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1. Schulaufgabe aus der Mathematik, 10. Klasse
Volumen, Flächen, Kreisbogen
1. Ein Quader (Länge 6 cm, Breite 4 cm, Höhe 2 cm) besteht aus Gold. Er wird vollständig
eingeschmolzen; anschließend wird aus dem Material eine Kugel hergestellt.
Berechnen Sie den Radius dieser Kugel!
2. In welcher Zeit legt die Spitze des großen Zeigers einer Turmuhr (Zeigerlänge 1,5 m)
einen Weg von 1,57 m zurück? (Skizze und Rechnung!)
3. Einem Kreis mit dem Radius r ist ein regelmäßiges Sechseck (blau)
(Seitenlänge: r) und ein regelmäßiges Zwölfeck (grün) einbeschrieben (siehe Skizze).
Berechnen Sie die Seitenlänge des Zwölfecks (Bezeichnung s 12) in Abhängigkeit von r!
4. Berechnen Sie den Inhalt der Flächenstücke A 1 , A 2 und A 3 in Abhängigkeit
von a ! (Hinweis : Welcher Zusammenhang besteht zwischen a und c ?)
1. Schulaufgabe aus der Mathematik, 10. Klasse
Volumen, Flächen, Kreisbogen
1. Ein Quader (Länge 6 cm, Breite 4 cm, Höhe 2 cm) besteht aus Gold. Er wird vollständig
eingeschmolzen; anschließend wird aus dem Material eine Kugel hergestellt.
Berechnen Sie den Radius dieser Kugel!
2. In welcher Zeit legt die Spitze des großen Zeigers einer Turmuhr (Zeigerlänge 1,5 m)
einen Weg von 1,57 m zurück? (Skizze und Rechnung!)
3. Einem Kreis mit dem Radius r ist ein regelmäßiges Sechseck (blau)
(Seitenlänge: r) und ein regelmäßiges Zwölfeck (grün) einbeschrieben (siehe Skizze).
Berechnen Sie die Seitenlänge des Zwölfecks (Bezeichnung s 12) in Abhängigkeit von r!
4. Berechnen Sie den Inhalt der Flächenstücke A 1 , A 2 und A 3 in Abhängigkeit
von a ! (Hinweis : Welcher Zusammenhang besteht zwischen a und c ?)
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Lösungen:
1)
Antwort: Der Radius beträgt ca. 2,25cm. (Es wurde auf 2 Stellen nach Komma gerundet)
2) geg.: r = 1.5m ; b = 1,57m
ges.: t
Skizze:
Berechnung:
Q
K Q
3Q
3K
geg.: V = l * b * h
ges.: Radius r einer Kugel mit V = V
V = 6cm * 4cm * 2cm = 48cm
4 3 V = * * r : * (Volumenformel für Kugel muss so umge-3 4
3 3K
3 3
3K 333 3
stellt werden, dass r alleine steht!)
V * 3 = r * 4
V * 3 48cm * 3 144cm = r = = = 11,43cm = 2,25cm * 4 * 4 12, 6
Antwort:
Die Spitze des großen Zeigers legt die Strecke in 10 Minutenzurück. Formel zur Berechnung des Bogenmaßes:
b = * * r : : r * 180° 180°
(Wir stellen die Formel um, weil wir ausrechnen wollen)
b * 180° 1,57m * 180° = = = 59,97° 60° * r * 1,5m
360° 6
0min
60° 10min
Lösungen:
1)
Antwort: Der Radius beträgt ca. 2,25cm. (Es wurde auf 2 Stellen nach Komma gerundet)
2) geg.: r = 1.5m ; b = 1,57m
ges.: t
Skizze:
Berechnung:
Q
K Q
3Q
3K
geg.: V = l * b * h
ges.: Radius r einer Kugel mit V = V
V = 6cm * 4cm * 2cm = 48cm
4 3 V = * * r : * (Volumenformel für Kugel muss so umge-3 4
3 3K
3 3
3K 333 3
stellt werden, dass r alleine steht!)
V * 3 = r * 4
V * 3 48cm * 3 144cm = r = = = 11,43cm = 2,25cm * 4 * 4 12, 6
Antwort:
Die Spitze des großen Zeigers legt die Strecke in 10 Minutenzurück. Formel zur Berechnung des Bogenmaßes:
b = * * r : : r * 180° 180°
(Wir stellen die Formel um, weil wir ausrechnen wollen)
b * 180° 1,57m * 180° = = = 59,97° 60° * r * 1,5m
360° 6
0min
60° 10min
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3)
Um s12 in Abhängigkeit von r berechnen zu können, brauchen wir die zwei anderen
Seiten des rechtwinkligen Dreiecks HEF.
Antwort: Die Seitenlänge des Zwölfecks ist 2- 3 r.
6
2 2 2
22
Berechnung von MH
a(Formel für die Höhe eines gleichseitigen ) 32
rMH = 32
Berechnung von HF
HF = MF - MH
rHF = r - 32
1 r HE = s = 2 2
HFE
a² + b² = c²
HF HE = EF
rEF = r- 32
s
MFr
r
=
+
+
( )
( )
2
2
r r² r² = r² - 2r * 3 + * 3 + 2 2 4 4
r² r² r² = r² - 2 3 3 + 2 4 4
1 1 1EF = 1 - 2 * 3 + * 3 + r² = 2 - 3 r² 2 4 4
EF = 2 - 3 r² = 2- 3 r
+
(Wir brauchen aber nur EF !!)
3)
Um s12 in Abhängigkeit von r berechnen zu können, brauchen wir die zwei anderen
Seiten des rechtwinkligen Dreiecks HEF.
Antwort: Die Seitenlänge des Zwölfecks ist 2- 3 r.
6
2 2 2
22
Berechnung von MH
a(Formel für die Höhe eines gleichseitigen ) 32
rMH = 32
Berechnung von HF
HF = MF - MH
rHF = r - 32
1 r HE = s = 2 2
HFE
a² + b² = c²
HF HE = EF
rEF = r- 32
s
MFr
r
=
+
+
( )
( )
2
2
r r² r² = r² - 2r * 3 + * 3 + 2 2 4 4
r² r² r² = r² - 2 3 3 + 2 4 4
1 1 1EF = 1 - 2 * 3 + * 3 + r² = 2 - 3 r² 2 4 4
EF = 2 - 3 r² = 2- 3 r
+
(Wir brauchen aber nur EF !!)
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4)
2
S
2
1
2
Flächenformel für ein Kreisbogensegment: A = * * r360°
60° a 1 a² a²A = * * = * * = * = ²360° 2 6 4 6 4 24
Um A auszurechnen brauchen wir erst den Radius in Abhängigkeit zu
a
2
2
2
2
2
a !
aa² = + c 2
a² a²a² = + c² - 4 4
a² 3c² = a² - = a² 4 4
3 c c = a : 2 (weil r von A nur ist !)2 2
c 3 = a2 4
30 3A = * * a = 360 4
3 ABC 1 2
ABC
3
3
1 3 * * a² = a²16 16 64
A = A - A - A
1 3 a 3A = * a * = a²2 2 2 8
3A a² - ² + a²8 24 64
3 8 3 3 11A = - + a² = - a²8 192 192 8 192
a
=
4)
2
S
2
1
2
Flächenformel für ein Kreisbogensegment: A = * * r360°
60° a 1 a² a²A = * * = * * = * = ²360° 2 6 4 6 4 24
Um A auszurechnen brauchen wir erst den Radius in Abhängigkeit zu
a
2
2
2
2
2
a !
aa² = + c 2
a² a²a² = + c² - 4 4
a² 3c² = a² - = a² 4 4
3 c c = a : 2 (weil r von A nur ist !)2 2
c 3 = a2 4
30 3A = * * a = 360 4
3 ABC 1 2
ABC
3
3
1 3 * * a² = a²16 16 64
A = A - A - A
1 3 a 3A = * a * = a²2 2 2 8
3A a² - ² + a²8 24 64
3 8 3 3 11A = - + a² = - a²8 192 192 8 192
a
=
