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Mathematikarbeit Grad und Bogenmaß, Sektorberechnung
Aufgabe 1: Quickies (9 BE)
a) Berechnen Sie jeweils das zugehörige Bogen- bzw. Gradmaß:
∝ =57° 𝜑 = 13
4
Führen Sie folgenden Ausdrücke auf Winkel zwischen 0° und 90° zurück:
sin1000° cos8365°
b) Bestimmen Sie zwei verschiedene Winkel ∝, für die gilt:
sin∝=−0,23 𝒖𝒏𝒅 cos∝<0
Aufgabe 2: (5BE)
Lina nimmt eine quaderförmige Plastikschüssel (b =8 cm, h =7 cm, l =
16 cm) und füllt sie zur Hälfte mit Wasser. Nun legt sie drei annähernd
kugelförmige Äpfel (Umfang 𝑈𝐴𝑝𝑓𝑒𝑙 =22𝑐𝑚) hinein, um sie zu waschen. Läuft
das Wasser nun über? Begründen Sie ihre Antwort sorgfältig (durch Rechnung).
Aufgabe 3: (8BE)
a) Ein Kreissektor mit dem Radius r hat den Umfang 𝑈 =3𝑟. Berechnen Sie den
Mittelpunktswinkel ∝ und drücken Sie die Fläche A des Sektors durch r aus
(Skizze!).
b) Die Läufer A(nton) und B(enedikt) starten einen Wettlauf auf einer kreisförmigen
Rennbahn. Die Kreisbahn von A hat den Radius 𝑟𝑎 =22𝑚, die von B den
Radius 𝑟𝑏 =23𝑚. A muss eine Runde laufen. Damit beide bis zum Ziel gleich
weit laufen, muss der Startpunkt von B um einen bestimmten Winkel α
vorverlegt werden. Bestimmen Sie diesen Winkel.
Aufgabe 4: (Grundwissen, 3 BE)
Bestimmen Sie die Lösung folgender Gleichung (für 𝓍 ∈ℝ):
2𝓍2 +3𝓍 =2
Viel Erfolg!
Mathematikarbeit Grad und Bogenmaß, Sektorberechnung
Aufgabe 1: Quickies (9 BE)
a) Berechnen Sie jeweils das zugehörige Bogen- bzw. Gradmaß:
∝ =57° 𝜑 = 13
4
Führen Sie folgenden Ausdrücke auf Winkel zwischen 0° und 90° zurück:
sin1000° cos8365°
b) Bestimmen Sie zwei verschiedene Winkel ∝, für die gilt:
sin∝=−0,23 𝒖𝒏𝒅 cos∝<0
Aufgabe 2: (5BE)
Lina nimmt eine quaderförmige Plastikschüssel (b =8 cm, h =7 cm, l =
16 cm) und füllt sie zur Hälfte mit Wasser. Nun legt sie drei annähernd
kugelförmige Äpfel (Umfang 𝑈𝐴𝑝𝑓𝑒𝑙 =22𝑐𝑚) hinein, um sie zu waschen. Läuft
das Wasser nun über? Begründen Sie ihre Antwort sorgfältig (durch Rechnung).
Aufgabe 3: (8BE)
a) Ein Kreissektor mit dem Radius r hat den Umfang 𝑈 =3𝑟. Berechnen Sie den
Mittelpunktswinkel ∝ und drücken Sie die Fläche A des Sektors durch r aus
(Skizze!).
b) Die Läufer A(nton) und B(enedikt) starten einen Wettlauf auf einer kreisförmigen
Rennbahn. Die Kreisbahn von A hat den Radius 𝑟𝑎 =22𝑚, die von B den
Radius 𝑟𝑏 =23𝑚. A muss eine Runde laufen. Damit beide bis zum Ziel gleich
weit laufen, muss der Startpunkt von B um einen bestimmten Winkel α
vorverlegt werden. Bestimmen Sie diesen Winkel.
Aufgabe 4: (Grundwissen, 3 BE)
Bestimmen Sie die Lösung folgender Gleichung (für 𝓍 ∈ℝ):
2𝓍2 +3𝓍 =2
Viel Erfolg!
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Lösung:
1.Schulaufgabe aus der Mathematik
10. Klasse Gymnasium Bayern Dezember
Bearbeite Aufgaben stets so, dass dein Lösungsweg nachvollziehbar und, wo nötig, begründet ist.
Aufgabe 1: Quickies (9 BE)
a) Berechnen Sie jeweils das zugehörige Bogen- bzw. Gradmaß:
∝ =57° 𝜑 = 13
4
∝𝐵𝑜𝑔𝑒𝑛 = ∝𝐺𝑟𝑎𝑑
360° ·2𝜋 𝜑 𝐺𝑟𝑎𝑑 = 𝜑 𝐵𝑜𝑔𝑒𝑛 · 360°
2𝜋
∝𝐵𝑜𝑔𝑒𝑛 = 57°
360° ·2𝜋 𝜑 𝐺𝑟𝑎𝑑 =
13
4 · 360°
2𝜋
∝𝐵𝑜𝑔𝑒𝑛 = 19°
60° ·𝜋 ≈0,99 𝜑 𝐺𝑟𝑎𝑑 ≈186,2°
b) Führen Sie folgenden Ausdrücke auf Winkel zwischen 0° und 90° zurück:
sin1000° cos8365°
=sin(1000°−2×360°) =cos(8365°−23×360°)
=sin(280°) =cos85°
=−sin(360°−280°)
=−sin80°
c) Bestimmen Sie zwei verschiedene Winkel ∝, für die gilt:
Sin∝=−0,23 𝒖𝒏𝒅 cos∝<0
sin−1(−0,23)=−13,3° cos(−13,3°)≈0,97>0
180°+13,3°=193,3° cos(193,3°)≈−0,97<0=∝
∝=360+193,3°=553,3°
Aufgabe 2: (5BE)
Lina nimmt eine quaderförmige Plastikschüssel (𝑏 =8𝑐𝑚,ℎ =7𝑐𝑚,𝑙 =16𝑐𝑚)
und füllt sie zur Hälfte mit Wasser. Nun legt sie drei annähernd kugelförmige
Äpfel (Umfang 𝑈𝐴𝑝𝑓𝑒𝑙 =22𝑐𝑚) hinein, um sie zu waschen. Läuft das Wasser
nun über? Begründen Sie ihre Antwort sorgfältig (durch Rechnung).
VQuader mit W=l·b·1
2h VKugel =4
3πr3
V=16 cm·8 cm·3,5 cm=448 cm3 V=4
3π·(3,5cm)3
V≈179,5cm3 =1 Apfel
UKugel =2πr 3 Äpfel=538,5cm3
r=22cm
2π ≈3,5cm
Antwort: Das Wasser läuft über, da im Behälter durch das Wasser nur noch
448 cm3 Platz ist und die Äpfel ein Gesamtvolumen von 538,5 cm3 haben.
Lösung:
1.Schulaufgabe aus der Mathematik
10. Klasse Gymnasium Bayern Dezember
Bearbeite Aufgaben stets so, dass dein Lösungsweg nachvollziehbar und, wo nötig, begründet ist.
Aufgabe 1: Quickies (9 BE)
a) Berechnen Sie jeweils das zugehörige Bogen- bzw. Gradmaß:
∝ =57° 𝜑 = 13
4
∝𝐵𝑜𝑔𝑒𝑛 = ∝𝐺𝑟𝑎𝑑
360° ·2𝜋 𝜑 𝐺𝑟𝑎𝑑 = 𝜑 𝐵𝑜𝑔𝑒𝑛 · 360°
2𝜋
∝𝐵𝑜𝑔𝑒𝑛 = 57°
360° ·2𝜋 𝜑 𝐺𝑟𝑎𝑑 =
13
4 · 360°
2𝜋
∝𝐵𝑜𝑔𝑒𝑛 = 19°
60° ·𝜋 ≈0,99 𝜑 𝐺𝑟𝑎𝑑 ≈186,2°
b) Führen Sie folgenden Ausdrücke auf Winkel zwischen 0° und 90° zurück:
sin1000° cos8365°
=sin(1000°−2×360°) =cos(8365°−23×360°)
=sin(280°) =cos85°
=−sin(360°−280°)
=−sin80°
c) Bestimmen Sie zwei verschiedene Winkel ∝, für die gilt:
Sin∝=−0,23 𝒖𝒏𝒅 cos∝<0
sin−1(−0,23)=−13,3° cos(−13,3°)≈0,97>0
180°+13,3°=193,3° cos(193,3°)≈−0,97<0=∝
∝=360+193,3°=553,3°
Aufgabe 2: (5BE)
Lina nimmt eine quaderförmige Plastikschüssel (𝑏 =8𝑐𝑚,ℎ =7𝑐𝑚,𝑙 =16𝑐𝑚)
und füllt sie zur Hälfte mit Wasser. Nun legt sie drei annähernd kugelförmige
Äpfel (Umfang 𝑈𝐴𝑝𝑓𝑒𝑙 =22𝑐𝑚) hinein, um sie zu waschen. Läuft das Wasser
nun über? Begründen Sie ihre Antwort sorgfältig (durch Rechnung).
VQuader mit W=l·b·1
2h VKugel =4
3πr3
V=16 cm·8 cm·3,5 cm=448 cm3 V=4
3π·(3,5cm)3
V≈179,5cm3 =1 Apfel
UKugel =2πr 3 Äpfel=538,5cm3
r=22cm
2π ≈3,5cm
Antwort: Das Wasser läuft über, da im Behälter durch das Wasser nur noch
448 cm3 Platz ist und die Äpfel ein Gesamtvolumen von 538,5 cm3 haben.
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Aufgabe 3: (8BE)
c) Ein Kreissektor mit dem Radius r hat den Umfang 𝑈 =3𝑟. Berechne den
Mittelpunktswinkel ∝ und drücke die Fläche A des Sektors durch r aus (Skizze!).
As= ∝
360° ·πr2 =1
2r2 b=r b= ∝
180° ·πr
r= ∝
180° ·πr
∝= r
πr ·180°
∝= 1
π ·180°
∝≈57,3°
d) Die Läufer A(nton) und B(enedikt) starten einen Wettlauf auf einer kreisförmigen
Rennbahn (vgl. Abbildung rechts). Die Kreisbahn von A hat den Radius 𝑟𝐴=
22𝑚, die von B den Radius 𝑟𝐵 =23𝑚. A muss eine Runde laufen. Damit beide
bis zum Ziel gleich weit laufen, muss der Startpunkt von B um einen bestimmten
Winkel ∝ vorverlegt werden. Bestimmen Sie diesen Winkel.
UKreis =2πr UA =2π·22m UB =2π·23m
UA ≈138,2m UB ≈144,5m
b=144,5m−138,2m=6,3m
b= ∝
180° ·πr
∝= b
πr ·180°
∝= 6,3m
23m · r ·180°
∝≈15,7°
Aufgabe 4: (Grundwissen, 3 BE)
Bestimmen Sie die Lösung folgender Gleichung (für x∈ℝ):
2x2 +3x=2
2x2 +3x−2=0
x1/2 =−b±√b2−4ac
2a
x1/2 =−3±√32−4 · 2 · (−2)
2 · 2
x1/2 =−3±5
4
x1 =−2 x2 =0,5
Aufgabe 3: (8BE)
c) Ein Kreissektor mit dem Radius r hat den Umfang 𝑈 =3𝑟. Berechne den
Mittelpunktswinkel ∝ und drücke die Fläche A des Sektors durch r aus (Skizze!).
As= ∝
360° ·πr2 =1
2r2 b=r b= ∝
180° ·πr
r= ∝
180° ·πr
∝= r
πr ·180°
∝= 1
π ·180°
∝≈57,3°
d) Die Läufer A(nton) und B(enedikt) starten einen Wettlauf auf einer kreisförmigen
Rennbahn (vgl. Abbildung rechts). Die Kreisbahn von A hat den Radius 𝑟𝐴=
22𝑚, die von B den Radius 𝑟𝐵 =23𝑚. A muss eine Runde laufen. Damit beide
bis zum Ziel gleich weit laufen, muss der Startpunkt von B um einen bestimmten
Winkel ∝ vorverlegt werden. Bestimmen Sie diesen Winkel.
UKreis =2πr UA =2π·22m UB =2π·23m
UA ≈138,2m UB ≈144,5m
b=144,5m−138,2m=6,3m
b= ∝
180° ·πr
∝= b
πr ·180°
∝= 6,3m
23m · r ·180°
∝≈15,7°
Aufgabe 4: (Grundwissen, 3 BE)
Bestimmen Sie die Lösung folgender Gleichung (für x∈ℝ):
2x2 +3x=2
2x2 +3x−2=0
x1/2 =−b±√b2−4ac
2a
x1/2 =−3±√32−4 · 2 · (−2)
2 · 2
x1/2 =−3±5
4
x1 =−2 x2 =0,5
