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Prüfungsaufgaben für den Realschulabschluss - Trigonometrie
Ein 38 m hoher Aussichtsturm steht 120 m vom diesseitigen Ufer eines Sees
entfernt. Das jenseitige Ufer erscheint von der Turmspitze aus unter einem
Tiefenwinkel von 5,30.
a) Fertige eine Skizze an.
b) Wie breit ist der See?
c) Unter welchem Höhenwinkel erscheint die Turmspitze vom diesseitigen Ufer
aus?
Ein Flugzeug fliegt bei starkem Südwestwind (13,9 m/s) mit 643 km/h rw. 1080.
Welchen Kurs steuert der Pilot und wie groß ist die Eigengeschwindigkeit des
Flugzeugs?
Ein Denkmal besteht aus einem Sockel und einer darauf stehenden Figur. Ein
Beobachter peilt aus 8,60 m die Oberkante des Sockels unter 230 und die
Oberkante der Figur unter 340 an. Die Höhe des Messgerätes beträgt 1,60 m.
Berechne die Höhe des Sockels, die Höhe der Figur und die des gesamten
Denkmals. Rechne auf cm genau. Fertige eine Planfigur an.
Ein Flugzeug hat eine Flughöhe von 2424 m und wird von zwei Orten, die in
Flugrichtung – vor dem Flugzeug – hintereinander liegen, unter den
Erhebungswinkeln 9,50 und 16,10 gesichtet.
a) Fertige eine Planfigur an.
b) Berechne die Entfernung der Orte voneinander bei gleicher Höhe über dem
Meeresspiegel.
c) Berechne den Abstand des Flugzeuges vom weiter entfernten Ort.
Von einem Punkt A gehen zwei Wege aus: AB von 88 m und AC von 76 m Länge.
Sie schließen einen Winkel von 420 ein. Die beiden Endpunkte sollen durch einen
dritten Weg verbunden werden.
Berechne die Länge dieses Weges, die Winkel zu den beiden vorhandenen Wegen
sowie die von allen drei Wegen eingeschlossene Fläche. (Planfigur)
Eine Landstraße und eine Bahnlinie verlaufen parallel zueinander. Von 2
Bushaltestellen A und B, die einen Abstand von 930 m haben, führt jeweils ein
geradliniger Weg zum Bahnhof C. ( AC 560 m; BC 485 m) = =
a) Zeichne eine Planfigur.
b) Unter welchem Winkel treffen die Wege am Bahnhof aufeinander?
Prüfungsaufgaben für den Realschulabschluss - Trigonometrie
Ein 38 m hoher Aussichtsturm steht 120 m vom diesseitigen Ufer eines Sees
entfernt. Das jenseitige Ufer erscheint von der Turmspitze aus unter einem
Tiefenwinkel von 5,30.
a) Fertige eine Skizze an.
b) Wie breit ist der See?
c) Unter welchem Höhenwinkel erscheint die Turmspitze vom diesseitigen Ufer
aus?
Ein Flugzeug fliegt bei starkem Südwestwind (13,9 m/s) mit 643 km/h rw. 1080.
Welchen Kurs steuert der Pilot und wie groß ist die Eigengeschwindigkeit des
Flugzeugs?
Ein Denkmal besteht aus einem Sockel und einer darauf stehenden Figur. Ein
Beobachter peilt aus 8,60 m die Oberkante des Sockels unter 230 und die
Oberkante der Figur unter 340 an. Die Höhe des Messgerätes beträgt 1,60 m.
Berechne die Höhe des Sockels, die Höhe der Figur und die des gesamten
Denkmals. Rechne auf cm genau. Fertige eine Planfigur an.
Ein Flugzeug hat eine Flughöhe von 2424 m und wird von zwei Orten, die in
Flugrichtung – vor dem Flugzeug – hintereinander liegen, unter den
Erhebungswinkeln 9,50 und 16,10 gesichtet.
a) Fertige eine Planfigur an.
b) Berechne die Entfernung der Orte voneinander bei gleicher Höhe über dem
Meeresspiegel.
c) Berechne den Abstand des Flugzeuges vom weiter entfernten Ort.
Von einem Punkt A gehen zwei Wege aus: AB von 88 m und AC von 76 m Länge.
Sie schließen einen Winkel von 420 ein. Die beiden Endpunkte sollen durch einen
dritten Weg verbunden werden.
Berechne die Länge dieses Weges, die Winkel zu den beiden vorhandenen Wegen
sowie die von allen drei Wegen eingeschlossene Fläche. (Planfigur)
Eine Landstraße und eine Bahnlinie verlaufen parallel zueinander. Von 2
Bushaltestellen A und B, die einen Abstand von 930 m haben, führt jeweils ein
geradliniger Weg zum Bahnhof C. ( AC 560 m; BC 485 m) = =
a) Zeichne eine Planfigur.
b) Unter welchem Winkel treffen die Wege am Bahnhof aufeinander?
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c) Es ist eine neue Bushaltestelle geplant, die zwischen A und B liegt und die
kürzeste Verbindung zum Bahnhof ermöglichen soll. Wie weit wird die neue
Haltestelle von den alten Bushaltestellen entfernt sein?
Von einem Auto aus sieht der Fahrer die Spitze eines Sendemastes unter einem
Höhenwinkel von a = 420. Nach einer Fahrzeit von 35 s mit 20 m/s beträgt der
Höhenwinkel a1 = 650. Das Auto fährt mit gleichbleibender Geschwindigkeit auf
horizontaler, gerader Straße auf den 470 m hohen Berg zu, der den Mast trägt.
a) Wie weit ist das Fahrzeug bei beiden Peilungen von der Mastspitze entfernt?
b) Wie hoch ist der Sendemast?
Ein Bergsteiger ist an einer 800 m senkrecht abfallenden Steilwand über den
Rand gestürzt und irgendwo hängen geblieben. Seine Kameraden wollen
versuchen, von oben ein Seil zu ihm herabzulassen. Dieses Seil können sie per
Funk von einer Berghütte anfordern. Diese Hütte befindet sich in gleicher Höhe
wie der Fuß der Steilwand.
Der Rettungsposten in der Berghütte sieht den abgestürzten Bergsteiger unter
einem Höhenwinkel von 38016‘ und die auf der Abbruchkante stehenden Retter
unter einem Höhenwinkel von 42020‘.
a) Fertige eine Planskizze an und benenne sie mit den von dir benutzten
Variablen.
b) Wie lang muss das angeforderte Seil mindestens sein, um den Verunglückten
von oben zu erreichen?
Von den Endpunkten A und B einer 650 m langen Standlinie am Ufer eines
Gewässers werden zwei Schiffe C und D (Schiffsmitte) unter folgenden Winkeln
angepeilt:
= α = ° = α = ° = = ° = = ° 1 2 1 2 DAB 80,8 ; CAB 50,1 , CBA ß 78,8 und DBA ß 36,1
Wie weit liegen die Schiffsmittelpunkte voneinander entfernt?
Die geradlinigen Arme eines Flussdeltas, die einen Winkel von 390 bilden,
schneiden ein dreieckiges Stück Land ab. Die Arme sind 17,4 km und 34,3 km
lang.
a) Fertige eine Planskizze an und benenne sie mit den von dir benutzten
Variablen.
b) Wie groß ist das Landstück zwischen den Flussarmen?
c) Wie groß ist der Umfang des Landstücks zwischen den Flussarmen?
d) Welchen Winkel bildet der längere Flussarm mit der geradlinigen Küste?
c) Es ist eine neue Bushaltestelle geplant, die zwischen A und B liegt und die
kürzeste Verbindung zum Bahnhof ermöglichen soll. Wie weit wird die neue
Haltestelle von den alten Bushaltestellen entfernt sein?
Von einem Auto aus sieht der Fahrer die Spitze eines Sendemastes unter einem
Höhenwinkel von a = 420. Nach einer Fahrzeit von 35 s mit 20 m/s beträgt der
Höhenwinkel a1 = 650. Das Auto fährt mit gleichbleibender Geschwindigkeit auf
horizontaler, gerader Straße auf den 470 m hohen Berg zu, der den Mast trägt.
a) Wie weit ist das Fahrzeug bei beiden Peilungen von der Mastspitze entfernt?
b) Wie hoch ist der Sendemast?
Ein Bergsteiger ist an einer 800 m senkrecht abfallenden Steilwand über den
Rand gestürzt und irgendwo hängen geblieben. Seine Kameraden wollen
versuchen, von oben ein Seil zu ihm herabzulassen. Dieses Seil können sie per
Funk von einer Berghütte anfordern. Diese Hütte befindet sich in gleicher Höhe
wie der Fuß der Steilwand.
Der Rettungsposten in der Berghütte sieht den abgestürzten Bergsteiger unter
einem Höhenwinkel von 38016‘ und die auf der Abbruchkante stehenden Retter
unter einem Höhenwinkel von 42020‘.
a) Fertige eine Planskizze an und benenne sie mit den von dir benutzten
Variablen.
b) Wie lang muss das angeforderte Seil mindestens sein, um den Verunglückten
von oben zu erreichen?
Von den Endpunkten A und B einer 650 m langen Standlinie am Ufer eines
Gewässers werden zwei Schiffe C und D (Schiffsmitte) unter folgenden Winkeln
angepeilt:
= α = ° = α = ° = = ° = = ° 1 2 1 2 DAB 80,8 ; CAB 50,1 , CBA ß 78,8 und DBA ß 36,1
Wie weit liegen die Schiffsmittelpunkte voneinander entfernt?
Die geradlinigen Arme eines Flussdeltas, die einen Winkel von 390 bilden,
schneiden ein dreieckiges Stück Land ab. Die Arme sind 17,4 km und 34,3 km
lang.
a) Fertige eine Planskizze an und benenne sie mit den von dir benutzten
Variablen.
b) Wie groß ist das Landstück zwischen den Flussarmen?
c) Wie groß ist der Umfang des Landstücks zwischen den Flussarmen?
d) Welchen Winkel bildet der längere Flussarm mit der geradlinigen Küste?
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Lösungen
Ein 38 m hoher Aussichtsturm steht 120 m vom diesseitigen Ufer eines Sees
entfernt. Das jenseitige Ufer erscheint von der Turmspitze aus unter einem
Tiefenwinkel von 5,30.
d) Fertige eine Skizze an.
e) Wie breit ist der See?
f) Unter welchem Höhenwinkel erscheint die Turmspitze vom diesseitigen Ufer
aus?
Lösung
a)
Gegeben: t = 38 m; c = 120 m; α = 5,30
b) Berechnung der Seebreite:
ß1 = α 1
tsinß b
b 411,38 [m]
=
=
1
acosß b
a 409,62 [m]
=
=
s = a – c
s = 289,63 [m]
c) Berechnung des Höhenwinkels:
ttanß c
ß 17,57
=
= °
Der See ist ca. 290 m breit; die Turmspitze erscheint unter dem Höhenwinkel
17,570.
Lösungen
Ein 38 m hoher Aussichtsturm steht 120 m vom diesseitigen Ufer eines Sees
entfernt. Das jenseitige Ufer erscheint von der Turmspitze aus unter einem
Tiefenwinkel von 5,30.
d) Fertige eine Skizze an.
e) Wie breit ist der See?
f) Unter welchem Höhenwinkel erscheint die Turmspitze vom diesseitigen Ufer
aus?
Lösung
a)
Gegeben: t = 38 m; c = 120 m; α = 5,30
b) Berechnung der Seebreite:
ß1 = α 1
tsinß b
b 411,38 [m]
=
=
1
acosß b
a 409,62 [m]
=
=
s = a – c
s = 289,63 [m]
c) Berechnung des Höhenwinkels:
ttanß c
ß 17,57
=
= °
Der See ist ca. 290 m breit; die Turmspitze erscheint unter dem Höhenwinkel
17,570.
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Ein Flugzeug fliegt bei starkem Südwestwind (13,9 m/s) mit 643 km/h rw. 1080.
Welchen Kurs steuert der Pilot und wie groß ist die Eigengeschwindigkeit des
Flugzeugs?
Lösung:
13,9 m/s = 50,04 km/h
Berechnung von x:
0x² 50,04² 643² 2 50,04 643 cos 63
x 621,883 [km]
= + − ⋅ ⋅ ⋅
=
Berechnung von α:
0
sin 50,04
sin 63 621,883
4,11
α =
α = °
Der Kurs beträgt: 1080 + 4,110 = 112,110
Die Eigengeschwindigkeit ist ca. 622 km/h.
Ein Flugzeug fliegt bei starkem Südwestwind (13,9 m/s) mit 643 km/h rw. 1080.
Welchen Kurs steuert der Pilot und wie groß ist die Eigengeschwindigkeit des
Flugzeugs?
Lösung:
13,9 m/s = 50,04 km/h
Berechnung von x:
0x² 50,04² 643² 2 50,04 643 cos 63
x 621,883 [km]
= + − ⋅ ⋅ ⋅
=
Berechnung von α:
0
sin 50,04
sin 63 621,883
4,11
α =
α = °
Der Kurs beträgt: 1080 + 4,110 = 112,110
Die Eigengeschwindigkeit ist ca. 622 km/h.
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Ein Denkmal besteht aus einem Sockel und einer darauf stehenden Figur. Ein
Beobachter peilt aus 8,60 m die Oberkante des Sockels unter 230 und die
Oberkante der Figur unter 340 an. Die Höhe des Messgerätes beträgt 1,60 m.
Berechne die Höhe des Sockels, die Höhe der Figur und die des gesamten
Denkmals. Rechne auf cm genau. Fertige eine Planfigur an.
Lösung:
Gegeben:
a = 8,60 m; a = 230; ß = 340; h = 1,60 m
Berechnung von x und y:
ytan a
y a tan 3,650 [m]
x y tanß a
x y a tanß 5,801 [m]
x 2,151 [m]
α =
= ⋅ α =
+=
+ = ⋅ =
=
h + y = 5,25 [m]
h + y + x = 7,4 [m]
Das gesamte Denkmal hat eine Höhe von 7,40 m, der Sockel ist 5,25 m hoch, die
Figur 2,15 m.
Ein Denkmal besteht aus einem Sockel und einer darauf stehenden Figur. Ein
Beobachter peilt aus 8,60 m die Oberkante des Sockels unter 230 und die
Oberkante der Figur unter 340 an. Die Höhe des Messgerätes beträgt 1,60 m.
Berechne die Höhe des Sockels, die Höhe der Figur und die des gesamten
Denkmals. Rechne auf cm genau. Fertige eine Planfigur an.
Lösung:
Gegeben:
a = 8,60 m; a = 230; ß = 340; h = 1,60 m
Berechnung von x und y:
ytan a
y a tan 3,650 [m]
x y tanß a
x y a tanß 5,801 [m]
x 2,151 [m]
α =
= ⋅ α =
+=
+ = ⋅ =
=
h + y = 5,25 [m]
h + y + x = 7,4 [m]
Das gesamte Denkmal hat eine Höhe von 7,40 m, der Sockel ist 5,25 m hoch, die
Figur 2,15 m.
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Ein Flugzeug hat eine Flughöhe von 2424 m und wird von zwei Orten, die in
Flugrichtung – vor dem Flugzeug – hintereinander liegen, unter den
Erhebungswinkeln 9,50 und 16,10 gesichtet.
d) Fertige eine Planfigur an.
e) Berechne die Entfernung der Orte voneinander bei gleicher Höhe über dem
Meeresspiegel.
f) Berechne den Abstand des Flugzeuges vom weiter entfernten Ort.
Lösung
a)
Gegeben: a = 9,50; ß = 16,10, h = 2424 m
b)
Berechnung von y:
htanß y
hy 8398 [m]tanß
=
= =
Berechnung von x:
htan x y
hx y 14485 [m]tan
x 6087 [m]
α = +
+ = = α
=
c)
Berechnung von e:
hsin e
he 14686 [m]sin
α =
= = α
Die Orte sind 6087 m voneinander entfernt. Zum Zeitpunkt der Messung hat das
Flugzeug von A einen Abstand von 14686 m.
Ein Flugzeug hat eine Flughöhe von 2424 m und wird von zwei Orten, die in
Flugrichtung – vor dem Flugzeug – hintereinander liegen, unter den
Erhebungswinkeln 9,50 und 16,10 gesichtet.
d) Fertige eine Planfigur an.
e) Berechne die Entfernung der Orte voneinander bei gleicher Höhe über dem
Meeresspiegel.
f) Berechne den Abstand des Flugzeuges vom weiter entfernten Ort.
Lösung
a)
Gegeben: a = 9,50; ß = 16,10, h = 2424 m
b)
Berechnung von y:
htanß y
hy 8398 [m]tanß
=
= =
Berechnung von x:
htan x y
hx y 14485 [m]tan
x 6087 [m]
α = +
+ = = α
=
c)
Berechnung von e:
hsin e
he 14686 [m]sin
α =
= = α
Die Orte sind 6087 m voneinander entfernt. Zum Zeitpunkt der Messung hat das
Flugzeug von A einen Abstand von 14686 m.
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Von einem Punkt A gehen zwei Wege aus: AB von 88 m und AC von 76 m Länge.
Sie schließen einen Winkel von 420 ein. Die beiden Endpunkte sollen durch einen
dritten Weg verbunden werden.
Berechne die Länge dieses Weges, die Winkel zu den beiden vorhandenen Wegen
sowie die von allen drei Wegen eingeschlossene Fläche. (Planfigur)
Lösung
Gegeben:
c = 88 m, b = 76 m, a = 420
Berechnung von x:
x² c² b² 2 b c cos
x 59,83 [m]
= + − ⋅ ⋅ ⋅ α
=
Berechnung von ß:
sinß b
sin x
ß 58,2
=α
= °
Berechnung von γ:
0
0
180 ß
79,8
γ = − α −
γ =
Für die Fläche gilt:
b c sin A 2238 [m²]2
⋅ ⋅ α = =
Der Verbindungsweg wird ca. 60 m lang, die Winkel zu den beiden alten Wegen
betragen 58,20 und 79,80. Die eingeschlossene Fläche ist 2238 m² groß.
Von einem Punkt A gehen zwei Wege aus: AB von 88 m und AC von 76 m Länge.
Sie schließen einen Winkel von 420 ein. Die beiden Endpunkte sollen durch einen
dritten Weg verbunden werden.
Berechne die Länge dieses Weges, die Winkel zu den beiden vorhandenen Wegen
sowie die von allen drei Wegen eingeschlossene Fläche. (Planfigur)
Lösung
Gegeben:
c = 88 m, b = 76 m, a = 420
Berechnung von x:
x² c² b² 2 b c cos
x 59,83 [m]
= + − ⋅ ⋅ ⋅ α
=
Berechnung von ß:
sinß b
sin x
ß 58,2
=α
= °
Berechnung von γ:
0
0
180 ß
79,8
γ = − α −
γ =
Für die Fläche gilt:
b c sin A 2238 [m²]2
⋅ ⋅ α = =
Der Verbindungsweg wird ca. 60 m lang, die Winkel zu den beiden alten Wegen
betragen 58,20 und 79,80. Die eingeschlossene Fläche ist 2238 m² groß.
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Eine Landstraße und eine Bahnlinie verlaufen parallel zueinander. Von 2
Bushaltestellen A und B, die einen Abstand von 930 m haben, führt jeweils ein
geradliniger Weg zum Bahnhof C. ( AC 560 m; BC 485 m) = =
d) Zeichne eine Planfigur.
e) Unter welchem Winkel treffen die Wege am Bahnhof aufeinander?
f) Es ist eine neue Bushaltestelle geplant, die zwischen A und B liegt und die
kürzeste Verbindung zum Bahnhof ermöglichen soll. Wie weit wird die neue
Haltestelle von den alten Bushaltestellen entfernt sein?
Lösung
a)
b) Berechnung von γ:
0
c² a² b² 2ab cos
a² b² c²cos 2ab
125,58
γ
γ
γ
= + −
+ − =
=
c) Berechnung von x und y:
0
sin 485
sin 930
25,1
α =γ
α =
xcos 560
x 507,12 [m]
y 930 x
y 422,88 [m]
α =
=
= −
=
Die Wege treffen unter einem Winkel von 125,580 aufeinander. Die neue
Haltestelle ist von A 507,12 m, von B 422,88 m entfernt.
Eine Landstraße und eine Bahnlinie verlaufen parallel zueinander. Von 2
Bushaltestellen A und B, die einen Abstand von 930 m haben, führt jeweils ein
geradliniger Weg zum Bahnhof C. ( AC 560 m; BC 485 m) = =
d) Zeichne eine Planfigur.
e) Unter welchem Winkel treffen die Wege am Bahnhof aufeinander?
f) Es ist eine neue Bushaltestelle geplant, die zwischen A und B liegt und die
kürzeste Verbindung zum Bahnhof ermöglichen soll. Wie weit wird die neue
Haltestelle von den alten Bushaltestellen entfernt sein?
Lösung
a)
b) Berechnung von γ:
0
c² a² b² 2ab cos
a² b² c²cos 2ab
125,58
γ
γ
γ
= + −
+ − =
=
c) Berechnung von x und y:
0
sin 485
sin 930
25,1
α =γ
α =
xcos 560
x 507,12 [m]
y 930 x
y 422,88 [m]
α =
=
= −
=
Die Wege treffen unter einem Winkel von 125,580 aufeinander. Die neue
Haltestelle ist von A 507,12 m, von B 422,88 m entfernt.
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Von einem Auto aus sieht der Fahrer die Spitze eines Sendemastes unter einem
Höhenwinkel von a = 420. Nach einer Fahrzeit von 35 s mit 20 m/s beträgt der
Höhenwinkel a1 = 650. Das Auto fährt mit gleichbleibender Geschwindigkeit auf
horizontaler, gerader Straße auf den 470 m hohen Berg zu, der den Mast trägt.
c) Wie weit ist das Fahrzeug bei beiden Peilungen von der Mastspitze entfernt?
d) Wie hoch ist der Sendemast?
Lösung
Gegeben:
a = 420; α1 = 650; h‘ = 470 m
c 35 20 700 [m] = ⋅ =
ß = 1800 – α1 = 1150
g = 1800 – 420 – 1150 = 230
Berechnung von a und b:
0
0
0
0
a c
sin sin
700 sin 42a 1198,76 [m]sin 23
b c
sinß sin
700 sin115b 1623,66 [m]sin 23
α γ
γ
=
⋅= =
=
⋅= =
Berechnung von h:
1
0
h h' sina
h h ' 1198,76 sin 65 1086,46 [m]
h 1086, 46 470 616, 46 [m]
α+ =
+ = ⋅ =
= − =
Das Fahrzeug ist bei den Peilungen ca. 1199 m bzw. ca. 1624 m von der
Mastspitze entfernt. Der Sendemast hat eine Höhe von 616,46 m.
Von einem Auto aus sieht der Fahrer die Spitze eines Sendemastes unter einem
Höhenwinkel von a = 420. Nach einer Fahrzeit von 35 s mit 20 m/s beträgt der
Höhenwinkel a1 = 650. Das Auto fährt mit gleichbleibender Geschwindigkeit auf
horizontaler, gerader Straße auf den 470 m hohen Berg zu, der den Mast trägt.
c) Wie weit ist das Fahrzeug bei beiden Peilungen von der Mastspitze entfernt?
d) Wie hoch ist der Sendemast?
Lösung
Gegeben:
a = 420; α1 = 650; h‘ = 470 m
c 35 20 700 [m] = ⋅ =
ß = 1800 – α1 = 1150
g = 1800 – 420 – 1150 = 230
Berechnung von a und b:
0
0
0
0
a c
sin sin
700 sin 42a 1198,76 [m]sin 23
b c
sinß sin
700 sin115b 1623,66 [m]sin 23
α γ
γ
=
⋅= =
=
⋅= =
Berechnung von h:
1
0
h h' sina
h h ' 1198,76 sin 65 1086,46 [m]
h 1086, 46 470 616, 46 [m]
α+ =
+ = ⋅ =
= − =
Das Fahrzeug ist bei den Peilungen ca. 1199 m bzw. ca. 1624 m von der
Mastspitze entfernt. Der Sendemast hat eine Höhe von 616,46 m.
Das Seil muss ca. 108 m lang sein.
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Ein Bergsteiger ist an einer 800 m senkrecht abfallenden Steilwand über den
Rand gestürzt und irgendwo hängen geblieben. Seine Kameraden wollen
versuchen, von oben ein Seil zu ihm herabzulassen. Dieses Seil können sie per
Funk von einer Berghütte anfordern. Diese Hütte befindet sich in gleicher Höhe
wie der Fuß der Steilwand.
Der Rettungsposten in der Berghütte sieht den abgestürzten Bergsteiger unter
einem Höhenwinkel von 38016‘ und die auf der Abbruchkante stehenden Retter
unter einem Höhenwinkel von 42020‘.
c) Fertige eine Planskizze an und benenne sie mit den von dir benutzten
Variablen.
d) Wie lang muss das angeforderte Seil mindestens sein, um den Verunglückten
von oben zu erreichen?
Lösung:
Gegeben:
h = 800 m; a = 38016‘ = 38,270; ß = 42020‘ = 42,330
g = a – ß = 4,070
g1 = 1800 – 900 – a = 51,730
a1 = 1800 – g1 = 128,270
Berechnung von x:
hsinß x
hx 1187,926[m]sinß
=
= =
Berechnung von y:
1
y x
sin sin
y 107,39 [m]
=
=
γ α
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Ein Bergsteiger ist an einer 800 m senkrecht abfallenden Steilwand über den
Rand gestürzt und irgendwo hängen geblieben. Seine Kameraden wollen
versuchen, von oben ein Seil zu ihm herabzulassen. Dieses Seil können sie per
Funk von einer Berghütte anfordern. Diese Hütte befindet sich in gleicher Höhe
wie der Fuß der Steilwand.
Der Rettungsposten in der Berghütte sieht den abgestürzten Bergsteiger unter
einem Höhenwinkel von 38016‘ und die auf der Abbruchkante stehenden Retter
unter einem Höhenwinkel von 42020‘.
c) Fertige eine Planskizze an und benenne sie mit den von dir benutzten
Variablen.
d) Wie lang muss das angeforderte Seil mindestens sein, um den Verunglückten
von oben zu erreichen?
Lösung:
Gegeben:
h = 800 m; a = 38016‘ = 38,270; ß = 42020‘ = 42,330
g = a – ß = 4,070
g1 = 1800 – 900 – a = 51,730
a1 = 1800 – g1 = 128,270
Berechnung von x:
hsinß x
hx 1187,926[m]sinß
=
= =
Berechnung von y:
1
y x
sin sin
y 107,39 [m]
=
=
γ α
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Von den Endpunkten A und B einer 650 m langen Standlinie am Ufer eines
Gewässers werden zwei Schiffe C und D (Schiffsmitte) unter folgenden Winkeln
angepeilt:
= α = ° = α = ° = = ° = = ° 1 2 1 2 DAB 80,8 ; CAB 50,1 , CBA ß 78,8 und DBA ß 36,1
Wie weit liegen die Schiffsmittelpunkte voneinander entfernt?
Lösung
Gegeben:
a = 80,80; a2 = 50,10;
ß = 78,80; ß1 = 36,10;
c = 650 m
Berechnung von g1, g2 und ß2:
g1 = 1800 –ß2 – a1 = 51,10
1 1 180 ß 63,1δ = ° − − α = °
ß2 = ß –ß2 = 42,70
Berechnung von BC :
2 1
BC AB
sin sin
BC 640,75 [m]
=
=
α γ
Berechnung von BD:
2
BD AB
sin sin
BD 719,5 [m]
=
=
α δ
Berechnung von DC:
2DC² BD² BC² 2 BD BC cosß
DC 500,6 [m]
= + − ⋅ ⋅ ⋅
=
Von den Endpunkten A und B einer 650 m langen Standlinie am Ufer eines
Gewässers werden zwei Schiffe C und D (Schiffsmitte) unter folgenden Winkeln
angepeilt:
= α = ° = α = ° = = ° = = ° 1 2 1 2 DAB 80,8 ; CAB 50,1 , CBA ß 78,8 und DBA ß 36,1
Wie weit liegen die Schiffsmittelpunkte voneinander entfernt?
Lösung
Gegeben:
a = 80,80; a2 = 50,10;
ß = 78,80; ß1 = 36,10;
c = 650 m
Berechnung von g1, g2 und ß2:
g1 = 1800 –ß2 – a1 = 51,10
1 1 180 ß 63,1δ = ° − − α = °
ß2 = ß –ß2 = 42,70
Berechnung von BC :
2 1
BC AB
sin sin
BC 640,75 [m]
=
=
α γ
Berechnung von BD:
2
BD AB
sin sin
BD 719,5 [m]
=
=
α δ
Berechnung von DC:
2DC² BD² BC² 2 BD BC cosß
DC 500,6 [m]
= + − ⋅ ⋅ ⋅
=
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Die geradlinigen Arme eines Flussdeltas, die einen Winkel von 390 bilden,
schneiden ein dreieckiges Stück Land ab. Die Arme sind 17,4 km und 34,3 km
lang.
e) Fertige eine Planskizze an und benenne sie mit den von dir benutzten
Variablen.
f) Wie groß ist das Landstück zwischen den Flussarmen?
g) Wie groß ist der Umfang des Landstücks zwischen den Flussarmen?
h) Welchen Winkel bildet der längere Flussarm mit der geradlinigen Küste?
Lösung
Gegeben:
α = 390, b = 17,4 km; c = 34,3 km
b) Berechnung der Fläche:
1A bc sin 2
A 187,79 [km²]
α= ⋅
=
c) Berechnung des Umfanges der Landfläche:
a² = b² + c² –2bccosα
a = 23,487 km
U = a + b + c = 75,187 km
d) Berechnung von ß;
sin sinß
a b
b sin sinß a
ß 27,79
α
α
=
⋅=
= °
Die geradlinigen Arme eines Flussdeltas, die einen Winkel von 390 bilden,
schneiden ein dreieckiges Stück Land ab. Die Arme sind 17,4 km und 34,3 km
lang.
e) Fertige eine Planskizze an und benenne sie mit den von dir benutzten
Variablen.
f) Wie groß ist das Landstück zwischen den Flussarmen?
g) Wie groß ist der Umfang des Landstücks zwischen den Flussarmen?
h) Welchen Winkel bildet der längere Flussarm mit der geradlinigen Küste?
Lösung
Gegeben:
α = 390, b = 17,4 km; c = 34,3 km
b) Berechnung der Fläche:
1A bc sin 2
A 187,79 [km²]
α= ⋅
=
c) Berechnung des Umfanges der Landfläche:
a² = b² + c² –2bccosα
a = 23,487 km
U = a + b + c = 75,187 km
d) Berechnung von ß;
sin sinß
a b
b sin sinß a
ß 27,79
α
α
=
⋅=
= °
