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1. Binomische Formel Station 1
( a + b )2 bedeutet ausführlich geschrieben: ( a + b ) • ( a + b )
ausrechnen: jedes Glied der ersten Klammer muss mit jedem Glied der zweiten
Klammer multipliziert werden; also:
a2 + ab + ab + b2
zusammenfassen: a2 + 2ab + b2
Die 1. Binomische Formel lautet: ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
Beispiel 1: Beispiel 2:
( a + 3 )2 = ( a + 3 ) • ( a + 3 ) ( x + 4 )2 = x2 + 2 • x • 4 + 42
= a2 + 3a + 3a + 32 = x2 + 8x +16
= a2 + 6a + 9
Beispiel 3: Beispiel 4:
( x + 9 )2 = x2 + 18x + 81 ( a + x )2 = a2 + 2ax + x2
1. Übungsaufgaben:
1.) ( x + 1 )2 = _____________________________________________
2.) ( x + 8 )2 = _____________________________________________
3.) ( x + 9 )2 = _____________________________________________
4.) ( a + 4 )2 = _____________________________________________
5.) ( a + 5 )2 = _____________________________________________
6.) ( x + y )2 = _____________________________________________
7.) ( u + v )2 = _____________________________________________
1. Binomische Formel Station 1
( a + b )2 bedeutet ausführlich geschrieben: ( a + b ) • ( a + b )
ausrechnen: jedes Glied der ersten Klammer muss mit jedem Glied der zweiten
Klammer multipliziert werden; also:
a2 + ab + ab + b2
zusammenfassen: a2 + 2ab + b2
Die 1. Binomische Formel lautet: ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
Beispiel 1: Beispiel 2:
( a + 3 )2 = ( a + 3 ) • ( a + 3 ) ( x + 4 )2 = x2 + 2 • x • 4 + 42
= a2 + 3a + 3a + 32 = x2 + 8x +16
= a2 + 6a + 9
Beispiel 3: Beispiel 4:
( x + 9 )2 = x2 + 18x + 81 ( a + x )2 = a2 + 2ax + x2
1. Übungsaufgaben:
1.) ( x + 1 )2 = _____________________________________________
2.) ( x + 8 )2 = _____________________________________________
3.) ( x + 9 )2 = _____________________________________________
4.) ( a + 4 )2 = _____________________________________________
5.) ( a + 5 )2 = _____________________________________________
6.) ( x + y )2 = _____________________________________________
7.) ( u + v )2 = _____________________________________________
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2. Binomische Formel Station 2
( a - b )2 bedeutet ausführlich geschrieben: ( a - b ) • ( a - b )
ausrechnen: jedes Glied der ersten Klammer muss mit jedem Glied der zweiten
Klammer multipliziert werden; also:
a2 - ab - ab + b2
zusammenfassen: a2 - 2ab + b2
Die 2. Binomische Formel lautet: ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
Beispiel 1: Beispiel 2:
( a - 3 )2 = ( a - 3 ) • ( a - 3 ) ( x - 4 )2 = x2 - 2 • x • 4 + 42
= a2 - 3a - 3a + 32 = x2 - 8x +16
= a2 - 6a + 9
Beispiel 3: Beispiel 4:
( x - 9 )2 = x2 - 18x + 81 ( a - x )2 = a2 - 2ax + x2
So, nun muss aber mal gerechnet werden:
1.) ( x - 8 )2 = _____________________________________________
2.) ( x - 9 )2 = _____________________________________________
3.) ( x - y )2 = _____________________________________________
4.) ( u - v )2 = _____________________________________________
5.) ( a - 4 )2 = _____________________________________________
6.) ( a - 5 )2 = _____________________________________________
7.) ( x - 1 )2 = _____________________________________________
2. Binomische Formel Station 2
( a - b )2 bedeutet ausführlich geschrieben: ( a - b ) • ( a - b )
ausrechnen: jedes Glied der ersten Klammer muss mit jedem Glied der zweiten
Klammer multipliziert werden; also:
a2 - ab - ab + b2
zusammenfassen: a2 - 2ab + b2
Die 2. Binomische Formel lautet: ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
Beispiel 1: Beispiel 2:
( a - 3 )2 = ( a - 3 ) • ( a - 3 ) ( x - 4 )2 = x2 - 2 • x • 4 + 42
= a2 - 3a - 3a + 32 = x2 - 8x +16
= a2 - 6a + 9
Beispiel 3: Beispiel 4:
( x - 9 )2 = x2 - 18x + 81 ( a - x )2 = a2 - 2ax + x2
So, nun muss aber mal gerechnet werden:
1.) ( x - 8 )2 = _____________________________________________
2.) ( x - 9 )2 = _____________________________________________
3.) ( x - y )2 = _____________________________________________
4.) ( u - v )2 = _____________________________________________
5.) ( a - 4 )2 = _____________________________________________
6.) ( a - 5 )2 = _____________________________________________
7.) ( x - 1 )2 = _____________________________________________
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3. Binomische Formel Station 3
( a + b ) • ( a - b )
ausrechnen: jedes Glied der ersten Klammer muss mit jedem Glied der zweiten
Klammer multipliziert werden; also:
a2 - ab + ab - b2
zusammenfassen: a2 - b2
Die 3. Binomische Formel lautet: ( a + b ) • ( a - b ) = a2 - b2
Beispiel 1: Beispiel 2:
( a + 3 ) • ( a - 3 ) = a2 - 3a + 3a - 32 = x2 - 16 ( x + 4 ) • ( x - 4 ) = x2 - 4x + 4x - 42
= a2 - 9
Beispiel 3: Beispiel 4:
( a + x ) • ( a - x ) = a2 - x2 ( x + 9 ) • ( x - 9 ) = x2 - 81
1. Übungsaufgaben:
1.) ( a + 4 ) • ( a - 4 ) = _____________________________________________
2.) ( a + 5 ) • ( a - 5 ) = _____________________________________________
3.) ( x + 1 ) • ( x - 1 ) = _____________________________________________
4.) ( x + 8 ) • ( x - 8 ) = _____________________________________________
5.) ( x + 9 ) • ( x - 9 ) = _____________________________________________
6.) ( x + y ) • ( x - y ) = _____________________________________________
7.) ( u + v ) • ( u - v ) = _____________________________________________
3. Binomische Formel Station 3
( a + b ) • ( a - b )
ausrechnen: jedes Glied der ersten Klammer muss mit jedem Glied der zweiten
Klammer multipliziert werden; also:
a2 - ab + ab - b2
zusammenfassen: a2 - b2
Die 3. Binomische Formel lautet: ( a + b ) • ( a - b ) = a2 - b2
Beispiel 1: Beispiel 2:
( a + 3 ) • ( a - 3 ) = a2 - 3a + 3a - 32 = x2 - 16 ( x + 4 ) • ( x - 4 ) = x2 - 4x + 4x - 42
= a2 - 9
Beispiel 3: Beispiel 4:
( a + x ) • ( a - x ) = a2 - x2 ( x + 9 ) • ( x - 9 ) = x2 - 81
1. Übungsaufgaben:
1.) ( a + 4 ) • ( a - 4 ) = _____________________________________________
2.) ( a + 5 ) • ( a - 5 ) = _____________________________________________
3.) ( x + 1 ) • ( x - 1 ) = _____________________________________________
4.) ( x + 8 ) • ( x - 8 ) = _____________________________________________
5.) ( x + 9 ) • ( x - 9 ) = _____________________________________________
6.) ( x + y ) • ( x - y ) = _____________________________________________
7.) ( u + v ) • ( u - v ) = _____________________________________________
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Binomische Formel Station 4
1. Löse die Klammern auf und fasse so weit wie möglich zusammen!
1. (-0,5x – 6y)² =
2. (3x + 2y)² =
3. (0,3x – 1,5y)² =
4. (1,2a + 0,6d)² =
5. 3(x – 2)² =
6. (xy² + z)² =
7. (e + f)² + (e-f)² =
8. (a+b)² - (a-b)² =
9. (2x – 5)² =
10. (1 – 5x)² =
11. (-0,5x – 1)² =
12. (-x + 0,5)² =
13. (-4x + 1,5y)² =
2. Löse die Klammern auf und fasse soweit wie möglich zusammen!
(x+6)(x-6) =
(z+4)(z-4) =
(r+8)(r-8) =
3. Was fällt dir auf?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
4. Versuche eine allgemeine Formel zu finden!
_________________________________________________________________
Binomische Formel Station 4
1. Löse die Klammern auf und fasse so weit wie möglich zusammen!
1. (-0,5x – 6y)² =
2. (3x + 2y)² =
3. (0,3x – 1,5y)² =
4. (1,2a + 0,6d)² =
5. 3(x – 2)² =
6. (xy² + z)² =
7. (e + f)² + (e-f)² =
8. (a+b)² - (a-b)² =
9. (2x – 5)² =
10. (1 – 5x)² =
11. (-0,5x – 1)² =
12. (-x + 0,5)² =
13. (-4x + 1,5y)² =
2. Löse die Klammern auf und fasse soweit wie möglich zusammen!
(x+6)(x-6) =
(z+4)(z-4) =
(r+8)(r-8) =
3. Was fällt dir auf?
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4. Versuche eine allgemeine Formel zu finden!
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Binomische Formel Station 5
1. Besetze die Platzhalter
(3x + * )2 = * + * + 49 (3a + * )(* - 5 ) = * - *
(* - 4 )2 = * - 48y + * (* - *)(* - * ) = 49a4 - 9b2
(* + * )2 = 4x2 + 32x + * (* + * )(* - 3c ) = - * + 4d2
(* + * )2 = * + 180x + 100 (* + 6 )(* - * ) = * - 100p6
(* - * )2 = 36x4 - 24x2+ * (* - * )2 = 16a2b2 - 40a3b4c + *
(* - * )2 = * - 130a + 169 ( * + * )2 = 0,25x4 + 0,2x2y2 + *
2. Aufgaben:
(a+2b)(a-2b) (3-6a)2
(2a - 3b)2 (2-0,3x)2
(5a-14b2 )2 (6a+5)(-5-6a)2
(y+5)2 (0,2a-0,5)2
(x-12)2 (x-9)(x+9)
(a+3)(a-3) (1,5x+0,5y)(1,5x-0,5y)
(x+1)2 (4a+5)2
(x-y)2 (0,1a+0,4b)2
( 1/3 x + 2/7 y )(1/3 x - 2/7y )
3, Umkehrung der binomischen Formel
9 + 12x + 4x2 = 64ux2 - 96ux + 36u
x2 + 14sy + 49y2 = 25a3 + 40a2 + 16a
4a2 - 20ab + 25b2 = 162-½b2
196b8 - 324a6 = 0,81q2 - 2,16pq+1,44p2
a2 - 6ab + 9b2 = 9a2 - 25
4x2 + 4xy + y2 = 144x2 - 120xy +25y2
4a2 - 12ab + 9b2 = x2 - 49
4. Zusammen gesetzte Terme
a: ( u - 3v )2 + ( v + 2u )2 b: ( a - ½ b )2 + ( ¼ b + 3a )2
c: ( x + 3 ) ( x - 3 ) - (2x+7)2 + ( - x - 1 )2
d: (5p + 3r )2 - ( ep-25)( 4p + 2r )
Binomische Formel Station 5
1. Besetze die Platzhalter
(3x + * )2 = * + * + 49 (3a + * )(* - 5 ) = * - *
(* - 4 )2 = * - 48y + * (* - *)(* - * ) = 49a4 - 9b2
(* + * )2 = 4x2 + 32x + * (* + * )(* - 3c ) = - * + 4d2
(* + * )2 = * + 180x + 100 (* + 6 )(* - * ) = * - 100p6
(* - * )2 = 36x4 - 24x2+ * (* - * )2 = 16a2b2 - 40a3b4c + *
(* - * )2 = * - 130a + 169 ( * + * )2 = 0,25x4 + 0,2x2y2 + *
2. Aufgaben:
(a+2b)(a-2b) (3-6a)2
(2a - 3b)2 (2-0,3x)2
(5a-14b2 )2 (6a+5)(-5-6a)2
(y+5)2 (0,2a-0,5)2
(x-12)2 (x-9)(x+9)
(a+3)(a-3) (1,5x+0,5y)(1,5x-0,5y)
(x+1)2 (4a+5)2
(x-y)2 (0,1a+0,4b)2
( 1/3 x + 2/7 y )(1/3 x - 2/7y )
3, Umkehrung der binomischen Formel
9 + 12x + 4x2 = 64ux2 - 96ux + 36u
x2 + 14sy + 49y2 = 25a3 + 40a2 + 16a
4a2 - 20ab + 25b2 = 162-½b2
196b8 - 324a6 = 0,81q2 - 2,16pq+1,44p2
a2 - 6ab + 9b2 = 9a2 - 25
4x2 + 4xy + y2 = 144x2 - 120xy +25y2
4a2 - 12ab + 9b2 = x2 - 49
4. Zusammen gesetzte Terme
a: ( u - 3v )2 + ( v + 2u )2 b: ( a - ½ b )2 + ( ¼ b + 3a )2
c: ( x + 3 ) ( x - 3 ) - (2x+7)2 + ( - x - 1 )2
d: (5p + 3r )2 - ( ep-25)( 4p + 2r )
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Binomische Formel Station 6
1.) (2x – 5)² =
(5 + 2x)² =
(1 – 5x)² =
(2x – 0,5)(2x + 0,5) =
(-0,5x + 1)² =
(-0,5x – 1)² =
(0,5x + 2)(0,5x – 2) =
(-x – 0,5)² =
2.) (19x + 15y)(15y – 19x) =
(-4x + 1,5y)² =
(-0,5x – 6y)² =
3(x – 2)² =
-x(x + 1)² =
2x(2 – x)² =
(3x + 2y)² =
(0,3x – 1,5y)² =
3.) (x − 2)2 + (x + 5)2 = 2x2 + 6x + 29
(2x − 3z)(2x + 3z) − (3x − 4z)2 = − 5x2 + 24xz − 25z2
(3x − 2)2 + (4x + 5)2 = 25x2 + 28x + 29
(3,5x2 + 3x)2 − (2,5x2 − 2x)2 = 6x4 + 31x3 + 5x2
(2x + 5)2 + (3x − 6)2= 13x2 −16x + 61
(2x − 4z)2 − (2x + 4z)2 = − 32xz
(x + 3)2 − (x − 4)2 − (x + 2)2 = − x2 +10x − 29
(x − 7)2 + (x + 6)2 − (x −12)2 = x2 +10x − 59
(2x +1)2 + (3x − 2)2 − (4x + 5)2= − 3x2 − 48x − 20
(3x − 5)2 − (5x − 3)2 − (4x −1)2 = − 32x2 + 8x +15 15x2 − (2x + 4)2 + (3x − 7)2 = 20x2 − 36x + 33 3x2 +[(2x − 6)(2x + 6) − (2x − 6)2 ] = 3x2 + 24x − 72
Binomische Formel Station 6
1.) (2x – 5)² =
(5 + 2x)² =
(1 – 5x)² =
(2x – 0,5)(2x + 0,5) =
(-0,5x + 1)² =
(-0,5x – 1)² =
(0,5x + 2)(0,5x – 2) =
(-x – 0,5)² =
2.) (19x + 15y)(15y – 19x) =
(-4x + 1,5y)² =
(-0,5x – 6y)² =
3(x – 2)² =
-x(x + 1)² =
2x(2 – x)² =
(3x + 2y)² =
(0,3x – 1,5y)² =
3.) (x − 2)2 + (x + 5)2 = 2x2 + 6x + 29
(2x − 3z)(2x + 3z) − (3x − 4z)2 = − 5x2 + 24xz − 25z2
(3x − 2)2 + (4x + 5)2 = 25x2 + 28x + 29
(3,5x2 + 3x)2 − (2,5x2 − 2x)2 = 6x4 + 31x3 + 5x2
(2x + 5)2 + (3x − 6)2= 13x2 −16x + 61
(2x − 4z)2 − (2x + 4z)2 = − 32xz
(x + 3)2 − (x − 4)2 − (x + 2)2 = − x2 +10x − 29
(x − 7)2 + (x + 6)2 − (x −12)2 = x2 +10x − 59
(2x +1)2 + (3x − 2)2 − (4x + 5)2= − 3x2 − 48x − 20
(3x − 5)2 − (5x − 3)2 − (4x −1)2 = − 32x2 + 8x +15 15x2 − (2x + 4)2 + (3x − 7)2 = 20x2 − 36x + 33 3x2 +[(2x − 6)(2x + 6) − (2x − 6)2 ] = 3x2 + 24x − 72
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1. Binomische Formel Lösungen Station 1
1. Übungsaufgaben::
1.) ( x + 1 )2 = x2 + 2x + 1
2.) ( x + 8 )2 = x2 + 16x + 64
3.) ( x + 9 )2 = x2 + 18x + 81
4.) ( a + 4 )2 = a2 + 8a + 16
5.) ( a + 5 )2 = a2 + 10a + 25
6.) ( x + y )2 = x2 + 2xy + y2
7.) ( u + v )2 = u2 + 2uv + v2
2. Binomische Formel Lösungen Station 2
1. Übungsaufgaben:
1.) ( x - 8 )2 = x2 – 16x + 64
2.) ( x - 9 )2 = x2 – 18x + 81
3.) ( x - y )2 = x2 – 2xy + y2
4.) ( u - v )2 = u2 – 2uv + v2
5.) ( a - 4 )2 = a2 – 8a + 16
6.) ( a - 5 )2 = a2 – 10a + 25
7.) ( x - 1 )2 = x2 – 2x + 1
3. Binomische Formel Lösungen Station 3
1. Übungsaufgaben:
1.) ( a + 4 ) • ( a - 4 ) = a2 – 16
2.) ( a + 5 ) • ( a - 5 ) = a2 – 25
3.) ( x + 1 ) • ( x - 1 ) = x2 – 1
4.) ( x + 8 ) • ( x - 8 ) = x2 – 64
5.) ( x + 9 ) • ( x - 9 ) = x2 – 81
6.) ( x + y ) • ( x - y ) = x2 – y2
7.) ( u + v ) • ( u - v ) = u2 – v2
Binomische Formel Lösungen Station 4
1. (-0,5x – 6y)² = 0,25x² + 6xy + 36y²
2. (3x + 2y)² = 9x² + 12xy + 4y²
3. (0,3x – 1,5y)² = 0,09x² - 0,9xy + 2,25y²
1. Binomische Formel Lösungen Station 1
1. Übungsaufgaben::
1.) ( x + 1 )2 = x2 + 2x + 1
2.) ( x + 8 )2 = x2 + 16x + 64
3.) ( x + 9 )2 = x2 + 18x + 81
4.) ( a + 4 )2 = a2 + 8a + 16
5.) ( a + 5 )2 = a2 + 10a + 25
6.) ( x + y )2 = x2 + 2xy + y2
7.) ( u + v )2 = u2 + 2uv + v2
2. Binomische Formel Lösungen Station 2
1. Übungsaufgaben:
1.) ( x - 8 )2 = x2 – 16x + 64
2.) ( x - 9 )2 = x2 – 18x + 81
3.) ( x - y )2 = x2 – 2xy + y2
4.) ( u - v )2 = u2 – 2uv + v2
5.) ( a - 4 )2 = a2 – 8a + 16
6.) ( a - 5 )2 = a2 – 10a + 25
7.) ( x - 1 )2 = x2 – 2x + 1
3. Binomische Formel Lösungen Station 3
1. Übungsaufgaben:
1.) ( a + 4 ) • ( a - 4 ) = a2 – 16
2.) ( a + 5 ) • ( a - 5 ) = a2 – 25
3.) ( x + 1 ) • ( x - 1 ) = x2 – 1
4.) ( x + 8 ) • ( x - 8 ) = x2 – 64
5.) ( x + 9 ) • ( x - 9 ) = x2 – 81
6.) ( x + y ) • ( x - y ) = x2 – y2
7.) ( u + v ) • ( u - v ) = u2 – v2
Binomische Formel Lösungen Station 4
1. (-0,5x – 6y)² = 0,25x² + 6xy + 36y²
2. (3x + 2y)² = 9x² + 12xy + 4y²
3. (0,3x – 1,5y)² = 0,09x² - 0,9xy + 2,25y²
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4. (1,2a + 0,6d)² = 1,44a² + 1,44ad + 0,36d²
5. 3(x – 2)² = 3∙(x² - 4x + 4) = 3x² - 12x + 12
6. (xy² + z)² = (xy²)² + 2∙xy²∙z + z² = x²y4 + 2xy²z + z²
7. (e + f)² + (e-f)² = (e² + 2ef + f²) + (e² - 2ef + f²) = 2e²+2f² = 2(e² + f²)
8. (a + b)² - (a-b)² = (a²+ 2ab+ b²) – (a²-2ab+b²) = a²+2ab+b²-a²+2ab-b²=4ab
9. (2x – 5)² = 4x² - 20x + 25
10. (1 – 5x)² = 25x² - 10x + 1
11. (-0,5x – 1)² = 0,25x² + x + 1
12. (-x + 0,5)² = x² - x + 0,25
13. (-4x + 1,5y)² = 16x² - 12xy + 2,25y²
1. Löse die Klammern auf und fasse soweit wie möglich zusammen!
(x+6)(x-6) = x² - 6x + 6x - 36 = x² - 36
(z+4)(z-4) = z² - 4z + 4z - 16 = z² - 16
(r+8)(r-8) = r² - 8r + 8r - 64 = r² - 64
2. Was fällt dir auf?
Die quadrierten Terme bleiben übrig. Die Terme in der Mitte fallen weg. Es gibt
wieder ein Muster
3. Versuche eine allgemeine Formel zu finden!
3. Binomische Formel: (a+b) (a-b) = a² - b²
Binomische Formel Lösungen Station 5
1. Besetze die Platzhalter
(3x + 7)2 = 9x2 + 42x + 49 (3a + 5 )(3a - 5 ) = 9a2 - 25
(6y - 4 )2 = 36y2 - 48y + 16 (7a - 3b)(7a - 3b ) = 49a4 - 9b2
(2x + 8 )2 = 4x2 + 32x + 64 (2d + 3c )(2d - 3c ) = - 9c2 + 4d2
(9x + 10 )2 = 81x2 + 180x + 100 (10p3 + 6 )(6 - 10p3 ) = 36 - 100p6
(6x2 - 2x )2 = 36x4 -24x2+ 4x2 (4ab - 5a2b3c )2=16a2b2-40a3b4c + 25a4b6c2
(5a - 13 )2 = 25a2-130a+169 (0,5x2 + 0,2y2 )2=0,25x4+0,2x2y2 + 0,04y4
2. Aufgaben :
(a+2b)(a-2b) = a2 - 4b2 (3-6a)2 = 9 - 36a + 36a2
(2a - 3b)2 = 4a2 - 12ab + 9b2 (2-0,3x)2 = 4 - 1,2x + 0,09x2
(5a-14b2 )2= 25a2 - 140ab2 + 196b4
(6a+5)(-5-6a)2 = - (6a + 5 ) ( 6a + 5 ) = - ( 6a + 5 )2 = - 36a2 - 60a - 25
(y+5)2 = y2 + 10y + 25 (0,2a-0,5)2 = 0,04a2 - 0,2a + 0,25
(x-12)2 = x2 - 24x + 144 (x-9)(x+9) = x2 - 81
(a+3)(a-3) = a2 - 9 (1,5x+0,5y)(1,5x-0,5y) = 2,25x2-0,25y2
(x+1)2 = x2 + 2x + 1 (4a+5)2 = 16a2 + 40a + 25
(x-y)2 = x2 - 2xy + y2 (0,1a+0,4b)2 = 0,01a2+0,08ab + 0,16b2
( 1/3 x + 2/7 y )(1/3 x - 2/7y ) = 1/9 x2 - 4/49 y2
4. (1,2a + 0,6d)² = 1,44a² + 1,44ad + 0,36d²
5. 3(x – 2)² = 3∙(x² - 4x + 4) = 3x² - 12x + 12
6. (xy² + z)² = (xy²)² + 2∙xy²∙z + z² = x²y4 + 2xy²z + z²
7. (e + f)² + (e-f)² = (e² + 2ef + f²) + (e² - 2ef + f²) = 2e²+2f² = 2(e² + f²)
8. (a + b)² - (a-b)² = (a²+ 2ab+ b²) – (a²-2ab+b²) = a²+2ab+b²-a²+2ab-b²=4ab
9. (2x – 5)² = 4x² - 20x + 25
10. (1 – 5x)² = 25x² - 10x + 1
11. (-0,5x – 1)² = 0,25x² + x + 1
12. (-x + 0,5)² = x² - x + 0,25
13. (-4x + 1,5y)² = 16x² - 12xy + 2,25y²
1. Löse die Klammern auf und fasse soweit wie möglich zusammen!
(x+6)(x-6) = x² - 6x + 6x - 36 = x² - 36
(z+4)(z-4) = z² - 4z + 4z - 16 = z² - 16
(r+8)(r-8) = r² - 8r + 8r - 64 = r² - 64
2. Was fällt dir auf?
Die quadrierten Terme bleiben übrig. Die Terme in der Mitte fallen weg. Es gibt
wieder ein Muster
3. Versuche eine allgemeine Formel zu finden!
3. Binomische Formel: (a+b) (a-b) = a² - b²
Binomische Formel Lösungen Station 5
1. Besetze die Platzhalter
(3x + 7)2 = 9x2 + 42x + 49 (3a + 5 )(3a - 5 ) = 9a2 - 25
(6y - 4 )2 = 36y2 - 48y + 16 (7a - 3b)(7a - 3b ) = 49a4 - 9b2
(2x + 8 )2 = 4x2 + 32x + 64 (2d + 3c )(2d - 3c ) = - 9c2 + 4d2
(9x + 10 )2 = 81x2 + 180x + 100 (10p3 + 6 )(6 - 10p3 ) = 36 - 100p6
(6x2 - 2x )2 = 36x4 -24x2+ 4x2 (4ab - 5a2b3c )2=16a2b2-40a3b4c + 25a4b6c2
(5a - 13 )2 = 25a2-130a+169 (0,5x2 + 0,2y2 )2=0,25x4+0,2x2y2 + 0,04y4
2. Aufgaben :
(a+2b)(a-2b) = a2 - 4b2 (3-6a)2 = 9 - 36a + 36a2
(2a - 3b)2 = 4a2 - 12ab + 9b2 (2-0,3x)2 = 4 - 1,2x + 0,09x2
(5a-14b2 )2= 25a2 - 140ab2 + 196b4
(6a+5)(-5-6a)2 = - (6a + 5 ) ( 6a + 5 ) = - ( 6a + 5 )2 = - 36a2 - 60a - 25
(y+5)2 = y2 + 10y + 25 (0,2a-0,5)2 = 0,04a2 - 0,2a + 0,25
(x-12)2 = x2 - 24x + 144 (x-9)(x+9) = x2 - 81
(a+3)(a-3) = a2 - 9 (1,5x+0,5y)(1,5x-0,5y) = 2,25x2-0,25y2
(x+1)2 = x2 + 2x + 1 (4a+5)2 = 16a2 + 40a + 25
(x-y)2 = x2 - 2xy + y2 (0,1a+0,4b)2 = 0,01a2+0,08ab + 0,16b2
( 1/3 x + 2/7 y )(1/3 x - 2/7y ) = 1/9 x2 - 4/49 y2
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3. Umkehrung der binomischen Formel
9 + 12x + 4x2 = ( 3 + 2x )2 64ux2 - 96ux + 36u = u ( 8x + 6 )2
x2+14sy+49y2 =(x+7y)2 25a3 + 40a2 + 16a = a ( 5a + 4 )2
4a2-20ab+25b2 =(2a-5b)2 162-½b2 = ½ ( 324 - b2) = ½ ( 18+b)(18-b)
196b8-324a6=(14b4-18a3)(14b4+18a3 )
0,81q2 - 2,16pq+1,44p2 = (0,9q - 1,2p)2
a2 - 6ab + 9b2 = ( a - 3b )2 9a2 - 25 = ( 3a - 5 ) ( 3a + 5 )
4x2 + 4xy + y2 = ( 2x + y )2 144x2 - 120xy +25y2 = ( 12x - 5y )2
4a2 - 12ab + 9b2 = ( 2a - 3b)2 x2 - 49 = (x+7)(x-7)
4. Zusammen gesetzte Terme
a: ( u - 3v )2 + ( v + 2u )2 = u2 - 6uv + 9v2 + v2 + 4uv + 4u2 = 5u2 - 2uv + 10v2
b: (a-½ b)2 + (¼b+3a )2 = a2- ab+ ¼ b2+1/16 b2 + 3/2 ab+9a2 = 10a2+½ ab+5/16 b2
c: (x+3) (x-3)-(2x+7)2 + (-x-1)2=x2-9-4x2-28x-49+x2+2x+1 = -2x2 - 26x -57
d: (5p + 3r )2 - ( 4p-2r)( 4p + 2r ) = 25p2+ 30pr+ 9r2-16p2+ 4r2 = 9p2+30pr+13r2
Binomische Formel Lösungen Station 6
1.) (2x – 5)² = 4x² – 20x + 25
(5 + 2x)² = 25 + 20x + 4x²
(1 – 5x)² = 1 – 10x + 25x²
(2x – 0,5)(2x + 0,5) = 4x² – 0,25
(-0,5x + 1)² = (1 – 0,5x)² = 1 – x + 0,25x²
(-0,5x – 1)² = [(-1)(0,5x + 1)]² = (-1)²(0,5x + 1)² = 0,25x² + x + 1
(0,5x + 2)(0,5x – 2) = 0,25x² – 4
(-x – 0,5)² = [(-1)(x + 0,5)]² = (-1)²(x + 0,5)² = x² + x + 0,25
2.) (19x + 15y)(15y – 19x) = (15y + 19x)(15y – 19x) = 225y² – 361x²
(-4x + 1,5y)² = (1,5y – 4x)² = 2,25y² - 12xy + 16x²
(-0,5x – 6y)² = [(-1)(0,5x + 6y)]² = (-1)²(0,5x + 6y)² = 0,25x² + 6xy + 36y²
3(x – 2)² = 3(x² – 4x + 4) = 3x² – 12x + 12
-x(x + 1)² = -x(x² + 2x + 1) = -x³ – 2x² – x
2x(2 – x)² = 2x(4 – 4x + x²) = 8x – 8x² + 2x³
(3x + 2y)² = 9x² + 12xy + 4y²
(0,3x – 1,5y)² = 0,09x² – 0,9xy + 2,25y²
3.) (x − 2)2 + (x + 5)2 = 2x2 + 6x + 29
(2x − 3z)(2x + 3z) − (3x − 4z)2 = − 5x2 + 24xz − 25z2
(3x − 2)2 + (4x + 5)2 = 25x2 + 28x + 29
(3,5x2 + 3x)2 − (2,5x2 − 2x)2 = 6x4 + 31x3 + 5x2
(2x + 5)2 + (3x − 6)2= 13x2 −16x + 61
(2x − 4z)2 − (2x + 4z)2 = − 32xz
(x + 3)2 − (x − 4)2 − (x + 2)2 = − x2 +10x − 29
(x − 7)2 + (x + 6)2 − (x −12)2 = x2 +10x − 59
(2x +1)2 + (3x − 2)2 − (4x + 5)2= − 3x2 − 48x − 20
(3x − 5)2 − (5x − 3)2 − (4x −1)2 = − 32x2 + 8x +15
3. Umkehrung der binomischen Formel
9 + 12x + 4x2 = ( 3 + 2x )2 64ux2 - 96ux + 36u = u ( 8x + 6 )2
x2+14sy+49y2 =(x+7y)2 25a3 + 40a2 + 16a = a ( 5a + 4 )2
4a2-20ab+25b2 =(2a-5b)2 162-½b2 = ½ ( 324 - b2) = ½ ( 18+b)(18-b)
196b8-324a6=(14b4-18a3)(14b4+18a3 )
0,81q2 - 2,16pq+1,44p2 = (0,9q - 1,2p)2
a2 - 6ab + 9b2 = ( a - 3b )2 9a2 - 25 = ( 3a - 5 ) ( 3a + 5 )
4x2 + 4xy + y2 = ( 2x + y )2 144x2 - 120xy +25y2 = ( 12x - 5y )2
4a2 - 12ab + 9b2 = ( 2a - 3b)2 x2 - 49 = (x+7)(x-7)
4. Zusammen gesetzte Terme
a: ( u - 3v )2 + ( v + 2u )2 = u2 - 6uv + 9v2 + v2 + 4uv + 4u2 = 5u2 - 2uv + 10v2
b: (a-½ b)2 + (¼b+3a )2 = a2- ab+ ¼ b2+1/16 b2 + 3/2 ab+9a2 = 10a2+½ ab+5/16 b2
c: (x+3) (x-3)-(2x+7)2 + (-x-1)2=x2-9-4x2-28x-49+x2+2x+1 = -2x2 - 26x -57
d: (5p + 3r )2 - ( 4p-2r)( 4p + 2r ) = 25p2+ 30pr+ 9r2-16p2+ 4r2 = 9p2+30pr+13r2
Binomische Formel Lösungen Station 6
1.) (2x – 5)² = 4x² – 20x + 25
(5 + 2x)² = 25 + 20x + 4x²
(1 – 5x)² = 1 – 10x + 25x²
(2x – 0,5)(2x + 0,5) = 4x² – 0,25
(-0,5x + 1)² = (1 – 0,5x)² = 1 – x + 0,25x²
(-0,5x – 1)² = [(-1)(0,5x + 1)]² = (-1)²(0,5x + 1)² = 0,25x² + x + 1
(0,5x + 2)(0,5x – 2) = 0,25x² – 4
(-x – 0,5)² = [(-1)(x + 0,5)]² = (-1)²(x + 0,5)² = x² + x + 0,25
2.) (19x + 15y)(15y – 19x) = (15y + 19x)(15y – 19x) = 225y² – 361x²
(-4x + 1,5y)² = (1,5y – 4x)² = 2,25y² - 12xy + 16x²
(-0,5x – 6y)² = [(-1)(0,5x + 6y)]² = (-1)²(0,5x + 6y)² = 0,25x² + 6xy + 36y²
3(x – 2)² = 3(x² – 4x + 4) = 3x² – 12x + 12
-x(x + 1)² = -x(x² + 2x + 1) = -x³ – 2x² – x
2x(2 – x)² = 2x(4 – 4x + x²) = 8x – 8x² + 2x³
(3x + 2y)² = 9x² + 12xy + 4y²
(0,3x – 1,5y)² = 0,09x² – 0,9xy + 2,25y²
3.) (x − 2)2 + (x + 5)2 = 2x2 + 6x + 29
(2x − 3z)(2x + 3z) − (3x − 4z)2 = − 5x2 + 24xz − 25z2
(3x − 2)2 + (4x + 5)2 = 25x2 + 28x + 29
(3,5x2 + 3x)2 − (2,5x2 − 2x)2 = 6x4 + 31x3 + 5x2
(2x + 5)2 + (3x − 6)2= 13x2 −16x + 61
(2x − 4z)2 − (2x + 4z)2 = − 32xz
(x + 3)2 − (x − 4)2 − (x + 2)2 = − x2 +10x − 29
(x − 7)2 + (x + 6)2 − (x −12)2 = x2 +10x − 59
(2x +1)2 + (3x − 2)2 − (4x + 5)2= − 3x2 − 48x − 20
(3x − 5)2 − (5x − 3)2 − (4x −1)2 = − 32x2 + 8x +15
