hühner 1 3 5 7 9 11
Gegeben ist folgende Gleichung: 8y – 6x = 72.
Eine mögliche Textaufgabe zu dieser Gleichung könnte die Anzahl der Beine von
Fliegen mit 6 Beinen und Spinnen mit 8 Beinen betreffen.
Beispiel: In der Hütte sind Spinnen und Fliegen mit insgesamt 72 Beinen. Wie viele
Spinnen und wie viele Fliegen könnten es sein?
6x + 8y = 72
Da beide Funktionen die gleiche
Steigung haben, sind es
parallele Geraden. Es gibt also
keine Schnittpunkte
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Notiere die ganzzahligen Lösungen der Gleichung:
Lineare Gleichungssysteme Lösung Arbeitsblatt 3
1. Addiert man zu einer Zahl das Doppelte einer zweiten, so erhält man 142.
Wenn man von der zweiten Zahl das Fünffache der ersten Zahl subtrahiert, erhält
man 5.
(I) x + 2 y = 142 | - 2 y (II) y - 5 x = 5
(I') x = 142 - 2 y
(I') in (II): y - 5(142 - 2 y) = 5
y - 710 + 10 y = 5
11 y - 710 = 5 | + 710
11 y = 715 | : 11
y = 65
y in (I') x = 142 - 2 · 65
x = 142 - 130
x = 12 L (12; 65)
2. Löse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren
6 x + 13 y = 31
- 13 y + 4 x = -1 → Umgestellt
(I) 6 x + 13 y = 31 x in (II) 4 · 3 - 13 y = -1
(II) 4 x - 13 y = - 1 12 - 13 y = -1 | - 12
(III) 10 x = 30 | :10 13 y = -13 | : (-13)
x = 3 y = - 1
|L = { (3 | -1)}
3. Hier sind die Lösungsschritte samt Probe der beiden linearen Gleichungssysteme
durcheinandergeraten. Markiere zusammengehörende Kärtchen in einer Farbe und
nummeriere die Abfolge der Lösungsschritte
a) (1) 3x + y = 8 b) (1) 0,6x + 2y = 4,4
(2) y = 2x – 12 (2) 0,6x = 3y + 0,6
1 (1‘) y = 8 – 3x 2 (1) – (2) 3y + 0,6 + 2y = 4,4
9 x = 4,8 7 0,6x + 1,52 = 4,4 |-15,2
6 12 + y = 8 |-12 4 5 y = 3,8 |:5
8 P mit (2) -4 = 2 · 4 – 12 11 2,88 = 2,88
10 -4 = -4 1 (2‘) 0,6x – 3y – 0,6 = 0
3 5y + 0,6 = 4,4 |-0,6 4 x = 4
5 y = 0,76 6 (1) 0,6x + 2 · 0,76 = 4,4
10 P mit (2) 0,6 · 4,8 = 3 · 0,76 + 0,6 2 (1‘) = (2‘) 8 – 3x= 2x – 12 |+12 | +3x
9 -4x = 8 – 12 7 y = -4
5 (1) 3 · 4 + y = 8 3 5x = 20 |:5
8 0,6x = 2,88 | : 0,6
Anzahl Fliegen 12 8 4 0
Anzahl Spinnen 0 3 6 9
Notiere die ganzzahligen Lösungen der Gleichung:
Lineare Gleichungssysteme Lösung Arbeitsblatt 3
1. Addiert man zu einer Zahl das Doppelte einer zweiten, so erhält man 142.
Wenn man von der zweiten Zahl das Fünffache der ersten Zahl subtrahiert, erhält
man 5.
(I) x + 2 y = 142 | - 2 y (II) y - 5 x = 5
(I') x = 142 - 2 y
(I') in (II): y - 5(142 - 2 y) = 5
y - 710 + 10 y = 5
11 y - 710 = 5 | + 710
11 y = 715 | : 11
y = 65
y in (I') x = 142 - 2 · 65
x = 142 - 130
x = 12 L (12; 65)
2. Löse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren
6 x + 13 y = 31
- 13 y + 4 x = -1 → Umgestellt
(I) 6 x + 13 y = 31 x in (II) 4 · 3 - 13 y = -1
(II) 4 x - 13 y = - 1 12 - 13 y = -1 | - 12
(III) 10 x = 30 | :10 13 y = -13 | : (-13)
x = 3 y = - 1
|L = { (3 | -1)}
3. Hier sind die Lösungsschritte samt Probe der beiden linearen Gleichungssysteme
durcheinandergeraten. Markiere zusammengehörende Kärtchen in einer Farbe und
nummeriere die Abfolge der Lösungsschritte
a) (1) 3x + y = 8 b) (1) 0,6x + 2y = 4,4
(2) y = 2x – 12 (2) 0,6x = 3y + 0,6
1 (1‘) y = 8 – 3x 2 (1) – (2) 3y + 0,6 + 2y = 4,4
9 x = 4,8 7 0,6x + 1,52 = 4,4 |-15,2
6 12 + y = 8 |-12 4 5 y = 3,8 |:5
8 P mit (2) -4 = 2 · 4 – 12 11 2,88 = 2,88
10 -4 = -4 1 (2‘) 0,6x – 3y – 0,6 = 0
3 5y + 0,6 = 4,4 |-0,6 4 x = 4
5 y = 0,76 6 (1) 0,6x + 2 · 0,76 = 4,4
10 P mit (2) 0,6 · 4,8 = 3 · 0,76 + 0,6 2 (1‘) = (2‘) 8 – 3x= 2x – 12 |+12 | +3x
9 -4x = 8 – 12 7 y = -4
5 (1) 3 · 4 + y = 8 3 5x = 20 |:5
8 0,6x = 2,88 | : 0,6
Anzahl Fliegen 12 8 4 0
Anzahl Spinnen 0 3 6 9
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4. Ermittle durch Rechnung (mit Rechenweg) die Lösungsmengen der folgenden linearen
Gleichungssysteme über der Grundmenge = !
a) I 3x + 7y = 12,6
II - 7y = -6x + 25,2
I 3x – 12,6 = -7y
II -6x + 25,2 = -7y => y = 0
I = II 3x – 12,6 = -6x + 25,2 | + 6x + 12,6
3x + 6x = 25,2 + 12,6
9x = 37,8
x = 4,2 IL = ( 4,2 | 0 )
b). I 2x – 4y – 8 = 0
II y=2x− 1
2
II in I einsetzen:
2x−4 (2x−1
2)− 8=0
2x – 8x + 2 – 8 = 0
- 6x – 6 = 0
- 6x = 6
x = -1
x = -1 einsetzen in II:
y=2(−1)− 1
2
y= −2,5 IL = ( -1 | -2,5 )
c). I 2 (x – 7) + 3y = 5x – 2
II 3x + 4 (y – 1) = 19
I 2x – 14 + 3y = 5x – 2
II 3x + 4y – 4 = 19
I 3y = 5x – 2x +14 – 2
II 4y = 19 – 3x + 4
I 3y = 3x + 12
II 4y = 23 – 3x
I + II 7y = 35 => y = 5
y in I einsetzen. 3 ∙ 5 = 3x + 12
15 = 3x + 12 | - 12
3 = 3x
x = 1 IL = ( 1 | 5 )
4. Ermittle durch Rechnung (mit Rechenweg) die Lösungsmengen der folgenden linearen
Gleichungssysteme über der Grundmenge = !
a) I 3x + 7y = 12,6
II - 7y = -6x + 25,2
I 3x – 12,6 = -7y
II -6x + 25,2 = -7y => y = 0
I = II 3x – 12,6 = -6x + 25,2 | + 6x + 12,6
3x + 6x = 25,2 + 12,6
9x = 37,8
x = 4,2 IL = ( 4,2 | 0 )
b). I 2x – 4y – 8 = 0
II y=2x− 1
2
II in I einsetzen:
2x−4 (2x−1
2)− 8=0
2x – 8x + 2 – 8 = 0
- 6x – 6 = 0
- 6x = 6
x = -1
x = -1 einsetzen in II:
y=2(−1)− 1
2
y= −2,5 IL = ( -1 | -2,5 )
c). I 2 (x – 7) + 3y = 5x – 2
II 3x + 4 (y – 1) = 19
I 2x – 14 + 3y = 5x – 2
II 3x + 4y – 4 = 19
I 3y = 5x – 2x +14 – 2
II 4y = 19 – 3x + 4
I 3y = 3x + 12
II 4y = 23 – 3x
I + II 7y = 35 => y = 5
y in I einsetzen. 3 ∙ 5 = 3x + 12
15 = 3x + 12 | - 12
3 = 3x
x = 1 IL = ( 1 | 5 )
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5. Die für eine Klassenfahrt vorgesehene Jugendherberge hat laut Herbergsverzeichnis
insgesamt 18 Zimmer und 76 Betten. Die Zimmer sind Drei- und Fünfbettzimmer. Für
die Zimmerverteilung muss der Fahrtleiter die Anzahlt der Drei- bzw. Fünfbettzimmer
kennen.
x: Anzahl der Dreibett, y: Anzahl der Fünfbettzimmer
(I) x + y = 18
(II) 3x + 5y = 76
(I) x = 18 - y
(I) in (II): 3 (18 – y) + 5y = 76
54 – 3y + 5y = 76 | - 54
2y = 22 | : 2
y = 11
IL = (7/11)
Es sind 7 Dreibett- und 11 Fünfbettzimmer sind vorhanden.
Lineare Gleichungssysteme Lösung Arbeitsblatt 4
1. Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren. Mache die Probe!
Notiere den Schnittpunkt.
I. 8x + 4y = 24
II. 3x + y = 8
I. 8x + 4y = 24 | - 8x II. 3x + y = 8 | - 3x
4y = -8x + 24 | : 4 II. y = 8 – 3x
y = -2x + 6
Gleichsetzen y ausrechnen: x in I. einsetzen
8 – 3x = -2x + 6 | + 2x - 8 8 · 2 + 4y = 24 | - 16
-x = -2 | : (-1) 4y = 8 | : 4
x = 2 y = 2 => Schnittpunkt (2|2)
Probe:
II. 3 · 2 + 2 = 8
8 = 8
2. Stelle das Gleichungssystem grafisch dar und gib den Schnittpunkt der Geraden an!
Mache die Probe!
I. 2x + 3y = 12
II. 2 x – y = 4
I. 2x + 3y = 12 | -2x
I. 3y = 12 – 2x | : 3
I. y = -2
3x+4
II. 2x – y = 4 | - 2x
II. –y = 4 – 2x | · (-1)
II. y = 2x – 4
Probe
I. 2 · 3 + 3 · 2 = 12
6 + 6 = 12
12 = 12 SP(3|2)
y = 11 einsetzen in (I):
x + 11 = 18 | - 11
x = 7
5. Die für eine Klassenfahrt vorgesehene Jugendherberge hat laut Herbergsverzeichnis
insgesamt 18 Zimmer und 76 Betten. Die Zimmer sind Drei- und Fünfbettzimmer. Für
die Zimmerverteilung muss der Fahrtleiter die Anzahlt der Drei- bzw. Fünfbettzimmer
kennen.
x: Anzahl der Dreibett, y: Anzahl der Fünfbettzimmer
(I) x + y = 18
(II) 3x + 5y = 76
(I) x = 18 - y
(I) in (II): 3 (18 – y) + 5y = 76
54 – 3y + 5y = 76 | - 54
2y = 22 | : 2
y = 11
IL = (7/11)
Es sind 7 Dreibett- und 11 Fünfbettzimmer sind vorhanden.
Lineare Gleichungssysteme Lösung Arbeitsblatt 4
1. Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren. Mache die Probe!
Notiere den Schnittpunkt.
I. 8x + 4y = 24
II. 3x + y = 8
I. 8x + 4y = 24 | - 8x II. 3x + y = 8 | - 3x
4y = -8x + 24 | : 4 II. y = 8 – 3x
y = -2x + 6
Gleichsetzen y ausrechnen: x in I. einsetzen
8 – 3x = -2x + 6 | + 2x - 8 8 · 2 + 4y = 24 | - 16
-x = -2 | : (-1) 4y = 8 | : 4
x = 2 y = 2 => Schnittpunkt (2|2)
Probe:
II. 3 · 2 + 2 = 8
8 = 8
2. Stelle das Gleichungssystem grafisch dar und gib den Schnittpunkt der Geraden an!
Mache die Probe!
I. 2x + 3y = 12
II. 2 x – y = 4
I. 2x + 3y = 12 | -2x
I. 3y = 12 – 2x | : 3
I. y = -2
3x+4
II. 2x – y = 4 | - 2x
II. –y = 4 – 2x | · (-1)
II. y = 2x – 4
Probe
I. 2 · 3 + 3 · 2 = 12
6 + 6 = 12
12 = 12 SP(3|2)
y = 11 einsetzen in (I):
x + 11 = 18 | - 11
x = 7
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3. Stelle die linearen Gleichungen von
(1) und (2) auf, berechne den Schnitt-
punkt der beiden Graphen und mache
eine Probe.
(1) y = 3
2x+3 x einsetzen in (1):
(2) y = 3x – 2 y = 3
2 ∙10
3 +3
(1) = (2) 3
2x+3=3x−2 | - 3x y = 5 + 3
−3
2x+3=−2 | -3 y = 8
−3
2x= −5 | :(−3
2) Probe:
x= 10
3 8 = 3 ∙10
3 −2
8 = 8
4. Notiere an den Linien, ob das Gleichungssystem aus den beiden linearen
Gleichungen keine (k), eine (e) oder unendlich (u) viele gemeinsame Lösungen
hat.
k
k k
e k
e k
e
Umformungen:
(a) y = 2x +1 Beide Funktionen habe die gleiche Steigung, sind
(c) 2y = 4x -1 => y = 2x – 1
2 also parallel. => es gibt keine Lösung.
(d) 3
4y = 2,5x + 3 => y= 25
10 ∙ 4
3 x+3∙ 4
3 => y= 10
3 x+4
(e) 0=x− 1
2y => 1
2y=x => y = 2x
5. In 16 Jahren wird ein Vater doppelt so alt sein wie sein Sohn. Zusammen sind heute
beide 40. Wie alt ist jeder?
Stelle eine Gleichung auf
x := Alter des Sohnes
y := Alter des Vaters
I. x + y = 40
II. y + 16 = 2(x + 16
II. y + 16 = 2(x + 16)
II. y + 16 = 2x + 32 | -16
y = 2x + 16
II in I
x + (2x + 16) = 40
x + 2x + 16 = 40 | - 16
3x = 24 | : 3
x = 8
Der Sohn ist heute 8 Jahre alt, der Vater ist heute 32 Jahre alt.
Der Sohn ist in 16 Jahren 24 Jahre alt, der Vater 48 Jahre alt.
a)y = 2x + 1
b) y = 2x - 1
d) 3
4y = 2,5x + 3
c) 2y = 4x - 1
e) 0 = x - 1
2y
x in I einsetzen:
y = 40 - 8
y = 32
3. Stelle die linearen Gleichungen von
(1) und (2) auf, berechne den Schnitt-
punkt der beiden Graphen und mache
eine Probe.
(1) y = 3
2x+3 x einsetzen in (1):
(2) y = 3x – 2 y = 3
2 ∙10
3 +3
(1) = (2) 3
2x+3=3x−2 | - 3x y = 5 + 3
−3
2x+3=−2 | -3 y = 8
−3
2x= −5 | :(−3
2) Probe:
x= 10
3 8 = 3 ∙10
3 −2
8 = 8
4. Notiere an den Linien, ob das Gleichungssystem aus den beiden linearen
Gleichungen keine (k), eine (e) oder unendlich (u) viele gemeinsame Lösungen
hat.
k
k k
e k
e k
e
Umformungen:
(a) y = 2x +1 Beide Funktionen habe die gleiche Steigung, sind
(c) 2y = 4x -1 => y = 2x – 1
2 also parallel. => es gibt keine Lösung.
(d) 3
4y = 2,5x + 3 => y= 25
10 ∙ 4
3 x+3∙ 4
3 => y= 10
3 x+4
(e) 0=x− 1
2y => 1
2y=x => y = 2x
5. In 16 Jahren wird ein Vater doppelt so alt sein wie sein Sohn. Zusammen sind heute
beide 40. Wie alt ist jeder?
Stelle eine Gleichung auf
x := Alter des Sohnes
y := Alter des Vaters
I. x + y = 40
II. y + 16 = 2(x + 16
II. y + 16 = 2(x + 16)
II. y + 16 = 2x + 32 | -16
y = 2x + 16
II in I
x + (2x + 16) = 40
x + 2x + 16 = 40 | - 16
3x = 24 | : 3
x = 8
Der Sohn ist heute 8 Jahre alt, der Vater ist heute 32 Jahre alt.
Der Sohn ist in 16 Jahren 24 Jahre alt, der Vater 48 Jahre alt.
a)y = 2x + 1
b) y = 2x - 1
d) 3
4y = 2,5x + 3
c) 2y = 4x - 1
e) 0 = x - 1
2y
x in I einsetzen:
y = 40 - 8
y = 32
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Lineare Gleichungssysteme Lösung Arbeitsblatt 5
1. Ermittle die Gleichungen der beiden Geraden,
lies die Koordinaten des Schnittpunkts ab
und bestimme sie anschließend exakt durch
Rechnung.
Aus den Graphen lässt sich ablesen:
(I) rote Gerade: y=3
2x−3 (II) blaue Gerade: y=1
3x+2
Koordinaten des Schnittpunktes: (4,3; 3,4)
Berechnung des Schnittpunkts:
3
2x−3= 1
3x+2 | −1
3x+3
9−2
6 x=5 | :7
6
x= 6 ∙ 5
7
x= 42
7
2. Löse die linearen Gleichungssysteme. Was fällt dir auf?
a) 2x = 4y + 4 => y = 1
2x−1 b) 2x = 4y + 4 => y = 1
2x−1
2x = 4y + 5 => y = 1
2x−5
4 4y = 2x – 4 => 2x = 4y + 4
Überprüfe deine Ergebnisse durch eine zeichnerische Lösung.
Kann man die Besonderheiten schon am Gleichungssystem erkennen?
a) die beiden Graphen sind Parallel, da sie die gleiche
Steigung haben, also gibt es keine Lösung
b) unendlich viele Lösungen.
Nach dem Umstellen der 2. Gleichung sieht man,
dass die beiden Gleichungen gleich sind, damit gibt
es unendlich viele Lösungen
3. Es sollen 30 Eierkartons mit 244 Eiern vollgepackt werden. Wie viele 6-er und wie
viele 10-er Verpackungen muss man dazu nehmen?
I. x + y = 30 I. y = 30 – x
II. 6x + 10y = 244 II. 6x + 10 (30 –x ) = 244
6x + 300 – 10x = 244 | - 300 y = 30 – 14
-4x = - 56 y = 16
x = 14
Es werden 14 6-er und 16 10-er Eierkartons benötigt.
4. Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren:
(I) 5 (x – y) = 2 (5,5 + y)
(I) 5x – 5y = 11 + 2y | + 5y
(I) 5x = 11 + 7y | : 5
(I) x= 11
5 + 7
5y
x in (II) einsetzen:
y=1
3 ∙30
7 +2
y=10
7 +2
y=33
7
(II) 3 (3y – x) = 12,4 + y
(II) 9y – 3x = 12,4 + y | - 9y
(II) -3x = 12,4 – 8y | : (-3)
(II) x = −62
15+8
3y
Lineare Gleichungssysteme Lösung Arbeitsblatt 5
1. Ermittle die Gleichungen der beiden Geraden,
lies die Koordinaten des Schnittpunkts ab
und bestimme sie anschließend exakt durch
Rechnung.
Aus den Graphen lässt sich ablesen:
(I) rote Gerade: y=3
2x−3 (II) blaue Gerade: y=1
3x+2
Koordinaten des Schnittpunktes: (4,3; 3,4)
Berechnung des Schnittpunkts:
3
2x−3= 1
3x+2 | −1
3x+3
9−2
6 x=5 | :7
6
x= 6 ∙ 5
7
x= 42
7
2. Löse die linearen Gleichungssysteme. Was fällt dir auf?
a) 2x = 4y + 4 => y = 1
2x−1 b) 2x = 4y + 4 => y = 1
2x−1
2x = 4y + 5 => y = 1
2x−5
4 4y = 2x – 4 => 2x = 4y + 4
Überprüfe deine Ergebnisse durch eine zeichnerische Lösung.
Kann man die Besonderheiten schon am Gleichungssystem erkennen?
a) die beiden Graphen sind Parallel, da sie die gleiche
Steigung haben, also gibt es keine Lösung
b) unendlich viele Lösungen.
Nach dem Umstellen der 2. Gleichung sieht man,
dass die beiden Gleichungen gleich sind, damit gibt
es unendlich viele Lösungen
3. Es sollen 30 Eierkartons mit 244 Eiern vollgepackt werden. Wie viele 6-er und wie
viele 10-er Verpackungen muss man dazu nehmen?
I. x + y = 30 I. y = 30 – x
II. 6x + 10y = 244 II. 6x + 10 (30 –x ) = 244
6x + 300 – 10x = 244 | - 300 y = 30 – 14
-4x = - 56 y = 16
x = 14
Es werden 14 6-er und 16 10-er Eierkartons benötigt.
4. Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren:
(I) 5 (x – y) = 2 (5,5 + y)
(I) 5x – 5y = 11 + 2y | + 5y
(I) 5x = 11 + 7y | : 5
(I) x= 11
5 + 7
5y
x in (II) einsetzen:
y=1
3 ∙30
7 +2
y=10
7 +2
y=33
7
(II) 3 (3y – x) = 12,4 + y
(II) 9y – 3x = 12,4 + y | - 9y
(II) -3x = 12,4 – 8y | : (-3)
(II) x = −62
15+8
3y
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Gleichsetzung:
11
5 +7
5y=− 62
15+8
3y | +62
15−7
5y
33
15+ 62
15 =8
3y− 7
5y
95
15 =40 − 21
15 y | : 19
15
y = 5
IL = (9,2|5)
5. Löse folgende Aufgabe, indem Du ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten aufstellst:
Die Summe zweier Zahlen beträgt 197, ihre Differenz 59. Wie heißen die beiden
Zahlen?
Die größere Zahl ist x, die kleinere y.
(I) x + y = 197
(II) x - y = 59
Lösung mit dem Additionsverfahren:
(I) + (II): 2x = 256 | : 2
x = 128
Einsetzen in (I): 128 + y = 197 => y = 69
Antwort: Die beiden Zahlen heißen 128 und 69.
6. Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren:
(I) 4x - 2y + 2 = 0
(II) 9x - 12y - 18 = 0
(I) 4x - 2y + 2 = 0 | (−6) Einsetzen in (I):
(II) 9x - 12y - 18 = 0 - 8 - 2y + 2 = 0
(I’) -24x + 12y - 12 = 0 - 6 - 2y = 0 | + 6
(II) 9x - 12y - 18 = 0 - 2y = 6 | : (- 2)
(I’) + (II) -15x - 30 = 0 | + 30 y = - 3
-15x = 30 | : (- 15) IL = (-2|-3)
x = - 2
7. Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren:
(I) 8x - 2y - 188 = 0
(II) 2x + 14y = 76
(I) 8x – 2y – 188 = 0 Einsetzen in (II’):
(II) 2x + 14y = 76 | - 14y x = 38 – 7 · 2
(II’) 2x = 76 – 14y | : 2 x = 24
(II’) x = 38 – 7y IL = (24|2)
Einsetzen in (I):
8 (38 - 7y) – 2y – 188 = 0
304 – 56y – 2y – 188 = 0
116 – 58y = 0 | + 58y
116 = 58y | : 58
y = 2
Einsetzen von y in (I) :
5(x – 5 ) = 2 (5,5 + 5)
5x – 25 = 11 + 10
5x – 25 = 21 | + 25
5x = 46 | : 5
x= 46
5
x= 91
5
Gleichsetzung:
11
5 +7
5y=− 62
15+8
3y | +62
15−7
5y
33
15+ 62
15 =8
3y− 7
5y
95
15 =40 − 21
15 y | : 19
15
y = 5
IL = (9,2|5)
5. Löse folgende Aufgabe, indem Du ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten aufstellst:
Die Summe zweier Zahlen beträgt 197, ihre Differenz 59. Wie heißen die beiden
Zahlen?
Die größere Zahl ist x, die kleinere y.
(I) x + y = 197
(II) x - y = 59
Lösung mit dem Additionsverfahren:
(I) + (II): 2x = 256 | : 2
x = 128
Einsetzen in (I): 128 + y = 197 => y = 69
Antwort: Die beiden Zahlen heißen 128 und 69.
6. Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren:
(I) 4x - 2y + 2 = 0
(II) 9x - 12y - 18 = 0
(I) 4x - 2y + 2 = 0 | (−6) Einsetzen in (I):
(II) 9x - 12y - 18 = 0 - 8 - 2y + 2 = 0
(I’) -24x + 12y - 12 = 0 - 6 - 2y = 0 | + 6
(II) 9x - 12y - 18 = 0 - 2y = 6 | : (- 2)
(I’) + (II) -15x - 30 = 0 | + 30 y = - 3
-15x = 30 | : (- 15) IL = (-2|-3)
x = - 2
7. Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren:
(I) 8x - 2y - 188 = 0
(II) 2x + 14y = 76
(I) 8x – 2y – 188 = 0 Einsetzen in (II’):
(II) 2x + 14y = 76 | - 14y x = 38 – 7 · 2
(II’) 2x = 76 – 14y | : 2 x = 24
(II’) x = 38 – 7y IL = (24|2)
Einsetzen in (I):
8 (38 - 7y) – 2y – 188 = 0
304 – 56y – 2y – 188 = 0
116 – 58y = 0 | + 58y
116 = 58y | : 58
y = 2
Einsetzen von y in (I) :
5(x – 5 ) = 2 (5,5 + 5)
5x – 25 = 11 + 10
5x – 25 = 21 | + 25
5x = 46 | : 5
x= 46
5
x= 91
5
