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Klasse 6 – Gymnasium Seite 1
Thema: Teilbarkeit natürlicher Zahlen, Teilermenge, Vielfachmenge,
Teilbarkeitsregeln, Primzahlen, Primfaktorzerlegung, ggT und kgV
1) Wann sind Zahlen teilerfremd? Gib dazu ein Beispiel an!
2) Setze das richtige Zeichen ein: | ; | ; ε ; ε .
0 T10 1 V8
9 666 24 T12
a V2 • a b Tb
8 1062 30 10
3 a) Überprüfe durch Zerlegen in Summanden: 16 | 48064 .
b) Setze in die Lücke eine Ziffer passend ein, sodass die Zahl durch 4 teilbar
ist: 6_6.
4) Prüfe, ob die folgende Zahl durch 2, 3, 4,5,6,8,9,10 teilbar ist:
3 745 300.
5) Bestimme die ersten 5 Elemente von V18 !
6) Bestimme alle Elemente von T105 !
7) Bestimme durch Primfaktorenzerlegung
a) kgV (150 ; 225)
b) kgV (28 ; 210 ; 60)
c) ggT (300 ; 630)
d) ggT (144 ; 252 ; 660)
8) Ein Fahrrad hat an den Pedalen ein Kettenrad mit 42 Zähnen und an der
Hinterachse eines mit 18 Zähnen. Nach wie viel Umdrehungen der Pedale
haben beide Kettenräder wieder dieselbe Position erreicht?
9) Der Fußboden eines Badezimmers ist 4m lang und 2,80m breit.
Der Besitzer möchte möglichst große quadratische Fliesen legen.
Welche Kantenlänge wählt er?
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Thema: Teilbarkeit natürlicher Zahlen, Teilermenge, Vielfachmenge,
Teilbarkeitsregeln, Primzahlen, Primfaktorzerlegung, ggT und kgV
1) Wann sind Zahlen teilerfremd? Gib dazu ein Beispiel an!
2) Setze das richtige Zeichen ein: | ; | ; ε ; ε .
0 T10 1 V8
9 666 24 T12
a V2 • a b Tb
8 1062 30 10
3 a) Überprüfe durch Zerlegen in Summanden: 16 | 48064 .
b) Setze in die Lücke eine Ziffer passend ein, sodass die Zahl durch 4 teilbar
ist: 6_6.
4) Prüfe, ob die folgende Zahl durch 2, 3, 4,5,6,8,9,10 teilbar ist:
3 745 300.
5) Bestimme die ersten 5 Elemente von V18 !
6) Bestimme alle Elemente von T105 !
7) Bestimme durch Primfaktorenzerlegung
a) kgV (150 ; 225)
b) kgV (28 ; 210 ; 60)
c) ggT (300 ; 630)
d) ggT (144 ; 252 ; 660)
8) Ein Fahrrad hat an den Pedalen ein Kettenrad mit 42 Zähnen und an der
Hinterachse eines mit 18 Zähnen. Nach wie viel Umdrehungen der Pedale
haben beide Kettenräder wieder dieselbe Position erreicht?
9) Der Fußboden eines Badezimmers ist 4m lang und 2,80m breit.
Der Besitzer möchte möglichst große quadratische Fliesen legen.
Welche Kantenlänge wählt er?
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Thema: Teilbarkeit natürlicher Zahlen, Teilermenge, Vielfachmenge,
Teilbarkeitsregeln, Primzahlen, Primfaktorzerlegung, ggT und kgV
1) Prüfe, ob die Aussage wahr (w) oder falsch (f) ist.
4 | 82 8 ε 168
3 ε T444 4 | 66
16 | 90 12 ε T660
14 ε T70 9 | 117
2) Überprüfe durch Zerlegen in Summanden: 17 | 5134 .
3) Setze in die Lücke eine Ziffer passend ein, sodass die Zahl durch 9 teilbar
ist: 4__5 9.
4) Prüfe, ob die folgende Zahl durch (2, 3, ...,15) teilbar ist:
69132 .
5) Bestimme die fehlenden Zahlen für :
T = {1,4,12, }
T = {1, , , 131}
T = { , , , , ,188}
V = { , 26 , 39 , , ,...}
V = { , , , 28 , ,...}
V = { , , , 92 ,...}
6) Bestimme durch Primfaktorenzerlegung
a) ggT (2700 ; 408)
b) ggT (104 ; 390 ; 1300)
c) kgV (28, 462)
d) kgV (84 ; 196 ; 924)
7) Ein Anhänger ist 90 cm breit, 0,8m hoch und 12dm lang. Er soll mit
würfelförmigen Kisten vollgepackt werden. Welche Kantenlängen sind für die
Kisten möglich?
8) Drei Schüler trainieren für ein Schulfest. Für eine 400m Bahn braucht Sabine
72 Sekunden, Peter 60 Sekunden und Iris 90 Sekunden.
Wie viel Bahnen hat jeder zurückgelegt, wenn sie alle drei gemeinsam über
über die Start-Ziel-Linie laufen?
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Thema: Teilbarkeit natürlicher Zahlen, Teilermenge, Vielfachmenge,
Teilbarkeitsregeln, Primzahlen, Primfaktorzerlegung, ggT und kgV
1) Prüfe, ob die Aussage wahr (w) oder falsch (f) ist.
4 | 82 8 ε 168
3 ε T444 4 | 66
16 | 90 12 ε T660
14 ε T70 9 | 117
2) Überprüfe durch Zerlegen in Summanden: 17 | 5134 .
3) Setze in die Lücke eine Ziffer passend ein, sodass die Zahl durch 9 teilbar
ist: 4__5 9.
4) Prüfe, ob die folgende Zahl durch (2, 3, ...,15) teilbar ist:
69132 .
5) Bestimme die fehlenden Zahlen für :
T = {1,4,12, }
T = {1, , , 131}
T = { , , , , ,188}
V = { , 26 , 39 , , ,...}
V = { , , , 28 , ,...}
V = { , , , 92 ,...}
6) Bestimme durch Primfaktorenzerlegung
a) ggT (2700 ; 408)
b) ggT (104 ; 390 ; 1300)
c) kgV (28, 462)
d) kgV (84 ; 196 ; 924)
7) Ein Anhänger ist 90 cm breit, 0,8m hoch und 12dm lang. Er soll mit
würfelförmigen Kisten vollgepackt werden. Welche Kantenlängen sind für die
Kisten möglich?
8) Drei Schüler trainieren für ein Schulfest. Für eine 400m Bahn braucht Sabine
72 Sekunden, Peter 60 Sekunden und Iris 90 Sekunden.
Wie viel Bahnen hat jeder zurückgelegt, wenn sie alle drei gemeinsam über
über die Start-Ziel-Linie laufen?
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Thema: Teilbarkeit natürlicher Zahlen, Teilermenge, Vielfachmenge,
Teilbarkeitsregeln, Primzahlen, Primfaktorzerlegung, ggT und kgV
1) Prüfe, ob die Aussage wahr (w) oder falsch (f) ist.
7 ε 64 19 ε 190
9 / 333 8 | 92
18 | 324 3 ε T234
16 ε T256 6 | 96
2) Überprüfe durch Zerlegen in Summanden:
a) 9 | 2871
b) 12 | 60132 .
3) Setze in die Lücke eine Ziffer passend ein, sodass die Zahl durch 8 teilbar
ist: 2 1 1 __ .
4) Prüfe, ob die folgende Zahl durch (2, 3, ...,15) teilbar ist:
3806370 .
5) Bestimme die fehlenden Zahlen für :
T = { , , , , , 153}
T = {1, , , 221}
T = {1,21,42, }
V = { , 62 , 93 , , ,...}
V = { , , , 72 , ,...}
V = { , , , 152 ,...}
6) Bestimme durch Primfaktorenzerlegung
a) ggT (54 ; 176)
b) ggT (410 ; 730 ; 780)
c) kgV (320, 384)
d) kgV (224 ; 336 ; 420)
7) Familie Schmidt besitzt eine kleine Wiese und möchte es einzäunen.
Die Pfosten sollen möglichst auf allen Seiten den gleichen Abstand in vollen
Metern haben. Das Grundstück ist 42m lang und 18m breit.
a) Welche Abstände kommen in Betracht?
b) Welches ist der größtmögliche Abstand?
8) Zwei Hobby-Piloten beginnen ihre
Flüge am gleichen Tag vom gleichen
Flugplatz. Danach führt Pilot A jeden
sechzehnten Tag einen Flug aus und
Pilot B jeden vierundzwanzigsten
Tag.
Wann fliegen die beiden Piloten
wieder gleichzeitig?
FERTIG!!
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Thema: Teilbarkeit natürlicher Zahlen, Teilermenge, Vielfachmenge,
Teilbarkeitsregeln, Primzahlen, Primfaktorzerlegung, ggT und kgV
1) Prüfe, ob die Aussage wahr (w) oder falsch (f) ist.
7 ε 64 19 ε 190
9 / 333 8 | 92
18 | 324 3 ε T234
16 ε T256 6 | 96
2) Überprüfe durch Zerlegen in Summanden:
a) 9 | 2871
b) 12 | 60132 .
3) Setze in die Lücke eine Ziffer passend ein, sodass die Zahl durch 8 teilbar
ist: 2 1 1 __ .
4) Prüfe, ob die folgende Zahl durch (2, 3, ...,15) teilbar ist:
3806370 .
5) Bestimme die fehlenden Zahlen für :
T = { , , , , , 153}
T = {1, , , 221}
T = {1,21,42, }
V = { , 62 , 93 , , ,...}
V = { , , , 72 , ,...}
V = { , , , 152 ,...}
6) Bestimme durch Primfaktorenzerlegung
a) ggT (54 ; 176)
b) ggT (410 ; 730 ; 780)
c) kgV (320, 384)
d) kgV (224 ; 336 ; 420)
7) Familie Schmidt besitzt eine kleine Wiese und möchte es einzäunen.
Die Pfosten sollen möglichst auf allen Seiten den gleichen Abstand in vollen
Metern haben. Das Grundstück ist 42m lang und 18m breit.
a) Welche Abstände kommen in Betracht?
b) Welches ist der größtmögliche Abstand?
8) Zwei Hobby-Piloten beginnen ihre
Flüge am gleichen Tag vom gleichen
Flugplatz. Danach führt Pilot A jeden
sechzehnten Tag einen Flug aus und
Pilot B jeden vierundzwanzigsten
Tag.
Wann fliegen die beiden Piloten
wieder gleichzeitig?
FERTIG!!
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Klasse 6 – Gymnasium Lösung Seite 1
1) Wann sind Zahlen teilerfremd? Gib dazu ein Beispiel an!
Zahlen, die den größten gemeinsamen Teiler 1 haben, heißen zueinander
teilerfremd.
Beispiel : 15 und 49 oder 7 und 11 .
2) Setze das richtige Zeichen ein: | ; | ; ε ; ε .
0 ε T10 1 ε V8
9 | 666 24 ε T12
a ε V2 • a b ε Tb
8 | 1062 30 | 10
3 a) Überprüfe durch Zerlegen in Summanden: 16 | 48064 .
Zerlegung: 48000: 16 + 64:16 = 3000 + 4 = 3004
b) Setze in die Lücke eine Ziffer passend ein, sodass die Zahl durch 4 teilbar
ist: 6_6.
Antwort: Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre letzten 2 Stellen durch 4
teilbar sind.
616 oder 636 .
4) Prüfe, ob die folgende Zahl durch 2, 3, 4,5,6,8,9,10 teilbar ist:
3 745 300.
Antwort:
3 645 300 ist durch 2 teilbar, weil sie gerade ist, also ihre letzte Ziffer
(eine 2,4,6,8 oder 0) hier eine 0 ist.
3 645 300 ist durch 3 teilbar, weil ihre Quersumme, also die Summe all ihrer
Ziffern durch 3 teilbar ist: 3+6+4+5+3+0+0= 21 ; 21:3 =7 .
3 645 300 ist durch 4 teilbar, weil ihre letzten 2 Stellen durch 4, teilbar sind:
00 , also 0:4=0 .
3 645 300 ist durch 5 teilbar, weil ihre letzte Stelle eine 0 (0 oder 5) ist.
3 645 300 ist durch 6 teilbar, weil sie durch 2 und durch 3 teilbar ist, also weil
sie gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
3 645 300 ist nicht durch 8 teilbar, weil ihre letzten 3 Stellen nicht durch 8
teilbar sind: 300 :8 = 37 Rest 4 oder 37,5 .
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1) Wann sind Zahlen teilerfremd? Gib dazu ein Beispiel an!
Zahlen, die den größten gemeinsamen Teiler 1 haben, heißen zueinander
teilerfremd.
Beispiel : 15 und 49 oder 7 und 11 .
2) Setze das richtige Zeichen ein: | ; | ; ε ; ε .
0 ε T10 1 ε V8
9 | 666 24 ε T12
a ε V2 • a b ε Tb
8 | 1062 30 | 10
3 a) Überprüfe durch Zerlegen in Summanden: 16 | 48064 .
Zerlegung: 48000: 16 + 64:16 = 3000 + 4 = 3004
b) Setze in die Lücke eine Ziffer passend ein, sodass die Zahl durch 4 teilbar
ist: 6_6.
Antwort: Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre letzten 2 Stellen durch 4
teilbar sind.
616 oder 636 .
4) Prüfe, ob die folgende Zahl durch 2, 3, 4,5,6,8,9,10 teilbar ist:
3 745 300.
Antwort:
3 645 300 ist durch 2 teilbar, weil sie gerade ist, also ihre letzte Ziffer
(eine 2,4,6,8 oder 0) hier eine 0 ist.
3 645 300 ist durch 3 teilbar, weil ihre Quersumme, also die Summe all ihrer
Ziffern durch 3 teilbar ist: 3+6+4+5+3+0+0= 21 ; 21:3 =7 .
3 645 300 ist durch 4 teilbar, weil ihre letzten 2 Stellen durch 4, teilbar sind:
00 , also 0:4=0 .
3 645 300 ist durch 5 teilbar, weil ihre letzte Stelle eine 0 (0 oder 5) ist.
3 645 300 ist durch 6 teilbar, weil sie durch 2 und durch 3 teilbar ist, also weil
sie gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
3 645 300 ist nicht durch 8 teilbar, weil ihre letzten 3 Stellen nicht durch 8
teilbar sind: 300 :8 = 37 Rest 4 oder 37,5 .
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3 645 300 ist nicht durch 9 teilbar, weil ihre Quersumme, also die Summe all
ihrer Ziffern nicht durch 9 teilbar ist: 3+6+4+5+3+0+0= 21 ; 21:9 =2 Rest 3 .
3 645 300 ist durch 10 teilbar, weil ihre letzte Stelle eine 0 ist.
5) Bestimme die ersten 5 Elemente von V18 !
V18 = {18 , 36 , 54 , 72 , 90, ...}
6) Bestimme alle Elemente von T105 !
T105 = {1, 3, 5,7,15,21,35,105}
7) Bestimme durch Primfaktorenzerlegung
a) kgV (150 ; 225)
b) kgV (28 ; 210 ; 60)
c) ggT (420 ; 630)
d) ggT (144 ; 252 ; 660)
Lösung:
a) 150 = 2 • 3 • 5 • 5
225 = 3 • 3 • 5 • 5
kgV (130 ; 225) = 2 • 3 • 3 • 5 • 5 = 450
b) 28 = 2 • 2 • 7
210 = 2 • 3 • 5 • 7
60 = 2 • 2 • 3 • 5
kgV (28 ; 210 ; 60) = 2 • 2 • 3 • 5 • 7 = 420
c) 300 = 2 • 2 • 3 • 5 • 5
630 = 2 • 3 • 3 • 5 • 7
ggT (360 ; 630) = 2 • 3 • 5= 30
d) 144 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3
252 = 2 • 2 • 3 • 3 • 7
660 = 2 • 2 • 3 • 5 • 11
ggT (144 ; 252 ; 660) = 2 • 2 • 3= 12
8) Ein Fahrrad hat an der Pedale ein Kettenrad mit 42 Zähnen und an der
Hinterachse eines mit 18 Zähnen. Nach wie viel Umdrehungen der Pedale
haben beide Kettenräder wieder dieselbe Position erreicht?
Gesucht: kgV=?
3 645 300 ist nicht durch 9 teilbar, weil ihre Quersumme, also die Summe all
ihrer Ziffern nicht durch 9 teilbar ist: 3+6+4+5+3+0+0= 21 ; 21:9 =2 Rest 3 .
3 645 300 ist durch 10 teilbar, weil ihre letzte Stelle eine 0 ist.
5) Bestimme die ersten 5 Elemente von V18 !
V18 = {18 , 36 , 54 , 72 , 90, ...}
6) Bestimme alle Elemente von T105 !
T105 = {1, 3, 5,7,15,21,35,105}
7) Bestimme durch Primfaktorenzerlegung
a) kgV (150 ; 225)
b) kgV (28 ; 210 ; 60)
c) ggT (420 ; 630)
d) ggT (144 ; 252 ; 660)
Lösung:
a) 150 = 2 • 3 • 5 • 5
225 = 3 • 3 • 5 • 5
kgV (130 ; 225) = 2 • 3 • 3 • 5 • 5 = 450
b) 28 = 2 • 2 • 7
210 = 2 • 3 • 5 • 7
60 = 2 • 2 • 3 • 5
kgV (28 ; 210 ; 60) = 2 • 2 • 3 • 5 • 7 = 420
c) 300 = 2 • 2 • 3 • 5 • 5
630 = 2 • 3 • 3 • 5 • 7
ggT (360 ; 630) = 2 • 3 • 5= 30
d) 144 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3
252 = 2 • 2 • 3 • 3 • 7
660 = 2 • 2 • 3 • 5 • 11
ggT (144 ; 252 ; 660) = 2 • 2 • 3= 12
8) Ein Fahrrad hat an der Pedale ein Kettenrad mit 42 Zähnen und an der
Hinterachse eines mit 18 Zähnen. Nach wie viel Umdrehungen der Pedale
haben beide Kettenräder wieder dieselbe Position erreicht?
Gesucht: kgV=?
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42 = 2 • 3 • 7
18 = 2 • 3 • 3
kgV (42 ; 18) = 2 • 3 • 3 • 7 = 126
126 : 42 = 3
Nach 3Umdrehungen der Pedale haben beide Kettenräder wieder dieselbe
Position erreicht.
9) Der Fußboden eines Badezimmers ist 4m lang und 2,80m breit.
Der Besitzer möchte möglichst große quadratische Fliesen legen.
Welche Kantenlänge wählt er?
Gesucht: ggT=?
4m = 400 cm und 2,80m =280cm
400 = 2 • 2 • 2 • 2 • 5 • 5
280 = 2 • 2 • 2 • 5 • 7
ggT (400 ; 280) = 2 • 2 • 2 • 5= 40
Der Besitzer wählt Fliesen mit der Kantenlänge 40cm.
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1) Prüfe, ob die Aussage wahr (w) oder falsch (f) ist.
4 | 94 f 8 ε 168 f
3 ε T444 w 4 | 66 w
16 | 90 f 12 ε T660 w
14 ε T70 f 9 | 117 w
2) Überprüfe durch Zerlegen in Summanden: 17 | 5134 .
Zerlegung : 5100: 17 + 34:17 = 300 + 2 = 302.
3) Setze in die Lücke eine Ziffer passend ein, sodass die Zahl durch 9 teilbar
ist: 4__5 9.
Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme, also die Summe all
ihrer Ziffern durch 9 teilbar ist: 4+--+5+9= 18 . Nächste Zahl, die durch 9
teilbar ist, ist die 27. 27-18 = 9.
4 9 5 9 .
Falsch , weil es nicht T168 heißt.
42 = 2 • 3 • 7
18 = 2 • 3 • 3
kgV (42 ; 18) = 2 • 3 • 3 • 7 = 126
126 : 42 = 3
Nach 3Umdrehungen der Pedale haben beide Kettenräder wieder dieselbe
Position erreicht.
9) Der Fußboden eines Badezimmers ist 4m lang und 2,80m breit.
Der Besitzer möchte möglichst große quadratische Fliesen legen.
Welche Kantenlänge wählt er?
Gesucht: ggT=?
4m = 400 cm und 2,80m =280cm
400 = 2 • 2 • 2 • 2 • 5 • 5
280 = 2 • 2 • 2 • 5 • 7
ggT (400 ; 280) = 2 • 2 • 2 • 5= 40
Der Besitzer wählt Fliesen mit der Kantenlänge 40cm.
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1) Prüfe, ob die Aussage wahr (w) oder falsch (f) ist.
4 | 94 f 8 ε 168 f
3 ε T444 w 4 | 66 w
16 | 90 f 12 ε T660 w
14 ε T70 f 9 | 117 w
2) Überprüfe durch Zerlegen in Summanden: 17 | 5134 .
Zerlegung : 5100: 17 + 34:17 = 300 + 2 = 302.
3) Setze in die Lücke eine Ziffer passend ein, sodass die Zahl durch 9 teilbar
ist: 4__5 9.
Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme, also die Summe all
ihrer Ziffern durch 9 teilbar ist: 4+--+5+9= 18 . Nächste Zahl, die durch 9
teilbar ist, ist die 27. 27-18 = 9.
4 9 5 9 .
Falsch , weil es nicht T168 heißt.
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4) Prüfe, ob die folgende Zahl durch (2, 3, ...,15) teilbar ist:
69132 .
Antwort:
69132 ist durch 2 teilbar, weil sie gerade ist, also ihre letzte Ziffer
(eine 2,4,6,8 oder 0) hier eine 2 ist.
69132 ist durch 3 teilbar, weil ihre Quersumme, also die Summe all ihrer
Ziffern durch 3 teilbar ist: 6+9+1+3+2= 21 ; 21:3 =7 .
69132 ist durch 4 teilbar, weil ihre letzten 2 Stellen durch 4, teilbar sind:
32, also 32:4=0 .
69132 ist nicht durch 5 teilbar, weil ihre letzte Stelle nicht eine 0 oder 5 ist.
69132 ist durch 6 teilbar, weil sie durch 2 und durch 3 teilbar ist, also weil
sie gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
69132 ist durch 7 teilbar, weil ihre Differenz aus der alternierende
Dreierpacksumme durch 7 teilbar ist.
69132 , also : 132 und 69 -> 132-69= 63 -> 63:7 = 9 . Geht!
69132 ist nicht durch 8 teilbar, weil ihre letzten 3 Stellen nicht durch 8
teilbar sind: 300 :8 = 37 Rest 4 oder 37,5 .
69132 ist nicht durch 9 teilbar, weil ihre Quersumme, also die Summe all
ihrer Ziffern nicht durch 9 teilbar ist: 6+9+1+3+2= 21 ; 21:9 =2 Rest 3 .
69132 ist nicht durch 10 teilbar, weil ihre letzte Stelle nicht eine 0 ist.
69132 ist nicht durch 11 teilbar, weil ihre alternierende Quersumme nicht
durch 11 teilbar ist.
2+1+6 = 9 und 3+9=11 , 11-9= 2 ; 2: 11 = 0 Rest 2 ; geht nicht
69132 ist durch 12 teilbar, weil sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.
69132 ist durch nicht 13 teilbar, weil ihre Differenz aus der alternierende
Dreierpacksumme nicht durch 13 teilbar ist.
69132 , also : 132 und 69 -> 132-69= 63 -> 63:13 = 4 Rest 11. Geht nicht!
69132 ist durch 14 teilbar, weil sie durch 2 und durch 7 teilbar ist.
69132 ist nicht durch 15 teilbar, weil sie nicht durch 3 und durch 5 teilbar ist.
4) Prüfe, ob die folgende Zahl durch (2, 3, ...,15) teilbar ist:
69132 .
Antwort:
69132 ist durch 2 teilbar, weil sie gerade ist, also ihre letzte Ziffer
(eine 2,4,6,8 oder 0) hier eine 2 ist.
69132 ist durch 3 teilbar, weil ihre Quersumme, also die Summe all ihrer
Ziffern durch 3 teilbar ist: 6+9+1+3+2= 21 ; 21:3 =7 .
69132 ist durch 4 teilbar, weil ihre letzten 2 Stellen durch 4, teilbar sind:
32, also 32:4=0 .
69132 ist nicht durch 5 teilbar, weil ihre letzte Stelle nicht eine 0 oder 5 ist.
69132 ist durch 6 teilbar, weil sie durch 2 und durch 3 teilbar ist, also weil
sie gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
69132 ist durch 7 teilbar, weil ihre Differenz aus der alternierende
Dreierpacksumme durch 7 teilbar ist.
69132 , also : 132 und 69 -> 132-69= 63 -> 63:7 = 9 . Geht!
69132 ist nicht durch 8 teilbar, weil ihre letzten 3 Stellen nicht durch 8
teilbar sind: 300 :8 = 37 Rest 4 oder 37,5 .
69132 ist nicht durch 9 teilbar, weil ihre Quersumme, also die Summe all
ihrer Ziffern nicht durch 9 teilbar ist: 6+9+1+3+2= 21 ; 21:9 =2 Rest 3 .
69132 ist nicht durch 10 teilbar, weil ihre letzte Stelle nicht eine 0 ist.
69132 ist nicht durch 11 teilbar, weil ihre alternierende Quersumme nicht
durch 11 teilbar ist.
2+1+6 = 9 und 3+9=11 , 11-9= 2 ; 2: 11 = 0 Rest 2 ; geht nicht
69132 ist durch 12 teilbar, weil sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.
69132 ist durch nicht 13 teilbar, weil ihre Differenz aus der alternierende
Dreierpacksumme nicht durch 13 teilbar ist.
69132 , also : 132 und 69 -> 132-69= 63 -> 63:13 = 4 Rest 11. Geht nicht!
69132 ist durch 14 teilbar, weil sie durch 2 und durch 7 teilbar ist.
69132 ist nicht durch 15 teilbar, weil sie nicht durch 3 und durch 5 teilbar ist.
www.Klassenarbeiten.de Seite 8
5) Bestimme die fehlenden Zahlen für :
T48 = {1,4,12, 48 }
T 131 = {1, 11 , 12 , 131}
T188 = { 1 , 2 , 4 , 47 , 94 ,188}
V13 = { 13 , 26 , 39 , 52 , 65 ,...} ; 39-26 =13
V7 = { 7 , 14 , 21 , 28 , 35 ,...} ; 28 : 4 Stellen =7
V23 = { 23 , 46 , 69 , 92 , 115 ,...} 92: 4 Stellen =23
1St., 2St , 3St. , 4St.
6) Bestimme durch Primfaktorenzerlegung
a) ggT (2700 ; 408)
b) ggT (104 ; 390 ; 1300)
c) kgV (28, 462)
d) kgV (84 ; 196 ; 924)
Lösung:
a) 2700 = 2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 5 • 5
408 = 2 • 2 • 2 • 3 • 17
ggT (130 ; 225) = 2 • 2 • 3 = 12
b) 104 = 2 • 2 • 2 • 13
390 = 2 • • 3 • 5 • 13
1300= 2 • 2 • • 5 • 5 • 13
ggT (104 ; 390 ; 1300) = 2 • 2 • 13 = 52
c) 28 = 2 • 2 • 7
462 = 2 • 3 • 7 • 11
kgV (28 ; 462) = 2 • 2 • 3 • 7 • 11 = 924
d) 84 = 2 • 2 • 3 • 7
196 = 2 • 2 • 7 • 7
924 = 2 • 2 • 3 • 7 • 11
kgV (28 ; 210 ; 60) = 2 • 2 • 3 • 7 • 7 • 11 = 6468
5) Bestimme die fehlenden Zahlen für :
T48 = {1,4,12, 48 }
T 131 = {1, 11 , 12 , 131}
T188 = { 1 , 2 , 4 , 47 , 94 ,188}
V13 = { 13 , 26 , 39 , 52 , 65 ,...} ; 39-26 =13
V7 = { 7 , 14 , 21 , 28 , 35 ,...} ; 28 : 4 Stellen =7
V23 = { 23 , 46 , 69 , 92 , 115 ,...} 92: 4 Stellen =23
1St., 2St , 3St. , 4St.
6) Bestimme durch Primfaktorenzerlegung
a) ggT (2700 ; 408)
b) ggT (104 ; 390 ; 1300)
c) kgV (28, 462)
d) kgV (84 ; 196 ; 924)
Lösung:
a) 2700 = 2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 5 • 5
408 = 2 • 2 • 2 • 3 • 17
ggT (130 ; 225) = 2 • 2 • 3 = 12
b) 104 = 2 • 2 • 2 • 13
390 = 2 • • 3 • 5 • 13
1300= 2 • 2 • • 5 • 5 • 13
ggT (104 ; 390 ; 1300) = 2 • 2 • 13 = 52
c) 28 = 2 • 2 • 7
462 = 2 • 3 • 7 • 11
kgV (28 ; 462) = 2 • 2 • 3 • 7 • 11 = 924
d) 84 = 2 • 2 • 3 • 7
196 = 2 • 2 • 7 • 7
924 = 2 • 2 • 3 • 7 • 11
kgV (28 ; 210 ; 60) = 2 • 2 • 3 • 7 • 7 • 11 = 6468
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7) Ein Anhänger ist 90 cm breit, 0,8m hoch und 12dm lang. Er soll mit
würfelförmigen Kisten vollgepackt werden. Welche Kantenlängen sind für die
Kisten möglich?
Rechnung: 90cm , 80 cm und 120cm.
T90 = {1, 2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90}
T80 = {1,2,4,5,8,10,16,20,40,80}
T120={1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120}
Es sind würfelförmige Kisten mit der Kantenlänge 1cm,2cm, 3cm, 5cm und 10cm
möglich.
8) Drei Schüler trainieren für ein Schulfest. Für eine 400m Bahn braucht Sabine
72 Sekunden, Peter 60 Sekunden und Iris 90 Sekunden.
Wie viel Bahnen hat jeder zurückgelegt, wenn sie alle drei gemeinsam über
über die Start-Ziel-Linie laufen?
Rechnung:
72 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3
60 = 2 • 2 • 3 • 5
90 = 2 • 3 • 3 • 5
kgV = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5 =360
Nach 360 Sekunden laufen alle drei gemeinsam über Start-Ziel-Linie.
Sabine hat dann 360:72= 5 Bahnen, Peter hat dann 360:60=6 Bahnen und
Iris hat dann 360:90 = 4 Bahnen zurück gelegt.
Klasse 6 – Gymnasium Lösung Seite 3
Lösung Nr. 3
1) Prüfe, ob die Aussage wahr (w) oder falsch (f) ist.
7 ε 64 f 19 ε 190 f
9 | 333 w 8 | 92 f
18 | 324 f 3 ε T234 w
16 ε T256 w 6 | 96 w
2) Überprüfe durch Zerlegen in Summanden:
c) 9 | 2871
d) 12 | 60132 .
7) Ein Anhänger ist 90 cm breit, 0,8m hoch und 12dm lang. Er soll mit
würfelförmigen Kisten vollgepackt werden. Welche Kantenlängen sind für die
Kisten möglich?
Rechnung: 90cm , 80 cm und 120cm.
T90 = {1, 2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90}
T80 = {1,2,4,5,8,10,16,20,40,80}
T120={1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120}
Es sind würfelförmige Kisten mit der Kantenlänge 1cm,2cm, 3cm, 5cm und 10cm
möglich.
8) Drei Schüler trainieren für ein Schulfest. Für eine 400m Bahn braucht Sabine
72 Sekunden, Peter 60 Sekunden und Iris 90 Sekunden.
Wie viel Bahnen hat jeder zurückgelegt, wenn sie alle drei gemeinsam über
über die Start-Ziel-Linie laufen?
Rechnung:
72 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3
60 = 2 • 2 • 3 • 5
90 = 2 • 3 • 3 • 5
kgV = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5 =360
Nach 360 Sekunden laufen alle drei gemeinsam über Start-Ziel-Linie.
Sabine hat dann 360:72= 5 Bahnen, Peter hat dann 360:60=6 Bahnen und
Iris hat dann 360:90 = 4 Bahnen zurück gelegt.
Klasse 6 – Gymnasium Lösung Seite 3
Lösung Nr. 3
1) Prüfe, ob die Aussage wahr (w) oder falsch (f) ist.
7 ε 64 f 19 ε 190 f
9 | 333 w 8 | 92 f
18 | 324 f 3 ε T234 w
16 ε T256 w 6 | 96 w
2) Überprüfe durch Zerlegen in Summanden:
c) 9 | 2871
d) 12 | 60132 .
www.Klassenarbeiten.de Seite 10
Lösung:
a) Zerlegung : 2700: 9 + 90:9 + 81:9 = 300 + 10 + 9 = 319.
b) Zerlegung : 60000: 12 + 120:12 + 12:12 = 5000 + 10 + 1 = 5011.
3) Setze in die Lücke eine Ziffer passend ein, sodass die Zahl durch 8 teilbar
ist: 2 1 1 __ .
Antwort : Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn ihre letzten 3 Stellen durch 8
teilbar sind.
2 1 1 2 .
4) Prüfe, ob die folgende Zahl durch (2, 3, ...,15) teilbar ist:
3806370 .
Antwort:
3806370 ist durch 2 teilbar, weil sie gerade ist, also ihre letzte Ziffer
(eine 2,4,6,8 oder 0) hier eine 0 ist.
3806370 ist durch 3 teilbar, weil ihre Quersumme, also die Summe all ihrer
Ziffern durch 3 teilbar ist: 3+8+0+6+3+7+0 = 21 ; 27:3 =9 .
3806370 ist nicht durch 4 teilbar, weil ihre letzten 2 Stellen nicht durch 4,
teilbar sind: 70, also 70:4=17 Rest 2 .
3806370 ist durch 5 teilbar, weil ihre letzte Stelle eine 0 (oder 5) ist.
3806370 ist durch 6 teilbar, weil sie durch 2 und durch 3 teilbar ist, also weil
sie gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
3806370 ist nicht durch 7 teilbar, weil ihre Differenz aus der alternierende
Dreierpacksumme nicht durch 7 teilbar ist.
3806370 , also : 3 + 370=373 und 806 -> 806-373= 433 -> 433:7 = 61 Rest 6 .
Geht nicht!
3806370 ist nicht durch 8 teilbar, weil ihre letzten 3 Stellen nicht durch 8
teilbar sind: 370 :8 = 46 Rest 2.
3806370 ist durch 9 teilbar, weil ihre Quersumme, also die Summe all
ihrer Ziffern durch 9 teilbar ist: 3+8+0+6+3+7+0= 27 ; 27:9 =3 .
3806370 ist durch 10 teilbar, weil ihre letzte Stelle eine 0 ist.
Lösung:
a) Zerlegung : 2700: 9 + 90:9 + 81:9 = 300 + 10 + 9 = 319.
b) Zerlegung : 60000: 12 + 120:12 + 12:12 = 5000 + 10 + 1 = 5011.
3) Setze in die Lücke eine Ziffer passend ein, sodass die Zahl durch 8 teilbar
ist: 2 1 1 __ .
Antwort : Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn ihre letzten 3 Stellen durch 8
teilbar sind.
2 1 1 2 .
4) Prüfe, ob die folgende Zahl durch (2, 3, ...,15) teilbar ist:
3806370 .
Antwort:
3806370 ist durch 2 teilbar, weil sie gerade ist, also ihre letzte Ziffer
(eine 2,4,6,8 oder 0) hier eine 0 ist.
3806370 ist durch 3 teilbar, weil ihre Quersumme, also die Summe all ihrer
Ziffern durch 3 teilbar ist: 3+8+0+6+3+7+0 = 21 ; 27:3 =9 .
3806370 ist nicht durch 4 teilbar, weil ihre letzten 2 Stellen nicht durch 4,
teilbar sind: 70, also 70:4=17 Rest 2 .
3806370 ist durch 5 teilbar, weil ihre letzte Stelle eine 0 (oder 5) ist.
3806370 ist durch 6 teilbar, weil sie durch 2 und durch 3 teilbar ist, also weil
sie gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
3806370 ist nicht durch 7 teilbar, weil ihre Differenz aus der alternierende
Dreierpacksumme nicht durch 7 teilbar ist.
3806370 , also : 3 + 370=373 und 806 -> 806-373= 433 -> 433:7 = 61 Rest 6 .
Geht nicht!
3806370 ist nicht durch 8 teilbar, weil ihre letzten 3 Stellen nicht durch 8
teilbar sind: 370 :8 = 46 Rest 2.
3806370 ist durch 9 teilbar, weil ihre Quersumme, also die Summe all
ihrer Ziffern durch 9 teilbar ist: 3+8+0+6+3+7+0= 27 ; 27:9 =3 .
3806370 ist durch 10 teilbar, weil ihre letzte Stelle eine 0 ist.
www.Klassenarbeiten.de Seite 11
3806370 ist nicht durch 11 teilbar, weil ihre alternierende Quersumme nicht
durch 11 teilbar ist.
0+3+0+3 = 6 und 7+6+8=21 , 21-6= 15 ; 15: 11 = 1 Rest 4 ; geht nicht
3806370 ist nicht durch 12 teilbar, weil sie nicht durch 3 und durch 4 teilbar
ist.
3806370 ist durch nicht 13 teilbar, weil ihre Differenz aus der alternierende
Dreierpacksumme nicht durch 13 teilbar ist.
3806370 , also : 3+370 und 806 -> 806-373= 433 -> 433:13 = 33 Rest 4
Geht nicht!
3806370 ist nicht durch 14 teilbar, weil sie nicht durch 2 und durch 7 teilbar
ist.
3806370 ist durch 15 teilbar, weil sie durch 3 und durch 5 teilbar ist.
5) Bestimme die fehlenden Zahlen für :
T153 = {1 , 3 , 9 , 17 , 51 , 153}
T221 = {1, 13 , 17 , 221}
T63 = {1,21,42, 63 }
V31 = { 31 , 62 , 93 , 124 , 155 ,...}
V18 = { 18 , 36 , 54 , 72 , 90 ,...}
V23 = { 38 , 76 , 114 , 152 ,...}
6) Bestimme durch Primfaktorenzerlegung
a) ggT (54 ; 176)
b) ggT (410 ; 730 ; 780)
c) kgV (320, 384)
d) kgV (224 ; 336 ; 420)
Lösung:
a) 54 = 2 • 3 • 3 • 3
176 = 2 • 2 • 2 • 11
ggT (54 ; 176) = 2
b) 410 = 2 • 5 • 41
730 = 2 • 5 • 73
3806370 ist nicht durch 11 teilbar, weil ihre alternierende Quersumme nicht
durch 11 teilbar ist.
0+3+0+3 = 6 und 7+6+8=21 , 21-6= 15 ; 15: 11 = 1 Rest 4 ; geht nicht
3806370 ist nicht durch 12 teilbar, weil sie nicht durch 3 und durch 4 teilbar
ist.
3806370 ist durch nicht 13 teilbar, weil ihre Differenz aus der alternierende
Dreierpacksumme nicht durch 13 teilbar ist.
3806370 , also : 3+370 und 806 -> 806-373= 433 -> 433:13 = 33 Rest 4
Geht nicht!
3806370 ist nicht durch 14 teilbar, weil sie nicht durch 2 und durch 7 teilbar
ist.
3806370 ist durch 15 teilbar, weil sie durch 3 und durch 5 teilbar ist.
5) Bestimme die fehlenden Zahlen für :
T153 = {1 , 3 , 9 , 17 , 51 , 153}
T221 = {1, 13 , 17 , 221}
T63 = {1,21,42, 63 }
V31 = { 31 , 62 , 93 , 124 , 155 ,...}
V18 = { 18 , 36 , 54 , 72 , 90 ,...}
V23 = { 38 , 76 , 114 , 152 ,...}
6) Bestimme durch Primfaktorenzerlegung
a) ggT (54 ; 176)
b) ggT (410 ; 730 ; 780)
c) kgV (320, 384)
d) kgV (224 ; 336 ; 420)
Lösung:
a) 54 = 2 • 3 • 3 • 3
176 = 2 • 2 • 2 • 11
ggT (54 ; 176) = 2
b) 410 = 2 • 5 • 41
730 = 2 • 5 • 73
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780 = 2 • 2 • 3 • 5 • 13
ggT (410 ; 730 ; 780) = 2 • 5= 10
c) 320 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 5
384 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 3
kgV (320 ; 384) = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 5 = 1920
d) 224 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 7
336 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 7
420 = 2 • 2 • 3 • 5 • 7
kgV (224 ; 336 ; 420) = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 7 = 3360
7) Familie Schmidt besitzt eine kleine Wiese und möchte es einzäunen.
Die Pfosten sollen möglichst auf allen Seiten den gleichen Abstand in vollen
Metern haben. Das Grundstück ist 42m lang und 18m breit.
a) Welche Abstände kommen in Betracht?
b) Welches ist der größtmögliche Abstand?
Rechnung:
T42 ={1,2,3,6,7,14,21,42}
T18 ={1,2,3,6,9,18}
a) Es kommen 1m, 2m, 3m und 6m Abstände in Betracht.
b) Der größtmögliche Abstand beträgt 6m.
8) Zwei Hobby-Piloten beginnen ihre Flüge am gleichen Tag vom gleichen
Flugplatz. Danach führt Pilot A jeden sechzehnten Tag einen Flug aus und
Pilot B jeden vierundzwanzigsten Tag.
Wann fliegen die beiden Piloten wieder gleichzeitig?
Rechnung:
16 = 2 • 2 • 2 • 2
24 = 2 • 2 • 2 • 3
kgV = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 =48
Am 48 Tag fliegen beide Piloten wieder gleichzeitig.
780 = 2 • 2 • 3 • 5 • 13
ggT (410 ; 730 ; 780) = 2 • 5= 10
c) 320 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 5
384 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 3
kgV (320 ; 384) = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 5 = 1920
d) 224 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 7
336 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 7
420 = 2 • 2 • 3 • 5 • 7
kgV (224 ; 336 ; 420) = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 7 = 3360
7) Familie Schmidt besitzt eine kleine Wiese und möchte es einzäunen.
Die Pfosten sollen möglichst auf allen Seiten den gleichen Abstand in vollen
Metern haben. Das Grundstück ist 42m lang und 18m breit.
a) Welche Abstände kommen in Betracht?
b) Welches ist der größtmögliche Abstand?
Rechnung:
T42 ={1,2,3,6,7,14,21,42}
T18 ={1,2,3,6,9,18}
a) Es kommen 1m, 2m, 3m und 6m Abstände in Betracht.
b) Der größtmögliche Abstand beträgt 6m.
8) Zwei Hobby-Piloten beginnen ihre Flüge am gleichen Tag vom gleichen
Flugplatz. Danach führt Pilot A jeden sechzehnten Tag einen Flug aus und
Pilot B jeden vierundzwanzigsten Tag.
Wann fliegen die beiden Piloten wieder gleichzeitig?
Rechnung:
16 = 2 • 2 • 2 • 2
24 = 2 • 2 • 2 • 3
kgV = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 =48
Am 48 Tag fliegen beide Piloten wieder gleichzeitig.
