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Mathematikarbeit Lineare Gleichungssysteme 8. Klasse
Aufgabe 1:
Löse die Gleichungssysteme mit einem Verfahren deiner Wahl.
a) I 5x + 11y = 34 b) I y – 3 = 2,5x c) I 3 (x+7) = 2 (y+7)
II 3y – 5x = 22 II 1,5x + y = -2 II 4 (x+21) = 3 (y+20)
Aufgabe 2:
Verkürzt man in einem Rechteck die lange Seite um 2 cm und verlängert die andere um
2 cm, so wächst der Flächeninhalt um 4 cm2.
Verlängert man beide Seiten um jeweils 3 cm, so wächst der Flächeninhalt um
57 cm2. Wie lang sind die ursprünglichen Seiten?
Aufgabe 3:
Die Quersumme einer zweistelligen Zahl ist 10. Die Einerziffer ist dabei um 4 größer als
die Zehnerziffer. Wie heißt die ursprüngliche Zahl?
Aufgabe 4:
Die Mutter ist 24 Jahre älter als die Tochter. In acht Jahren wird sie doppelt so alt sein
wie ihre Tochter.
Aufgabe 5:
In einer Jugendherberge können 52 Schüler untergebracht werden.
Es gibt nur Zweibettzimmer und Vierbettzimmer. Insgesamt hat das Haus
20 Zimmer. Wie viele Zweibett- und wie viele Vierbettzimmer hat die
Jugendherberge?
Aufgabe 6:
Vollmilch hat 3,5% Fettgehalt, Magermilch 1,0%. Wie viel Liter Vollmilch und wie viel
Liter Magermilch muss man mischen, um 5 Liter mit 2% Fettgehalt zu erhalten?
Aufgabe 7:
Die Karten für ein Schulkonzert kosten für einen Erwachsenen 4 € und für Schüler 1,50
€. Insgesamt wurden 400 Karten verkauft, die eine Summe von 1037,50 € erbrachten.
Wie viele Karten wurden von jeder Seite verkauft?
Viel Erfolg!
Mathematikarbeit Lineare Gleichungssysteme 8. Klasse
Aufgabe 1:
Löse die Gleichungssysteme mit einem Verfahren deiner Wahl.
a) I 5x + 11y = 34 b) I y – 3 = 2,5x c) I 3 (x+7) = 2 (y+7)
II 3y – 5x = 22 II 1,5x + y = -2 II 4 (x+21) = 3 (y+20)
Aufgabe 2:
Verkürzt man in einem Rechteck die lange Seite um 2 cm und verlängert die andere um
2 cm, so wächst der Flächeninhalt um 4 cm2.
Verlängert man beide Seiten um jeweils 3 cm, so wächst der Flächeninhalt um
57 cm2. Wie lang sind die ursprünglichen Seiten?
Aufgabe 3:
Die Quersumme einer zweistelligen Zahl ist 10. Die Einerziffer ist dabei um 4 größer als
die Zehnerziffer. Wie heißt die ursprüngliche Zahl?
Aufgabe 4:
Die Mutter ist 24 Jahre älter als die Tochter. In acht Jahren wird sie doppelt so alt sein
wie ihre Tochter.
Aufgabe 5:
In einer Jugendherberge können 52 Schüler untergebracht werden.
Es gibt nur Zweibettzimmer und Vierbettzimmer. Insgesamt hat das Haus
20 Zimmer. Wie viele Zweibett- und wie viele Vierbettzimmer hat die
Jugendherberge?
Aufgabe 6:
Vollmilch hat 3,5% Fettgehalt, Magermilch 1,0%. Wie viel Liter Vollmilch und wie viel
Liter Magermilch muss man mischen, um 5 Liter mit 2% Fettgehalt zu erhalten?
Aufgabe 7:
Die Karten für ein Schulkonzert kosten für einen Erwachsenen 4 € und für Schüler 1,50
€. Insgesamt wurden 400 Karten verkauft, die eine Summe von 1037,50 € erbrachten.
Wie viele Karten wurden von jeder Seite verkauft?
Viel Erfolg!
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Lösungen:
Aufgabe 1:
Löse die Gleichungssysteme mit einem Verfahren deiner Wahl.
a) I 11y + 5x = 34 Additionsverfahren
II + 3y – 5x = 22
14y = 56 | : 14
y = 4
In I 11 ∙ 4 + 5x = 34
44 + 5x = 34 | - 44
5x = - 10 | :5
x = - 2 IL = (-2|4)
b) I y – 3 = 2,5x
II 1,5x + y = -2 (Einsetzungsverfahren)
I y – 3 = 2,5x
II 1,5x + y = -2 | -1,5x
y = -2-1,5x
y = -2 - 1,5x in I (-2 - 1,5x) - 3 = 2,5x
-5 - 1,5x = 2,5x | + 1,5x
-5 = 4x | :4
x = -1,25
x = -1,25 in II 1,5 ∙ (-1,25) + y = -2
-1,875 + y = -2 | +1,875
y = - 0,25 IL = (-1,25 | -0,25)
c) I 3 (x + 7) = 2 (y + 7)
II 4 (x + 21) = 3 (y + 20)
I 3(x + 7) = 2(y + 7) (Einsetzungsverfahren)
I’ 3x + 21 = 2y +14 | -14
3x + 7 = 2y | :2
1,5x + 3,5 = y
II 4(x + 21) = 3(y + 20)
II’ 4x + 84 = 3y + 60
y = 1,5x + 3,5 in II
4x + 84 = 3∙(1,5x + 3,5) + 60
4x + 84 = 4,5x + 10,5 + 60
4x + 84 = 4,5x + 70,5 |-70,5
4x + 13,5 = 4,5x |-4x
13,5 = 0,5x |∙2
x = 27
x = 27 in I’
3∙27 + 21 = 2y + 14
102 = 2y + 14 |-14
88 = 2y |:2
y = 44
Lösungen:
Aufgabe 1:
Löse die Gleichungssysteme mit einem Verfahren deiner Wahl.
a) I 11y + 5x = 34 Additionsverfahren
II + 3y – 5x = 22
14y = 56 | : 14
y = 4
In I 11 ∙ 4 + 5x = 34
44 + 5x = 34 | - 44
5x = - 10 | :5
x = - 2 IL = (-2|4)
b) I y – 3 = 2,5x
II 1,5x + y = -2 (Einsetzungsverfahren)
I y – 3 = 2,5x
II 1,5x + y = -2 | -1,5x
y = -2-1,5x
y = -2 - 1,5x in I (-2 - 1,5x) - 3 = 2,5x
-5 - 1,5x = 2,5x | + 1,5x
-5 = 4x | :4
x = -1,25
x = -1,25 in II 1,5 ∙ (-1,25) + y = -2
-1,875 + y = -2 | +1,875
y = - 0,25 IL = (-1,25 | -0,25)
c) I 3 (x + 7) = 2 (y + 7)
II 4 (x + 21) = 3 (y + 20)
I 3(x + 7) = 2(y + 7) (Einsetzungsverfahren)
I’ 3x + 21 = 2y +14 | -14
3x + 7 = 2y | :2
1,5x + 3,5 = y
II 4(x + 21) = 3(y + 20)
II’ 4x + 84 = 3y + 60
y = 1,5x + 3,5 in II
4x + 84 = 3∙(1,5x + 3,5) + 60
4x + 84 = 4,5x + 10,5 + 60
4x + 84 = 4,5x + 70,5 |-70,5
4x + 13,5 = 4,5x |-4x
13,5 = 0,5x |∙2
x = 27
x = 27 in I’
3∙27 + 21 = 2y + 14
102 = 2y + 14 |-14
88 = 2y |:2
y = 44
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Aufgabe 2:
Verkürzt man in einem Rechteck die lange Seite um 2 cm und verlängert die
andere um 2 cm, so wächst der Flächeninhalt um 4 cm2.
Verlängert man beide Seiten um jeweils 3 cm, so wächst der Flächeninhalt um
57 cm2. Wie lang sind die ursprünglichen Seiten?
x = längere Seite y = kürzere Seite
I (x – 2) ∙ (y + 2) = xy + 4
II (x + 3) ∙ (y + 3) = xy + 57
I’ xy + 2x – 2y – 4 = xy + 4 | - xy
2x – 2y – 4 = 4 | + 4
2x – 2y = 8 | + 2y
2x = 2y + 8 | : 2
x = y + 4
x = 4+y in II’
II’ xy + 3x + 3y + 9 = xy + 57
(4 + y)∙y + 3 ∙(4 + y) + 3y + 9 = (4 + y) · y + 57
4y + y2 + 12 + 3y + 3y + 9 = 4y + y2 + 57 | - y2
10y + 21 = 4y + 57 | - 21
10y = 4y + 36 | - 4y
6y = 36 | : 6
y = 6
y = 6 in I’
x ∙ 6 + 2x – 2 ∙ 6 – 4 = x ∙ 6 + 4
6x + 2x – 16 = 6x + 4 | - 6x
2x – 16 = 4 | + 16
2x = 20 | : 2
x = 10
Antwort: Die längere Seite (x) war ursprünglich 10 cm lang, die kürzere(y)
war 6 cm lang.
Aufgabe 3:
Die Quersumme einer zweistelligen Zahl ist 10. Die Einerziffer ist dabei um 4 größer als
die Zehnerziffer. Wie heißt die ursprüngliche Zahl?
Zehnerziffer x Einerziffer y
I x + y = 10
II y = x + 4
II in I x + x + 4 = 10 | -4
2x = 6 | :2
x = 3
x = 3 in I 3 + y = 10 | -3
y = 7
Antwort: Die ursprüngliche Zahl heißt 37.
Aufgabe 2:
Verkürzt man in einem Rechteck die lange Seite um 2 cm und verlängert die
andere um 2 cm, so wächst der Flächeninhalt um 4 cm2.
Verlängert man beide Seiten um jeweils 3 cm, so wächst der Flächeninhalt um
57 cm2. Wie lang sind die ursprünglichen Seiten?
x = längere Seite y = kürzere Seite
I (x – 2) ∙ (y + 2) = xy + 4
II (x + 3) ∙ (y + 3) = xy + 57
I’ xy + 2x – 2y – 4 = xy + 4 | - xy
2x – 2y – 4 = 4 | + 4
2x – 2y = 8 | + 2y
2x = 2y + 8 | : 2
x = y + 4
x = 4+y in II’
II’ xy + 3x + 3y + 9 = xy + 57
(4 + y)∙y + 3 ∙(4 + y) + 3y + 9 = (4 + y) · y + 57
4y + y2 + 12 + 3y + 3y + 9 = 4y + y2 + 57 | - y2
10y + 21 = 4y + 57 | - 21
10y = 4y + 36 | - 4y
6y = 36 | : 6
y = 6
y = 6 in I’
x ∙ 6 + 2x – 2 ∙ 6 – 4 = x ∙ 6 + 4
6x + 2x – 16 = 6x + 4 | - 6x
2x – 16 = 4 | + 16
2x = 20 | : 2
x = 10
Antwort: Die längere Seite (x) war ursprünglich 10 cm lang, die kürzere(y)
war 6 cm lang.
Aufgabe 3:
Die Quersumme einer zweistelligen Zahl ist 10. Die Einerziffer ist dabei um 4 größer als
die Zehnerziffer. Wie heißt die ursprüngliche Zahl?
Zehnerziffer x Einerziffer y
I x + y = 10
II y = x + 4
II in I x + x + 4 = 10 | -4
2x = 6 | :2
x = 3
x = 3 in I 3 + y = 10 | -3
y = 7
Antwort: Die ursprüngliche Zahl heißt 37.
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Aufgabe 4:
Die Mutter ist 24 Jahre älter als die Tochter. In acht Jahren wird sie doppelt so alt sein wie ihre
Tochter.
Alter der Tochter heute = x Alter der Mutter heute = y
I y = x + 24
II y + 8 = 2(x + 8)
I in II: x + 24 + 8 = 2 (x + 8)
x + 32 = 2x + 16 | -x
32 = x + 16 | - 16
16 = x
x = 16 in I y = 16 + 24
y = 40
Antwort: Die Mutter ist 40 Jahre alt und die Tochter 16 Jahre alt.
Aufgabe 5:
In einer Jugendherberge können 52 Schüler untergebracht werden. Es gibt nur
Zweibettzimmer und Vierbettzimmer. Insgesamt hat das Haus 20 Zimmer.
Wie viele Zweibett- und wie viele Vierbettzimmer hat die Jugendherberge?
x = Anzahl der Zweibettzimmer y = Anzahl der Vierbettzimmer
I x + y = 20
II 52 = (x ∙ 2) + (y ∙ 4)
x = 20 - y in II 52 = (20 – y) ∙ 2 + y ∙ 4
52 = 40 – 2y + 4y | - 40
12 = 2y | : 2
6 = y
y = 6 in I x = 20 – 6
x = 14
Antwort: Es gibt 14 Zweibettzimmer und 6 Vierbettzimmer.
Aufgabe 4:
Die Mutter ist 24 Jahre älter als die Tochter. In acht Jahren wird sie doppelt so alt sein wie ihre
Tochter.
Alter der Tochter heute = x Alter der Mutter heute = y
I y = x + 24
II y + 8 = 2(x + 8)
I in II: x + 24 + 8 = 2 (x + 8)
x + 32 = 2x + 16 | -x
32 = x + 16 | - 16
16 = x
x = 16 in I y = 16 + 24
y = 40
Antwort: Die Mutter ist 40 Jahre alt und die Tochter 16 Jahre alt.
Aufgabe 5:
In einer Jugendherberge können 52 Schüler untergebracht werden. Es gibt nur
Zweibettzimmer und Vierbettzimmer. Insgesamt hat das Haus 20 Zimmer.
Wie viele Zweibett- und wie viele Vierbettzimmer hat die Jugendherberge?
x = Anzahl der Zweibettzimmer y = Anzahl der Vierbettzimmer
I x + y = 20
II 52 = (x ∙ 2) + (y ∙ 4)
x = 20 - y in II 52 = (20 – y) ∙ 2 + y ∙ 4
52 = 40 – 2y + 4y | - 40
12 = 2y | : 2
6 = y
y = 6 in I x = 20 – 6
x = 14
Antwort: Es gibt 14 Zweibettzimmer und 6 Vierbettzimmer.
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Aufgabe 6:
Vollmilch hat 3,5% Fettgehalt, Magermilch 1,0%. Wie viel Liter Vollmilch und wie viel
Liter Magermilch muss man mischen, um 5 Liter mit 2% Fettgehalt zu erhalten?
x = Menge Vollmilch y = Menge Magermilch
I x + y = 5 | - x
y = 5 – x
II 0,035y + 0,01y = 0,2 | ∙100
3,5x + y = 20 | - 3,5y
y = 20 – 3,5x
Gleichsetzen
5 – x = 20 – 3,5x | +3,5x
5 + 2,5x = 20 | - 5
2,5x = 15 | : 2,5
x = 4
x = 4 in I 4 + y = 5 | - 4
y = 1
Antwort: Man muss 4l Vollmilch mit 1l Magermilch mischen, um 5l mit 2 % Fettgehalt zu
erhalten.
Aufgabe 7:
Die Karten für ein Schulkonzert kosten für einen Erwachsenen 4 € und für Schüler 1,50
€. Insgesamt wurden 400 Karten verkauft, die eine Summe von 1037,50 € erbrachten.
Wie viele Karten wurden von jeder Seite verkauft?
x = Anzahl Schüler y = Anzahl Erwachsene
I 1,5x + 4y = 1037,5
II x + y = 400 | -x
y = 400 - x
y = 400 - x in I 1,5x + 4 ∙ (400 – x) = 1037,5
1,5x + 1600 – 4x = 1037,5
-2,5x + 1600 = 1037,50 | -1600
-2,5x = - 562,5 | :(-2,5)
x = 225
x = 225 in II 225 + y = 400 | -225
y = 175
Antwort: Es werden 175 Karten an Erwachsene und 225 Karten an Schüler verkauft.
Aufgabe 6:
Vollmilch hat 3,5% Fettgehalt, Magermilch 1,0%. Wie viel Liter Vollmilch und wie viel
Liter Magermilch muss man mischen, um 5 Liter mit 2% Fettgehalt zu erhalten?
x = Menge Vollmilch y = Menge Magermilch
I x + y = 5 | - x
y = 5 – x
II 0,035y + 0,01y = 0,2 | ∙100
3,5x + y = 20 | - 3,5y
y = 20 – 3,5x
Gleichsetzen
5 – x = 20 – 3,5x | +3,5x
5 + 2,5x = 20 | - 5
2,5x = 15 | : 2,5
x = 4
x = 4 in I 4 + y = 5 | - 4
y = 1
Antwort: Man muss 4l Vollmilch mit 1l Magermilch mischen, um 5l mit 2 % Fettgehalt zu
erhalten.
Aufgabe 7:
Die Karten für ein Schulkonzert kosten für einen Erwachsenen 4 € und für Schüler 1,50
€. Insgesamt wurden 400 Karten verkauft, die eine Summe von 1037,50 € erbrachten.
Wie viele Karten wurden von jeder Seite verkauft?
x = Anzahl Schüler y = Anzahl Erwachsene
I 1,5x + 4y = 1037,5
II x + y = 400 | -x
y = 400 - x
y = 400 - x in I 1,5x + 4 ∙ (400 – x) = 1037,5
1,5x + 1600 – 4x = 1037,5
-2,5x + 1600 = 1037,50 | -1600
-2,5x = - 562,5 | :(-2,5)
x = 225
x = 225 in II 225 + y = 400 | -225
y = 175
Antwort: Es werden 175 Karten an Erwachsene und 225 Karten an Schüler verkauft.
