Gleichungen und Gleichungssysteme
Klasse 8 Gym.
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Mathematikarbeit – Gleichungen und Gleichungssysteme
Aufgabe 1
Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen! (jeweils 2 Punkte = 6 Punkte)
a) 4x + 24 = 12 b) 8x = 4(3 + 2x) c) -x(x – 2) = -x2 – 1
Aufgabe 2 (6 Punkte)
Löse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren!
I 4x – 2y = 10
II – 4x + 5y = 14
Aufgabe 3
In den USA werden Temperaturen in Grad Fahrenheit (°F) angegeben.
Mit y = 1,8x + 32 können Fahrenheit in °F umgerechnet werden, wobei x für
den Wert in °C und y für den Wert in °F steht.
a) Fülle die Umrechnungstabelle aus! (3 Punkte)
x 0 5 10 15 20
y 80
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Mathematikarbeit – Gleichungen und Gleichungssysteme
Aufgabe 1
Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen! (jeweils 2 Punkte = 6 Punkte)
a) 4x + 24 = 12 b) 8x = 4(3 + 2x) c) -x(x – 2) = -x2 – 1
Aufgabe 2 (6 Punkte)
Löse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren!
I 4x – 2y = 10
II – 4x + 5y = 14
Aufgabe 3
In den USA werden Temperaturen in Grad Fahrenheit (°F) angegeben.
Mit y = 1,8x + 32 können Fahrenheit in °F umgerechnet werden, wobei x für
den Wert in °C und y für den Wert in °F steht.
a) Fülle die Umrechnungstabelle aus! (3 Punkte)
x 0 5 10 15 20
y 80
Gleichungen und Gleichungssysteme
Klasse 8 Gym.
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b) Zeichne den Graphen für die Zuordnung! (2 Punkte)
c) Begründe, warum diese Zuordnung linear ist! (2 Punkte)
Aufgabe 4
Der Hund von Tom ist h Jahre alt. Die Katze ist k Jahre alt.
Schreibe die folgende Aussage jeweils als Gleichung mit den
Variablen h und k!
a) Toms Katze ist doppelt so alt wie sein Hund. (2 Punkte)
Klasse 8 Gym.
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b) Zeichne den Graphen für die Zuordnung! (2 Punkte)
c) Begründe, warum diese Zuordnung linear ist! (2 Punkte)
Aufgabe 4
Der Hund von Tom ist h Jahre alt. Die Katze ist k Jahre alt.
Schreibe die folgende Aussage jeweils als Gleichung mit den
Variablen h und k!
a) Toms Katze ist doppelt so alt wie sein Hund. (2 Punkte)
Gleichungen und Gleichungssysteme
Klasse 8 Gym.
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b) Wie alt ist eine Katze, wenn sie 5 Jahre jünger ist als ein Hund und beide Tiere
zusammen 17 Jahre alt sind? (4 Punkte)
Aufgabe 5 (6 Punkte)
Stelle ein Gleichungssystem auf und löse die Aufgabe durch Subtraktion!
Peter und Eva haben je ein Friseurgeschäft. Wenn sie ihre Bestellungen
zusammenlegen, erhalten sie günstigere Preise. Sie brauchen beide die gleiche Menge
an Haarfarbe und Eva benötigt doppelt so viel Shampoo wie Peter. Zusammen
bestellen sie 161 Artikel und zahlen 530,35 €. Eine Flasche Shampoo kostet 2,35 €
und eine Packung Farbe kostet 4,25 €. Wie lautet Peters Bestellung?
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b) Wie alt ist eine Katze, wenn sie 5 Jahre jünger ist als ein Hund und beide Tiere
zusammen 17 Jahre alt sind? (4 Punkte)
Aufgabe 5 (6 Punkte)
Stelle ein Gleichungssystem auf und löse die Aufgabe durch Subtraktion!
Peter und Eva haben je ein Friseurgeschäft. Wenn sie ihre Bestellungen
zusammenlegen, erhalten sie günstigere Preise. Sie brauchen beide die gleiche Menge
an Haarfarbe und Eva benötigt doppelt so viel Shampoo wie Peter. Zusammen
bestellen sie 161 Artikel und zahlen 530,35 €. Eine Flasche Shampoo kostet 2,35 €
und eine Packung Farbe kostet 4,25 €. Wie lautet Peters Bestellung?
3. KA – Gleichungen und Gleichungssysteme
LÖSUNGEN Klasse 8 Gym. Brandenburg April
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Aufgabe 1
a) 4x + 24 = 12 │-24 b) 8x = 4(3 + 2x) │: 4 c) -x(x – 2) = -x2 – 1
4x = - 12 │: 4 2x = 3 + 2x │- 2x - x² + 2x = - x² -1 │+ x²
x = - 3 0 = 3 (falsche Aussage) 2x = -1 │: 2
x = - 0,5
L = {- 3} L = {ø} L = {- 0,5}
Aufgabe 2
Löse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren!
I 4x – 2y = 10
II – 4x + 5y = 14
I + II 3y = 24 │: 3
y = 8
y in I einsetzen
4x – 2 ∙ 8 = 10
4x – 16 = 10 │+16
4x = 26 │: 4
x = 6,5 L = {(6,5; 8)}
Aufgabe 3
Mit y = 1,8x + 32 können Fahrenheit in °F umgerechnet werden, wobei x für den Wert in °C und y für den
Wert in °F steht.
a) Fülle die Umrechnungstabelle aus! (3 Punkte)
x 0 5 10 15 20 262
3
y 32 41 50 59 68 80
Berechnung für den letzten Wert:
80 = 1,8x + 32 │-32
48 = 1,8x │:1,8
262
3 = x
b) Die Achsen müssen entsprechend
beschriftet werden (x-Achse = Grad)
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Aufgabe 1
a) 4x + 24 = 12 │-24 b) 8x = 4(3 + 2x) │: 4 c) -x(x – 2) = -x2 – 1
4x = - 12 │: 4 2x = 3 + 2x │- 2x - x² + 2x = - x² -1 │+ x²
x = - 3 0 = 3 (falsche Aussage) 2x = -1 │: 2
x = - 0,5
L = {- 3} L = {ø} L = {- 0,5}
Aufgabe 2
Löse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren!
I 4x – 2y = 10
II – 4x + 5y = 14
I + II 3y = 24 │: 3
y = 8
y in I einsetzen
4x – 2 ∙ 8 = 10
4x – 16 = 10 │+16
4x = 26 │: 4
x = 6,5 L = {(6,5; 8)}
Aufgabe 3
Mit y = 1,8x + 32 können Fahrenheit in °F umgerechnet werden, wobei x für den Wert in °C und y für den
Wert in °F steht.
a) Fülle die Umrechnungstabelle aus! (3 Punkte)
x 0 5 10 15 20 262
3
y 32 41 50 59 68 80
Berechnung für den letzten Wert:
80 = 1,8x + 32 │-32
48 = 1,8x │:1,8
262
3 = x
b) Die Achsen müssen entsprechend
beschriftet werden (x-Achse = Grad)
3. KA – Gleichungen und Gleichungssysteme
LÖSUNGEN Klasse 8 Gym. Brandenburg April
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c) Beim Zeichnen der Funktion ist eine Gerade entstanden. Nur bei linearen Funktionen entstehen Geraden
mit einer bestimmten Steigung und einem y-Achsenabschnitt. Es gilt die allgemeine Funktionsgleichung
y = mx + b mit m = Steigung, b = y-Achsenabschnitt, x = Argument, y = Funktionswert
Aufgabe 4
Der Hund von Tom ist h Jahre alt. Die Katze ist k Jahre alt. Schreibe die folgende Aussage jeweils als
Gleichung mit den Variablen h und k!
a) Toms Katze ist doppelt so alt wie sein Hund. (2 Punkte) : k = 2h
b) Wie alt ist eine Katze, wenn sie 5 Jahre jünger ist als ein Hund und beide Tiere zusammen 17 Jahre alt
sind? (4 Punkte)
I k = h – 5
II k + h = 17
Gleichung I in II einsetzen
(h – 5) + h = 17
2h – 5 = 17 │+ 5
2h = 22 │: 2
h = 11
h in I einsetzen u. k berechnen
k = 11 – 5
k = 6 Die Katze ist 6 Jahre alt.
Aufgabe 5 : Stelle ein Gleichungssystem auf und löse die Aufgabe durch Subtraktion! Peter und Eva haben je ein
Friseurgeschäft. Wenn sie ihre Bestellungen zusammenlegen, erhalten sie günstigere Preise. Sie
brauchen beide die gleiche Menge an Haarfarbe und Eva benötigt doppelt so viel Shampoo wie Peter.
Zusammen bestellen sie 161 Artikel und zahlen 530,35 €. Eine Flasche Shampoo kostet 2,35 € und eine
Packung Farbe kostet 4,25 €. Wie lautet Peters Bestellung?
Anzahl Farbe (gesamt) = f; Anzahl Shampoo (gesamt) = s
I f + s = 161 │mit 4,25 multiplizieren
II 4,25f + 2,35s = 530,35
I 4,25f + 4,25s = 684,25 │ subtrahieren
4,25 f + 2,35 s – 4,25 f – 4,25 s = 530,35 – 684,25
- 1,9s = - 153,9 │: (-1,9)
s = 81
s in I einsetzen
f + 81 = 161 │- 81
f = 80
Farbe bestellen beide gleich viel 80 : 2 = 40 (Peter bestellt 40 Packungen Farbe)
Shampoo bestellt Eva doppelt so viel wie Peter 81 : 3 = 27 (Peter bestellt 27 Flaschen u. Eva 54)
Peter bestellt also 40 Packungen Farbe und 27 Flaschen Shampoo.
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c) Beim Zeichnen der Funktion ist eine Gerade entstanden. Nur bei linearen Funktionen entstehen Geraden
mit einer bestimmten Steigung und einem y-Achsenabschnitt. Es gilt die allgemeine Funktionsgleichung
y = mx + b mit m = Steigung, b = y-Achsenabschnitt, x = Argument, y = Funktionswert
Aufgabe 4
Der Hund von Tom ist h Jahre alt. Die Katze ist k Jahre alt. Schreibe die folgende Aussage jeweils als
Gleichung mit den Variablen h und k!
a) Toms Katze ist doppelt so alt wie sein Hund. (2 Punkte) : k = 2h
b) Wie alt ist eine Katze, wenn sie 5 Jahre jünger ist als ein Hund und beide Tiere zusammen 17 Jahre alt
sind? (4 Punkte)
I k = h – 5
II k + h = 17
Gleichung I in II einsetzen
(h – 5) + h = 17
2h – 5 = 17 │+ 5
2h = 22 │: 2
h = 11
h in I einsetzen u. k berechnen
k = 11 – 5
k = 6 Die Katze ist 6 Jahre alt.
Aufgabe 5 : Stelle ein Gleichungssystem auf und löse die Aufgabe durch Subtraktion! Peter und Eva haben je ein
Friseurgeschäft. Wenn sie ihre Bestellungen zusammenlegen, erhalten sie günstigere Preise. Sie
brauchen beide die gleiche Menge an Haarfarbe und Eva benötigt doppelt so viel Shampoo wie Peter.
Zusammen bestellen sie 161 Artikel und zahlen 530,35 €. Eine Flasche Shampoo kostet 2,35 € und eine
Packung Farbe kostet 4,25 €. Wie lautet Peters Bestellung?
Anzahl Farbe (gesamt) = f; Anzahl Shampoo (gesamt) = s
I f + s = 161 │mit 4,25 multiplizieren
II 4,25f + 2,35s = 530,35
I 4,25f + 4,25s = 684,25 │ subtrahieren
4,25 f + 2,35 s – 4,25 f – 4,25 s = 530,35 – 684,25
- 1,9s = - 153,9 │: (-1,9)
s = 81
s in I einsetzen
f + 81 = 161 │- 81
f = 80
Farbe bestellen beide gleich viel 80 : 2 = 40 (Peter bestellt 40 Packungen Farbe)
Shampoo bestellt Eva doppelt so viel wie Peter 81 : 3 = 27 (Peter bestellt 27 Flaschen u. Eva 54)
Peter bestellt also 40 Packungen Farbe und 27 Flaschen Shampoo.
