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1. Löse die Gleichungen. Notiere jede Äquivalenzumformung.
a) (y + 6)2 = (y + 6) (y – 6)
b) 5(5 + x) – (4 + x) (4 – x) + x2 = (x + 3) 2 – x + (3 + x) (x – 2)
2. Löse die Rätsel. Stelle vorher jeweils eine Gleichung auf.
a) Wenn man vom Fünffachen einer Zahl 17 subtrahiert, erhält man 43.
Wie heißt diese gesuchte Zahl?
Klasse 8 Klassenarbeit
Thema: Äquivalenzumformung
1. Löse die Gleichungen. Notiere jede Äquivalenzumformung.
a) (y + 6)2 = (y + 6) (y – 6)
b) 5(5 + x) – (4 + x) (4 – x) + x2 = (x + 3) 2 – x + (3 + x) (x – 2)
2. Löse die Rätsel. Stelle vorher jeweils eine Gleichung auf.
a) Wenn man vom Fünffachen einer Zahl 17 subtrahiert, erhält man 43.
Wie heißt diese gesuchte Zahl?
Klasse 8 Klassenarbeit
Thema: Äquivalenzumformung
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b) Drei Schwestern, Lisa, Susanne und Maria sind zusammen 44 Jahre alt.
Susanne ist 4Jahre älter als Lisa, Maria ist doppelt so alt wie Lisa.
Wie alt ist jedes Mädchen?
c) In einem Rechteck ist eine Seite 5 cm länger als die andere. Vergrößert man
die kürzere Seite um 6 cm und die längere um 3 cm, so erhält man ein neues
Rechteck .Dessen Flächeninhalt ist um 111 cm2 größer als der Flächeninhalt des
ursprünglichen Rechtecks.
Wie lang sind die Seiten des ursprünglichen Rechtecks?
d) Der Winkel α ist dreimal so groß wie sein Nebenwinkel β.
Wie groß sind α und β?
b) Drei Schwestern, Lisa, Susanne und Maria sind zusammen 44 Jahre alt.
Susanne ist 4Jahre älter als Lisa, Maria ist doppelt so alt wie Lisa.
Wie alt ist jedes Mädchen?
c) In einem Rechteck ist eine Seite 5 cm länger als die andere. Vergrößert man
die kürzere Seite um 6 cm und die längere um 3 cm, so erhält man ein neues
Rechteck .Dessen Flächeninhalt ist um 111 cm2 größer als der Flächeninhalt des
ursprünglichen Rechtecks.
Wie lang sind die Seiten des ursprünglichen Rechtecks?
d) Der Winkel α ist dreimal so groß wie sein Nebenwinkel β.
Wie groß sind α und β?
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3. Die Geraden g und h und die Geraden i und k sind jeweils zueinander parallel.
Wie groß sind die Winkel α, β und Υ?
α
β
Υ
55
g
h
k i
Viel Glück!
3. Die Geraden g und h und die Geraden i und k sind jeweils zueinander parallel.
Wie groß sind die Winkel α, β und Υ?
α
β
Υ
55
g
h
k i
Viel Glück!
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Lösung: 2. Klassenarbeit 8. Klasse Realschule NRW
1. Löse die Gleichungen. Notiere jede Äquivalenzumformung.
a) (y + 6)2 = (y + 6) (y – 6)
y2 + 12y + 36 = y2 – 36 | - 36
y2 + 12y = y2 – 72 | - y2
12y = -72 | : 12
y = -6
c) 5(5 + x) – (4 + x) (4 – x) + x2 = (x + 3) 2 – x + (3 + x) (x – 2)
25 + 5x – (16 – x2) + x2 = x2 + 6x + 9 – x + 3x – 6 + x2 - 2x
25 + 5x – 16 + x2 + x2 = 2x2 + 6x +3
5x + 9 + 2x2 = 2x2 + 6x +3 | - 2x2
5x + 9 = 6x + 3 | - 5x
9 = x + 3 | - 3
6 = x
2. Löse die Rätsel. Stelle vorher jeweils eine Gleichung auf.
a) Wenn man vom Fünffachen einer Zahl 17 subtrahiert, erhält man 43.
Wie heißt diese gesuchte Zahl?
Eine Zahl: x
Das Fünffache einer Zahl: 5x
17 subtrahieren: -17
erhält man 43: = 43
Antwort: Die gesuchte Zahl heißt 12.
b) Drei Schwestern, Lisa, Susanne und Maria sind zusammen 44 Jahre alt.
Susanne ist 4 Jahre älter als Lisa, Maria ist doppelt so alt wie Lisa.
Wie alt ist jedes Mädchen?
Lisa: x
Susanne: x + 4
Maria: 2x
Alle zusammen: = 44
Antwort: Lisa ist 10, Susanne ist 14 und Maria ist 20.
c) In einem Rechteck ist eine Seite 5 cm länger als die andere. Vergrößert
man die kürzere Seite um 6 cm und die längere um 3 cm, so erhält man ein
neues Rechteck. Dessen Flächeninhalt ist um 111 cm2 größer als der
Flächeninhalt des ursprünglichen Rechtecks.
Wie lang sind die Seiten des ursprünglichen Rechtecks?
altes Rechteck neues Rechteck
x + x + 4 + 2x = 44
4 + 4x = 44 | - 4
4x = 40 | : 10
x = 10
x + 5
x
A = x(x + 5)
x + 5 + 3
A = (x + 6) (x + 8)
5x – 17 = 43 | + 17
5x = 60 | : 5
x = 12
x + 6
Lösung: 2. Klassenarbeit 8. Klasse Realschule NRW
1. Löse die Gleichungen. Notiere jede Äquivalenzumformung.
a) (y + 6)2 = (y + 6) (y – 6)
y2 + 12y + 36 = y2 – 36 | - 36
y2 + 12y = y2 – 72 | - y2
12y = -72 | : 12
y = -6
c) 5(5 + x) – (4 + x) (4 – x) + x2 = (x + 3) 2 – x + (3 + x) (x – 2)
25 + 5x – (16 – x2) + x2 = x2 + 6x + 9 – x + 3x – 6 + x2 - 2x
25 + 5x – 16 + x2 + x2 = 2x2 + 6x +3
5x + 9 + 2x2 = 2x2 + 6x +3 | - 2x2
5x + 9 = 6x + 3 | - 5x
9 = x + 3 | - 3
6 = x
2. Löse die Rätsel. Stelle vorher jeweils eine Gleichung auf.
a) Wenn man vom Fünffachen einer Zahl 17 subtrahiert, erhält man 43.
Wie heißt diese gesuchte Zahl?
Eine Zahl: x
Das Fünffache einer Zahl: 5x
17 subtrahieren: -17
erhält man 43: = 43
Antwort: Die gesuchte Zahl heißt 12.
b) Drei Schwestern, Lisa, Susanne und Maria sind zusammen 44 Jahre alt.
Susanne ist 4 Jahre älter als Lisa, Maria ist doppelt so alt wie Lisa.
Wie alt ist jedes Mädchen?
Lisa: x
Susanne: x + 4
Maria: 2x
Alle zusammen: = 44
Antwort: Lisa ist 10, Susanne ist 14 und Maria ist 20.
c) In einem Rechteck ist eine Seite 5 cm länger als die andere. Vergrößert
man die kürzere Seite um 6 cm und die längere um 3 cm, so erhält man ein
neues Rechteck. Dessen Flächeninhalt ist um 111 cm2 größer als der
Flächeninhalt des ursprünglichen Rechtecks.
Wie lang sind die Seiten des ursprünglichen Rechtecks?
altes Rechteck neues Rechteck
x + x + 4 + 2x = 44
4 + 4x = 44 | - 4
4x = 40 | : 10
x = 10
x + 5
x
A = x(x + 5)
x + 5 + 3
A = (x + 6) (x + 8)
5x – 17 = 43 | + 17
5x = 60 | : 5
x = 12
x + 6
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x(x + 5) + 111 = (x + 6) (x + 8)
x2 + 5x + 111 = x2 + 8x + 6x + 48 | - x2
5x + 111 = 14x + 48 | - 48
5x + 63 = 14x | - 5x
63 = 9x | : 9
7 = x
Antwort: Die Seiten des ursprünglichen Rechtecks sind 7 cm und 12 cm lang
d) Der Winkel α ist dreimal so groß wie sein Nebenwinkel β.
Wie groß sind α und β?
β = β β + 3β = 180
α = 3 β 4β = 180 |:4
β = 45 α = 3 · 45° = 135°
Antwort: β hat 45° und α hat 135°.
3. Die Geraden g und h und die Geraden i und k sind jeweils zueinander parallel.
Wie groß sind die Winkel α, β und Υ?
Scheitelwinkel sind gleich groß => α = 55°.
α + β = 180° => β = 180° - 55° => β = 125°
β = γ => γ = 125°
α = 55°
β = 125°
Υ = 125°
α
β
Υ
55 g
h
k i
111 muss auf dieser Seite, da die andere Seite um 111cm2 größer ist und
es muss ein Gleichgewicht auf beiden Seiten bestehen.
x(x + 5) + 111 = (x + 6) (x + 8)
x2 + 5x + 111 = x2 + 8x + 6x + 48 | - x2
5x + 111 = 14x + 48 | - 48
5x + 63 = 14x | - 5x
63 = 9x | : 9
7 = x
Antwort: Die Seiten des ursprünglichen Rechtecks sind 7 cm und 12 cm lang
d) Der Winkel α ist dreimal so groß wie sein Nebenwinkel β.
Wie groß sind α und β?
β = β β + 3β = 180
α = 3 β 4β = 180 |:4
β = 45 α = 3 · 45° = 135°
Antwort: β hat 45° und α hat 135°.
3. Die Geraden g und h und die Geraden i und k sind jeweils zueinander parallel.
Wie groß sind die Winkel α, β und Υ?
Scheitelwinkel sind gleich groß => α = 55°.
α + β = 180° => β = 180° - 55° => β = 125°
β = γ => γ = 125°
α = 55°
β = 125°
Υ = 125°
α
β
Υ
55 g
h
k i
111 muss auf dieser Seite, da die andere Seite um 111cm2 größer ist und
es muss ein Gleichgewicht auf beiden Seiten bestehen.
