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3. Mathearbeit Klasse 8
Rechenterme (erstellen und umformen) und binomische Formeln
1. Vereinfache die folgenden Terme:
a) 6a – 5b + (-3a) – (7b – 2a) = ______________________________________
b) 5x + 3 • (6 – x) = ________________________________________________
c) (-2) • (4x – 5y) – 3 • (3y – 2x) = ____________________________________
d) (x + 3) • (4x – 2) = _______________________________________________
2. Löse die folgenden Formeln nach a auf (a > 0):
a) A = a • b + 2 __________________________________________________
b) A = 4a2 - 9 ___________________________________________________
3. Für die folgende Aufgabe darfst du in der untenstehenden Figur zusätzliche
Seitenlängen beschriften.
a) Bestimme eine Formel für den Umfang der untenstehenden Fläche.
______________________________________________________________
b) Bestimme eine Formel für den Flächeninhalt A der Fläche. (zur Kontrolle:
A = a • b + 4a - 20)
______________________________________________________________
c) Berechne die Fläche für a = 9 cm und b = 6 cm.
_______________________________________________________________
d) Es sei nun A = 100 cm2. Berechne die Länge von a, wenn b = 7 cm ist.
_______________________________________________________________
b
b + 4
5
__________
a – 5
a - 5 5
3. Mathearbeit Klasse 8
Rechenterme (erstellen und umformen) und binomische Formeln
1. Vereinfache die folgenden Terme:
a) 6a – 5b + (-3a) – (7b – 2a) = ______________________________________
b) 5x + 3 • (6 – x) = ________________________________________________
c) (-2) • (4x – 5y) – 3 • (3y – 2x) = ____________________________________
d) (x + 3) • (4x – 2) = _______________________________________________
2. Löse die folgenden Formeln nach a auf (a > 0):
a) A = a • b + 2 __________________________________________________
b) A = 4a2 - 9 ___________________________________________________
3. Für die folgende Aufgabe darfst du in der untenstehenden Figur zusätzliche
Seitenlängen beschriften.
a) Bestimme eine Formel für den Umfang der untenstehenden Fläche.
______________________________________________________________
b) Bestimme eine Formel für den Flächeninhalt A der Fläche. (zur Kontrolle:
A = a • b + 4a - 20)
______________________________________________________________
c) Berechne die Fläche für a = 9 cm und b = 6 cm.
_______________________________________________________________
d) Es sei nun A = 100 cm2. Berechne die Länge von a, wenn b = 7 cm ist.
_______________________________________________________________
b
b + 4
5
__________
a – 5
a - 5 5
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4. Vereinfache mit Hilfe der binomischen Formeln.
a) (x + 6)2 ________________________________________________
b) (3 – 4x)2 ________________________________________________
c) (3a + 2b) • (3a – 2b) __________________________________________
d) (x + 4)2 - (x2 + 42) ___________________________________________
e) (5x – 3)2 - (4x – 6) • (4x + 6) _______________________________________
5. Verwende die binomischen Formeln und löse die folgende Gleichung:
(x + 4)2 = (x + 6) • (x – 6)
_________________________________________________________________
6. Verwandele – z.B. durch Ausklammern – so weit wie möglich in ein Produkt.
a) 9x + 9y ________________________________________________
b) a2 - 9 ________________________________________________
c) 16x2 - 49y2 ________________________________________________
d) 24x + 56xy ________________________________________________
e) a2 - 4a ________________________________________________
f) b2 - 18bd + 81d2 ________________________________________________
7. Die Stadt möchte ein Parkhaus bauen, das u.a. auf dem quadratischen
Grundstück der Familie Hinz-und-Kunz stehen soll. Deshalb bietet sie der Familie
einen Tausch an. Für das quadratische Grundstück bietet sie einen rechteckigen
Bauplatz an, der zwar 3 m kürzer, aber dafür auch 3 m breiter als der bisherige
Bauplatz ist.
Ist dieser Tausch für die Familie Hinz-und-Kunz günstig?
Begründe durch Rechnung.
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
8. Berechne mit Hilfe der binomischen Formeln.
a) 87 • 93 ______________________________________________________
b) 1042 ______________________________________________________
Viel Glück!
4. Vereinfache mit Hilfe der binomischen Formeln.
a) (x + 6)2 ________________________________________________
b) (3 – 4x)2 ________________________________________________
c) (3a + 2b) • (3a – 2b) __________________________________________
d) (x + 4)2 - (x2 + 42) ___________________________________________
e) (5x – 3)2 - (4x – 6) • (4x + 6) _______________________________________
5. Verwende die binomischen Formeln und löse die folgende Gleichung:
(x + 4)2 = (x + 6) • (x – 6)
_________________________________________________________________
6. Verwandele – z.B. durch Ausklammern – so weit wie möglich in ein Produkt.
a) 9x + 9y ________________________________________________
b) a2 - 9 ________________________________________________
c) 16x2 - 49y2 ________________________________________________
d) 24x + 56xy ________________________________________________
e) a2 - 4a ________________________________________________
f) b2 - 18bd + 81d2 ________________________________________________
7. Die Stadt möchte ein Parkhaus bauen, das u.a. auf dem quadratischen
Grundstück der Familie Hinz-und-Kunz stehen soll. Deshalb bietet sie der Familie
einen Tausch an. Für das quadratische Grundstück bietet sie einen rechteckigen
Bauplatz an, der zwar 3 m kürzer, aber dafür auch 3 m breiter als der bisherige
Bauplatz ist.
Ist dieser Tausch für die Familie Hinz-und-Kunz günstig?
Begründe durch Rechnung.
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
8. Berechne mit Hilfe der binomischen Formeln.
a) 87 • 93 ______________________________________________________
b) 1042 ______________________________________________________
Viel Glück!
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LÖSUNGEN
3. Mathearbeit Klasse 8, Gymnasium G8, NRW
„Rechenterme (erstellen und umformen) und binomische Formeln“
1. Vereinfache die folgenden Terme:
a) 6a – 5b + (-3a) – (7b – 2a) = 6a – 5b – 3a – 7b + 2a = 5a – 12b
b) 5x + 3 • (6 – x) = 5x + 18 – 3x = 2x + 18
c) (-2) • (4x – 5y) – 3 • (3y – 2x) = -8x + 10y – 9y + 6x = -2x + y
d) (x + 3) • (4x – 2) = 4x2 + (-2)x + 12x – 6 = 4x2 + 10x – 6
2. Löse die folgenden Formeln nach a auf (a > 0):
a) A = a • b + 2 | - 2
A – 2 = a • b | : b
a= A−2
b
b) A = 4a2 - 9 | + 9
A + 9 = 4a2 | : 4
𝐴+9
4 = a2 | √
a=√A+9
4
3. Für die folgende Aufgabe darfst du in der Figur zusätzliche Seitenlängen
beschriften.
a) Bestimme eine Formel für den Umfang der untenstehenden Fläche.
Fehlende Länge oben (waagrecht): a – 5 + 5 = a
Fehlende Länge rechts unten (senkrecht): b + 4 – b = 4
U = a + b + 5 + 4 + (a – 5) + b + 4 = 2a + 2b + 8
b) Bestimme eine Formel für den Flächeninhalt A der Fläche.
(zur Kontrolle: A = a • b + 4a - 20)
A = (a – 5) (b + 4) + 5 • b = ab – 5b + 4a – 20 + 5b = 4a + ab – 20
c) Berechne die Fläche für a = 9 cm und b = 6 cm.
A = 4 • 9 + 9 • 6 – 20
A = 36 + 72 – 20 = 90 – 20 A = 70 cm2
d) Es sei nun A = 100 cm2. Berechne die Länge von a, wenn b = 7 cm ist.
A = 4a + ab – 20
100 = 4a + 7a – 20 | + 20
120 = 11a | : 11
a= 120
11 =10 10
11 cm
a
b
b + 4
5
4
a – 5
a - 5 5
LÖSUNGEN
3. Mathearbeit Klasse 8, Gymnasium G8, NRW
„Rechenterme (erstellen und umformen) und binomische Formeln“
1. Vereinfache die folgenden Terme:
a) 6a – 5b + (-3a) – (7b – 2a) = 6a – 5b – 3a – 7b + 2a = 5a – 12b
b) 5x + 3 • (6 – x) = 5x + 18 – 3x = 2x + 18
c) (-2) • (4x – 5y) – 3 • (3y – 2x) = -8x + 10y – 9y + 6x = -2x + y
d) (x + 3) • (4x – 2) = 4x2 + (-2)x + 12x – 6 = 4x2 + 10x – 6
2. Löse die folgenden Formeln nach a auf (a > 0):
a) A = a • b + 2 | - 2
A – 2 = a • b | : b
a= A−2
b
b) A = 4a2 - 9 | + 9
A + 9 = 4a2 | : 4
𝐴+9
4 = a2 | √
a=√A+9
4
3. Für die folgende Aufgabe darfst du in der Figur zusätzliche Seitenlängen
beschriften.
a) Bestimme eine Formel für den Umfang der untenstehenden Fläche.
Fehlende Länge oben (waagrecht): a – 5 + 5 = a
Fehlende Länge rechts unten (senkrecht): b + 4 – b = 4
U = a + b + 5 + 4 + (a – 5) + b + 4 = 2a + 2b + 8
b) Bestimme eine Formel für den Flächeninhalt A der Fläche.
(zur Kontrolle: A = a • b + 4a - 20)
A = (a – 5) (b + 4) + 5 • b = ab – 5b + 4a – 20 + 5b = 4a + ab – 20
c) Berechne die Fläche für a = 9 cm und b = 6 cm.
A = 4 • 9 + 9 • 6 – 20
A = 36 + 72 – 20 = 90 – 20 A = 70 cm2
d) Es sei nun A = 100 cm2. Berechne die Länge von a, wenn b = 7 cm ist.
A = 4a + ab – 20
100 = 4a + 7a – 20 | + 20
120 = 11a | : 11
a= 120
11 =10 10
11 cm
a
b
b + 4
5
4
a – 5
a - 5 5
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4. Vereinfache mit Hilfe der binomischen Formeln.
a) (x + 6)2 = x2 + 2 • 6 • x + 62 = x2 + 12x + 36
b) (3 – 4x)2 = 32 - 2 • 4x • 3 + (4x)2 = 9 – 24x + 16x2 = 16x2 - 24x + 9
c) (3a + 2b) • (3a – 2b) = 9a2 - 4b2
d) (x + 4)2 - (x2 + 42) = x2 + 8x + 16 – x2 – 16 = 8x
e) (5x – 3)2 - (4x – 6) • (4x + 6) = 25x2 – 30x + 9 – (16x2 – 36)
= 25x2 – 30x + 9 – 16x2 + 36 = 9x2 - 30x + 45
5. Verwende die binomischen Formeln und löse die folgende Gleichung:
(x + 4)2 = (x + 6) • (x – 6)
x2 + 8x + 16 = x2 – 36 | - x2
8x + 16 = -36 | - 16
8x = - 52 | : 8
x = - 6,5
6. Verwandele – z.B. durch Ausklammern – so weit wie möglich in ein Produkt.
a) 9x + 9y = 9 • (x + y)
b) a2 - 9 = (a + 3) • (a – 3)
c) 16x2 - 49y2 = (4x + 7y) • (4x – 7y)
d) 24x + 56xy = 8x • (3 + 7y)
e) a2 - 4a = a • (a – 4)
f) b2 - 18bd + 81d2 = (b – 9d)2 = (b – 9d) • (b – 9d)
7. Die Stadt möchte ein Parkhaus bauen, das u.a. auf dem quadratischen
Grundstück der Familie Hinz-und-Kunz stehen soll. Deshalb bietet sie der Familie
einen Tausch an. Für das quadratische Grundstück bietet sie einen rechteckigen
Bauplatz an, der zwar 3 m kürzer, aber dafür auch 3 m breiter als der bisherige
Bauplatz ist.
Ist dieser Tausch für die Familie Hinz-und-Kunz günstig?
Begründe durch Rechnung.
A1 = a • a = a2
A2 = (a + 3) • (a – 3) = a2 - 9 < a2
Antwort: Das Grundstück wäre 9 m2 kleiner. Es wäre ein schlechter Tausch.
8. Berechne mit Hilfe der binomischen Formeln.
a) 87 • 93 = ( 90 – 3) • (90 + 3) = 8.100 – 9 = 8.091
b) 1042 = (100 + 4)2 = 100 • 100 + 2 • 4 • 100 + 4 • 4
= 10.000 + 800 + 16 = 10.816
4. Vereinfache mit Hilfe der binomischen Formeln.
a) (x + 6)2 = x2 + 2 • 6 • x + 62 = x2 + 12x + 36
b) (3 – 4x)2 = 32 - 2 • 4x • 3 + (4x)2 = 9 – 24x + 16x2 = 16x2 - 24x + 9
c) (3a + 2b) • (3a – 2b) = 9a2 - 4b2
d) (x + 4)2 - (x2 + 42) = x2 + 8x + 16 – x2 – 16 = 8x
e) (5x – 3)2 - (4x – 6) • (4x + 6) = 25x2 – 30x + 9 – (16x2 – 36)
= 25x2 – 30x + 9 – 16x2 + 36 = 9x2 - 30x + 45
5. Verwende die binomischen Formeln und löse die folgende Gleichung:
(x + 4)2 = (x + 6) • (x – 6)
x2 + 8x + 16 = x2 – 36 | - x2
8x + 16 = -36 | - 16
8x = - 52 | : 8
x = - 6,5
6. Verwandele – z.B. durch Ausklammern – so weit wie möglich in ein Produkt.
a) 9x + 9y = 9 • (x + y)
b) a2 - 9 = (a + 3) • (a – 3)
c) 16x2 - 49y2 = (4x + 7y) • (4x – 7y)
d) 24x + 56xy = 8x • (3 + 7y)
e) a2 - 4a = a • (a – 4)
f) b2 - 18bd + 81d2 = (b – 9d)2 = (b – 9d) • (b – 9d)
7. Die Stadt möchte ein Parkhaus bauen, das u.a. auf dem quadratischen
Grundstück der Familie Hinz-und-Kunz stehen soll. Deshalb bietet sie der Familie
einen Tausch an. Für das quadratische Grundstück bietet sie einen rechteckigen
Bauplatz an, der zwar 3 m kürzer, aber dafür auch 3 m breiter als der bisherige
Bauplatz ist.
Ist dieser Tausch für die Familie Hinz-und-Kunz günstig?
Begründe durch Rechnung.
A1 = a • a = a2
A2 = (a + 3) • (a – 3) = a2 - 9 < a2
Antwort: Das Grundstück wäre 9 m2 kleiner. Es wäre ein schlechter Tausch.
8. Berechne mit Hilfe der binomischen Formeln.
a) 87 • 93 = ( 90 – 3) • (90 + 3) = 8.100 – 9 = 8.091
b) 1042 = (100 + 4)2 = 100 • 100 + 2 • 4 • 100 + 4 • 4
= 10.000 + 800 + 16 = 10.816
