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Lineare Funktionen
Wie lautet die Gleichung der Geraden, die durch folgende Punkte geht?1.
a) A(0/5) und B(4/2) b) A(1/4) und B(–1/8)
Bestimme in den folgenden Funktionsgleichungen die Steigung m bzw. den
y–Achsenabschnitt b so, dass der Graf der Funktionsgleichung durch den
jeweils gegebenen Punkt P geht.
1
1a) y x b P (0 / 1)3= + 2b) y mx 5 P (2 / 3)= +
2.
Berechne aus den beiden gefundenen Funktionsgleichungen den
Schnittpunkt ihrer Grafen.
3.
Gegeben ist die Funktionsgleichung
1y x 2 2= + .
a) a) Wie lautet die Gleichung der Umkehrfunktion?
b) b) Zeichne den Grafen der Funktion und der Umkehrfunktion in
ein gemeinsames Achsenkreuz.
c) c) Zeige rechnerisch, dass der Schnittpunkt S der beiden Grafen
auf der Geraden y = x liegt.
Bestimme zeichnerisch und rechnerisch die Ecken des Dreiecks, dessen
Seiten auf den Geraden mit folgenden Gleichungen liegen:
4.
g1: 2y – x – 4 = 0 g2: 4y + x – 2 = 0 g3: y = 2x – 4
5. Die zwei Geraden g1 und g2 schneiden sich im Punkt S. g1 geht durch die
Punkte P(0/–2) und Q(4,5/4). g2 ist festgelegt durch die Gleichung
3y + 2x – 12 = 0.
a) a) Erstelle die Gleichung von g1 und bringe beide Gleichungen auf
die Form y = mx + b
b) b) Zeichne die Grafen der Geraden und gib die Koordinaten des
Schnittpunktes S an.
c) c) Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes S.
6. Gegeben sind die Geraden mit den Gleichungen
1
2
3
g : y 0
1 1 g : x y 0 4 2
1g : y x 3 2
=
− + − =
= − +
a) a) Zeichne die Geraden in ein rechtwinkliges Achsenkreuz.
b) b) Berechne die Schnittpunkte zwischen den Geraden.
c) c) Der Punkt D(x/2,5) liegt auf der Geraden g3. Berechne x.
d) d) Berechne den Flächeninhalt der Dreiecke ABC und ACD.
Lineare Funktionen
Wie lautet die Gleichung der Geraden, die durch folgende Punkte geht?1.
a) A(0/5) und B(4/2) b) A(1/4) und B(–1/8)
Bestimme in den folgenden Funktionsgleichungen die Steigung m bzw. den
y–Achsenabschnitt b so, dass der Graf der Funktionsgleichung durch den
jeweils gegebenen Punkt P geht.
1
1a) y x b P (0 / 1)3= + 2b) y mx 5 P (2 / 3)= +
2.
Berechne aus den beiden gefundenen Funktionsgleichungen den
Schnittpunkt ihrer Grafen.
3.
Gegeben ist die Funktionsgleichung
1y x 2 2= + .
a) a) Wie lautet die Gleichung der Umkehrfunktion?
b) b) Zeichne den Grafen der Funktion und der Umkehrfunktion in
ein gemeinsames Achsenkreuz.
c) c) Zeige rechnerisch, dass der Schnittpunkt S der beiden Grafen
auf der Geraden y = x liegt.
Bestimme zeichnerisch und rechnerisch die Ecken des Dreiecks, dessen
Seiten auf den Geraden mit folgenden Gleichungen liegen:
4.
g1: 2y – x – 4 = 0 g2: 4y + x – 2 = 0 g3: y = 2x – 4
5. Die zwei Geraden g1 und g2 schneiden sich im Punkt S. g1 geht durch die
Punkte P(0/–2) und Q(4,5/4). g2 ist festgelegt durch die Gleichung
3y + 2x – 12 = 0.
a) a) Erstelle die Gleichung von g1 und bringe beide Gleichungen auf
die Form y = mx + b
b) b) Zeichne die Grafen der Geraden und gib die Koordinaten des
Schnittpunktes S an.
c) c) Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes S.
6. Gegeben sind die Geraden mit den Gleichungen
1
2
3
g : y 0
1 1 g : x y 0 4 2
1g : y x 3 2
=
− + − =
= − +
a) a) Zeichne die Geraden in ein rechtwinkliges Achsenkreuz.
b) b) Berechne die Schnittpunkte zwischen den Geraden.
c) c) Der Punkt D(x/2,5) liegt auf der Geraden g3. Berechne x.
d) d) Berechne den Flächeninhalt der Dreiecke ABC und ACD.
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Zwei Geraden g1 und g2 sind durch ihre Funktionsgleichungen gegeben:
g1: 3y + 4x = 24 g2: 1,5y + x = 9
7.
a) a) Bestimme zeichnerisch und rechnerisch die Koordinaten des
Schnittpunktes S von g1 und g2.
b) b) Berechne die Fläche, die die Geraden g1 und g2 mit der x–Achse
und
y–Achse im 1. Quadranten einschließen. (Eckpunkte dürfen aus der
Zeichnung abgelesen werden.)
c) c) Bestimme durch Rechnung die Funktionsgleichung einer
Geraden g3, die durch S und Punkt P(1/6) geht.
8. Gegeben sind die Geraden g1 und g2 mit den Gleichungen
1
2
g : 2x y 1 0
3g : y x 0 2
− + =
+ =
a) a) Zeichne die Geraden g1 und g2 mit den Gleichungen in ein
rechtwinkliges Koordinatensystem und lies die Koordinaten des
Schnittpunktes S ab.
b) b) Berechne die Koordinate des Schnittpunktes.
c) c) Zeichne zu der Geraden g2 die Parallele p, die im Punkt (0/3)
die
y–Achse schneidet. Wie lautet die Gleichung dieser Parallele?
d) d) Prüfe rechnerisch und zeichnerisch nach, ob der Punkt A(3/7)
auf der Geraden g1 und ob der Punkt B (0,5/–1) auf der Geraden g2
liegt.
Zwei Geraden g1 und g2 sind durch ihre Funktionsgleichungen gegeben:
g1: 3y + 4x = 24 g2: 1,5y + x = 9
7.
a) a) Bestimme zeichnerisch und rechnerisch die Koordinaten des
Schnittpunktes S von g1 und g2.
b) b) Berechne die Fläche, die die Geraden g1 und g2 mit der x–Achse
und
y–Achse im 1. Quadranten einschließen. (Eckpunkte dürfen aus der
Zeichnung abgelesen werden.)
c) c) Bestimme durch Rechnung die Funktionsgleichung einer
Geraden g3, die durch S und Punkt P(1/6) geht.
8. Gegeben sind die Geraden g1 und g2 mit den Gleichungen
1
2
g : 2x y 1 0
3g : y x 0 2
− + =
+ =
a) a) Zeichne die Geraden g1 und g2 mit den Gleichungen in ein
rechtwinkliges Koordinatensystem und lies die Koordinaten des
Schnittpunktes S ab.
b) b) Berechne die Koordinate des Schnittpunktes.
c) c) Zeichne zu der Geraden g2 die Parallele p, die im Punkt (0/3)
die
y–Achse schneidet. Wie lautet die Gleichung dieser Parallele?
d) d) Prüfe rechnerisch und zeichnerisch nach, ob der Punkt A(3/7)
auf der Geraden g1 und ob der Punkt B (0,5/–1) auf der Geraden g2
liegt.
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Lineare Funktionen – Lösungen
Wie lautet die Gleichung der Geraden, die durch folgende Punkte geht?1.
a) A(0/5) und B(4/2) b) A(1/4) und B(–1/8)
5 2 m 0 4
3m 4
b 5
3y x 5 4
−= −
= −
=
= − +
4 8 m 1 ( 1)
m 2
b 4 ( 2) 1
b 6
y 2x 6
−= − −
= −
= − − ⋅
=
= − +
Bestimme in den folgenden Funktionsgleichungen die Steigung m bzw. den
y–Achsenabschnitt b so, dass der Graf der Funktionsgleichung durch den
jeweils gegebenen Punkt P geht.
1
1a) y x b P (0 / 1)3= + 2b) y mx 5 P (2 / 3)= +
2.
Berechne aus den beiden gefundenen Funktionsgleichungen den
Schnittpunkt ihrer Grafen.
1
1Aus P (0 / 1) fo lg t b 1; y x 13= = +
a) y mx b
y b m x
3 5 P(2 / 3) : m 12
y x 5
1b) x 1 x 53
x 3
y 2
S(3 / 2)
= +
−=
−= = −
= − +
+ = − +
=
=
Lineare Funktionen – Lösungen
Wie lautet die Gleichung der Geraden, die durch folgende Punkte geht?1.
a) A(0/5) und B(4/2) b) A(1/4) und B(–1/8)
5 2 m 0 4
3m 4
b 5
3y x 5 4
−= −
= −
=
= − +
4 8 m 1 ( 1)
m 2
b 4 ( 2) 1
b 6
y 2x 6
−= − −
= −
= − − ⋅
=
= − +
Bestimme in den folgenden Funktionsgleichungen die Steigung m bzw. den
y–Achsenabschnitt b so, dass der Graf der Funktionsgleichung durch den
jeweils gegebenen Punkt P geht.
1
1a) y x b P (0 / 1)3= + 2b) y mx 5 P (2 / 3)= +
2.
Berechne aus den beiden gefundenen Funktionsgleichungen den
Schnittpunkt ihrer Grafen.
1
1Aus P (0 / 1) fo lg t b 1; y x 13= = +
a) y mx b
y b m x
3 5 P(2 / 3) : m 12
y x 5
1b) x 1 x 53
x 3
y 2
S(3 / 2)
= +
−=
−= = −
= − +
+ = − +
=
=
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3.
Gegeben ist die Funktionsgleichung
1y x 2 2= + .
d) a) Wie lautet die Gleichung der Umkehrfunktion?
e) b) Zeichne den Grafen der Funktion und der Umkehrfunktion in
ein gemeinsames Achsenkreuz.
f) c) Zeige rechnerisch, dass der Schnittpunkt S der beiden Grafen
auf der Geraden y = x liegt.
Lösung a)
Gleichung der Stammfunktion:
1y x 2 2= +
Variablen tauschen:
1x y 2 2= +
Gleichung der Umkehrfunktion:
y = 2x – 4
Lösung b)
Lösung c)
1I. y x 22
II. y 2x 4
1III. 2x 4 x 2 2
x 4
y 4
S(4 / 4)
= +
= −
− = +
=
=
1I. y x 22
II. y x
1III. x x 22
x 4
y 4
S(4 / 4)
= +
=
= +
=
=
I. y 2x 4
II. y x
III. x 2x 4
x 4
y 4
S(4 / 4)
= −
=
= −
=
=
Bestimme zeichnerisch und rechnerisch die Ecken des Dreiecks, dessen
Seiten auf den Geraden mit folgenden Gleichungen liegen:
4.
g1: 2y – x – 4 = 0 g2: 4y + x – 2 = 0 g3: y = 2x – 4
1
2
3
1g : 2y x 4 0 y x 2 2
1 1 g : 4y x 2 0 y x 4 2
g : y 2x 4
− − = ⇔ = +
+ − = ⇔ = − +
= −
3.
Gegeben ist die Funktionsgleichung
1y x 2 2= + .
d) a) Wie lautet die Gleichung der Umkehrfunktion?
e) b) Zeichne den Grafen der Funktion und der Umkehrfunktion in
ein gemeinsames Achsenkreuz.
f) c) Zeige rechnerisch, dass der Schnittpunkt S der beiden Grafen
auf der Geraden y = x liegt.
Lösung a)
Gleichung der Stammfunktion:
1y x 2 2= +
Variablen tauschen:
1x y 2 2= +
Gleichung der Umkehrfunktion:
y = 2x – 4
Lösung b)
Lösung c)
1I. y x 22
II. y 2x 4
1III. 2x 4 x 2 2
x 4
y 4
S(4 / 4)
= +
= −
− = +
=
=
1I. y x 22
II. y x
1III. x x 22
x 4
y 4
S(4 / 4)
= +
=
= +
=
=
I. y 2x 4
II. y x
III. x 2x 4
x 4
y 4
S(4 / 4)
= −
=
= −
=
=
Bestimme zeichnerisch und rechnerisch die Ecken des Dreiecks, dessen
Seiten auf den Geraden mit folgenden Gleichungen liegen:
4.
g1: 2y – x – 4 = 0 g2: 4y + x – 2 = 0 g3: y = 2x – 4
1
2
3
1g : 2y x 4 0 y x 2 2
1 1 g : 4y x 2 0 y x 4 2
g : y 2x 4
− − = ⇔ = +
+ − = ⇔ = − +
= −
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1 2 g g {A}
1 1 1 x 2 x 2 4 2
x 2
y 1
A( 2 /1)
∩ =
+ = − +
= −
=
−
2 3 g g {B}
1 1 2x 4 x4 2
x 2
y 0
B(2 / 0)
∩ =
− = − +
=
=
1 3 g g {C}
12x 4 x 22
x 4
y 4
C (4 / 4)
∩ =
− = +
=
=
=
5. Die zwei Geraden g1 und g2 schneiden sich im Punkt S. g1 geht durch die
Punkte P(0/–2) und Q(4,5/4). g2 ist festgelegt durch die Gleichung
3y + 2x – 12 = 0.
d) a) Erstelle die Gleichung von g1 und bringe beide Gleichungen auf
die Form y = mx + b
e) b) Zeichne die Grafen der Geraden und gib die Koordinaten des
Schnittpunktes S an.
f) c) Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes S.
Lösung a)
1
2
2 4 m 0 4,5
4m 3
b 2
4y x 2 3
4g : y x 2 3
2g : y x 4 3
− − = −
=
= −
= −
= −
= − +
1 2 g g {A}
1 1 1 x 2 x 2 4 2
x 2
y 1
A( 2 /1)
∩ =
+ = − +
= −
=
−
2 3 g g {B}
1 1 2x 4 x4 2
x 2
y 0
B(2 / 0)
∩ =
− = − +
=
=
1 3 g g {C}
12x 4 x 22
x 4
y 4
C (4 / 4)
∩ =
− = +
=
=
=
5. Die zwei Geraden g1 und g2 schneiden sich im Punkt S. g1 geht durch die
Punkte P(0/–2) und Q(4,5/4). g2 ist festgelegt durch die Gleichung
3y + 2x – 12 = 0.
d) a) Erstelle die Gleichung von g1 und bringe beide Gleichungen auf
die Form y = mx + b
e) b) Zeichne die Grafen der Geraden und gib die Koordinaten des
Schnittpunktes S an.
f) c) Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes S.
Lösung a)
1
2
2 4 m 0 4,5
4m 3
b 2
4y x 2 3
4g : y x 2 3
2g : y x 4 3
− − = −
=
= −
= −
= −
= − +
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Lösung b)
Lösung c)
4I. y x 23
2II. y x 43
4 2 III. x 2 x 43 3
x 3
y 2 S(3 / 2)
= −
= − +
− = − +
=
=
Gegeben sind die Geraden mit den Gleichungen
1
2
3
g : y 0
1 1 g : x y 0 4 2
1g : y x 3 2
=
− + − =
= − +
e) a) Zeichne die Geraden in ein rechtwinkliges Achsenkreuz.
f) b) Berechne die Schnittpunkte zwischen den Geraden.
g) c) Der Punkt D(x/2,5) liegt auf der Geraden g3. Berechne x.
h) d) Berechne den Flächeninhalt der Dreiecke ABC und ACD.
6.
Lösung a)
1 2 3
1 1 1 g : y 0 g : y x g : y x 3 4 2 2 = = + = − +
Lösung b)
Lösung c)
4I. y x 23
2II. y x 43
4 2 III. x 2 x 43 3
x 3
y 2 S(3 / 2)
= −
= − +
− = − +
=
=
Gegeben sind die Geraden mit den Gleichungen
1
2
3
g : y 0
1 1 g : x y 0 4 2
1g : y x 3 2
=
− + − =
= − +
e) a) Zeichne die Geraden in ein rechtwinkliges Achsenkreuz.
f) b) Berechne die Schnittpunkte zwischen den Geraden.
g) c) Der Punkt D(x/2,5) liegt auf der Geraden g3. Berechne x.
h) d) Berechne den Flächeninhalt der Dreiecke ABC und ACD.
6.
Lösung a)
1 2 3
1 1 1 g : y 0 g : y x g : y x 3 4 2 2 = = + = − +
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A B
C
D
g1
g2
g3
3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
4
3
2
1
Lösung b)
I. y 0
1 1 II. y x4 2
1 1 III. x 04 2
x 2
A( 2 / 0)
=
= +
+ =
= −
−
I. y 0
1II. y x 32
1III. x 3 02
x 6
B(6 / 0)
=
= +
− + =
=
1 1 I. y x4 2
1II. y x 32
1 1 1 III. x x 34 2 2
1x 3 3
1y 1 3
1 1 C(3 /1 )3 3
= +
= − +
+ = − +
=
=
Lösung c)
D(x / 2,5)
1y x 3 2
x 2y 6
x 1 D(1/ 2,5)
= − +
= − +
= ⇒
Lösung d)
ABC
ABD
ACD
18 1 13A 5 (FE) 2 3
8 2,5 A 10 (FE)2
1 2 A 10 5 4 (FE)3 3
∆
⋅
= =
⋅= =
= − =
Zwei Geraden g1 und g2 sind durch ihre Funktionsgleichungen gegeben:
g1: 3y + 4x = 24 g2: 1,5y + x = 9
d) a) Bestimme zeichnerisch und rechnerisch die Koordinaten des
Schnittpunktes S von g1 und g2.
e) b) Berechne die Fläche, die die Geraden g1 und g2 mit der x–Achse
und
y–Achse im 1. Quadranten einschließen. (Eckpunkte dürfen aus der
Zeichnung abgelesen werden.)
f) c) Bestimme durch Rechnung die Funktionsgleichung einer
Geraden g3, die durch S und Punkt P(1/6) geht.
7.
A B
C
D
g1
g2
g3
3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
4
3
2
1
Lösung b)
I. y 0
1 1 II. y x4 2
1 1 III. x 04 2
x 2
A( 2 / 0)
=
= +
+ =
= −
−
I. y 0
1II. y x 32
1III. x 3 02
x 6
B(6 / 0)
=
= +
− + =
=
1 1 I. y x4 2
1II. y x 32
1 1 1 III. x x 34 2 2
1x 3 3
1y 1 3
1 1 C(3 /1 )3 3
= +
= − +
+ = − +
=
=
Lösung c)
D(x / 2,5)
1y x 3 2
x 2y 6
x 1 D(1/ 2,5)
= − +
= − +
= ⇒
Lösung d)
ABC
ABD
ACD
18 1 13A 5 (FE) 2 3
8 2,5 A 10 (FE)2
1 2 A 10 5 4 (FE)3 3
∆
⋅
= =
⋅= =
= − =
Zwei Geraden g1 und g2 sind durch ihre Funktionsgleichungen gegeben:
g1: 3y + 4x = 24 g2: 1,5y + x = 9
d) a) Bestimme zeichnerisch und rechnerisch die Koordinaten des
Schnittpunktes S von g1 und g2.
e) b) Berechne die Fläche, die die Geraden g1 und g2 mit der x–Achse
und
y–Achse im 1. Quadranten einschließen. (Eckpunkte dürfen aus der
Zeichnung abgelesen werden.)
f) c) Bestimme durch Rechnung die Funktionsgleichung einer
Geraden g3, die durch S und Punkt P(1/6) geht.
7.
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Lösung a)
1
2
4g : 3y 4x 24 y x 83
2g : 1,5y x 9 y x 6 3
4I. y x 83
2II. y x 63
4 2 III. x 8 x 63 3
x 3
y 4
S(3 / 4)
+ = ⇔ = − +
+ = ⇔ = − +
= − +
= − +
− + = − +
=
=
Lösung b)
Die Fläche lässt sich in zwei Teilflächen aufteilen, so dass sich ergibt:
ges
3 2 (6 3) A 4 21 2 2
⋅ + = + ⋅ =
Lösung c)
S(3/4); P(1/6)
4 6 m 1 3 1
b y mx
b 4 ( 1) 3
b 7
y x 7
−= = − −
= −
= − − ⋅
=
= − +
Lösung a)
1
2
4g : 3y 4x 24 y x 83
2g : 1,5y x 9 y x 6 3
4I. y x 83
2II. y x 63
4 2 III. x 8 x 63 3
x 3
y 4
S(3 / 4)
+ = ⇔ = − +
+ = ⇔ = − +
= − +
= − +
− + = − +
=
=
Lösung b)
Die Fläche lässt sich in zwei Teilflächen aufteilen, so dass sich ergibt:
ges
3 2 (6 3) A 4 21 2 2
⋅ + = + ⋅ =
Lösung c)
S(3/4); P(1/6)
4 6 m 1 3 1
b y mx
b 4 ( 1) 3
b 7
y x 7
−= = − −
= −
= − − ⋅
=
= − +
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8. Gegeben sind die Geraden g1 und g2 mit den Gleichungen
1
2
g : 2x y 1 0
3g : y x 0 2
− + =
+ =
e) a) Zeichne die Geraden g1 und g2 mit den Gleichungen in ein
rechtwinkliges Koordinatensystem und lies die Koordinaten des
Schnittpunktes S ab.
f) b) Berechne die Koordinate des Schnittpunktes.
g) c) Zeichne zu der Geraden g2 die Parallele p, die im Punkt (0/3)
die
y–Achse schneidet. Wie lautet die Gleichung dieser Parallele?
h) d) Prüfe rechnerisch und zeichnerisch nach, ob der Punkt A(3/7)
auf der Geraden g1 und ob der Punkt B (0,5/–1) auf der Geraden g2
liegt.
Lösung a)
1
2
g : 2x y 1 0 y 2x 1
3 3 g : y x 0 y x 2 2
− + = ⇔ = +
+ = ⇔ = −
P
A
S
g1
g2
B
-2 -1 1 2 3
7
6
5
4
3
2
1
-1
Lösung b)
I. y 2x 1
3II. y x2
3III. 2x 1 x2
2x 7
3 2 3 y S( / ) 7 7 7
= +
= −
+ = −
= −
= −
Lösung c)
3m 2
b 3
3y x 3 2
= −
=
= − +
Lösung d)
1
2
y 2x 1; A(3 / 7)
7 2 3 1 (w); A g
3 1 y x; B( / 1) 2 2
3 1 1 (f ); B g 2 2
= +
= ⋅ + ∈
= − −
− = − ⋅ ∉
8. Gegeben sind die Geraden g1 und g2 mit den Gleichungen
1
2
g : 2x y 1 0
3g : y x 0 2
− + =
+ =
e) a) Zeichne die Geraden g1 und g2 mit den Gleichungen in ein
rechtwinkliges Koordinatensystem und lies die Koordinaten des
Schnittpunktes S ab.
f) b) Berechne die Koordinate des Schnittpunktes.
g) c) Zeichne zu der Geraden g2 die Parallele p, die im Punkt (0/3)
die
y–Achse schneidet. Wie lautet die Gleichung dieser Parallele?
h) d) Prüfe rechnerisch und zeichnerisch nach, ob der Punkt A(3/7)
auf der Geraden g1 und ob der Punkt B (0,5/–1) auf der Geraden g2
liegt.
Lösung a)
1
2
g : 2x y 1 0 y 2x 1
3 3 g : y x 0 y x 2 2
− + = ⇔ = +
+ = ⇔ = −
P
A
S
g1
g2
B
-2 -1 1 2 3
7
6
5
4
3
2
1
-1
Lösung b)
I. y 2x 1
3II. y x2
3III. 2x 1 x2
2x 7
3 2 3 y S( / ) 7 7 7
= +
= −
+ = −
= −
= −
Lösung c)
3m 2
b 3
3y x 3 2
= −
=
= − +
Lösung d)
1
2
y 2x 1; A(3 / 7)
7 2 3 1 (w); A g
3 1 y x; B( / 1) 2 2
3 1 1 (f ); B g 2 2
= +
= ⋅ + ∈
= − −
− = − ⋅ ∉
