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Mathematikarbeit Nr. 3 9. Klasse / Gymnasium NRW
Aufgabe 1: Ermittle die Lösungsmengen folgender Gleichungen. Beachte dabei
gegebenenfalls die einschränkenden Bedingungen und fasse soweit wie möglich zusammen.
a) x² + x + ¼ = 0
b) √8 x² + √24 x = 3 * √2
c) 1 8 1
--------- + ----------- = ---
1 – 2x x + 3 x
Aufgabe 2: Bestimme a so, dass die Gleichungen genau eine Lösung haben:
a) x² + 4x + a = 0
b) 4
--- + ax = 6
x
Aufgabe 3: Leite die Lösungsformel für Gleichungen des Typs:
x² + px + q = 0 her.
Aufgabe 4: Für eine Fahrt in das Schullandheim hat die 9b einen Bus für 260 € gemietet.
Da ein Schüler an der Fahrt nicht teilnehmen kann, muss jeder der restlichen Schüler 0,40 €
mehr für die Fahrt bezahlen. Wie viele Schüler hat die 9b?
Viel Erfolg!
Mathematikarbeit Nr. 3 9. Klasse / Gymnasium NRW
Aufgabe 1: Ermittle die Lösungsmengen folgender Gleichungen. Beachte dabei
gegebenenfalls die einschränkenden Bedingungen und fasse soweit wie möglich zusammen.
a) x² + x + ¼ = 0
b) √8 x² + √24 x = 3 * √2
c) 1 8 1
--------- + ----------- = ---
1 – 2x x + 3 x
Aufgabe 2: Bestimme a so, dass die Gleichungen genau eine Lösung haben:
a) x² + 4x + a = 0
b) 4
--- + ax = 6
x
Aufgabe 3: Leite die Lösungsformel für Gleichungen des Typs:
x² + px + q = 0 her.
Aufgabe 4: Für eine Fahrt in das Schullandheim hat die 9b einen Bus für 260 € gemietet.
Da ein Schüler an der Fahrt nicht teilnehmen kann, muss jeder der restlichen Schüler 0,40 €
mehr für die Fahrt bezahlen. Wie viele Schüler hat die 9b?
Viel Erfolg!
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- Lösung –
Aufgabe 1:
a) x² + x + ¼ = 0
Determinante = ( ½ )² - ¼ = 0
=> x = - ½
L = { - ½ }
b) √8 x² + √24 x = 3 * √2
Ù x² + √3 x – 3/√4 = 0
Determinante: (-√3/ 2)² + 3/√4 = ¾ + 6/4 = 9/4
Ö x = √3/ 2 ± √9/4
Ö x = √3/ 2 ± 3/2
L = { √3/ 2 ± 3/2 }
c) 1 8 1
--------- + ----------- = ---
1 – 2x x + 3 x x ℮ D = R ≠ -3, 0, ½
Ù x ( x+3) + 8x (1 -2x) = (1-2x)(x + 3)
Ù x² + 3x + 8x – 16x² = x – 2x² + 3 – 6x
Ù x² + 3x + 8x -16x² -x + 2x -3 + 6x = 0
Ù -13x² + 16x – 3 = 0
Ù x² - 16/13x + 3/13 = 0
Determinante = ( - 16/26)² - 3/13 = 256/676 – 3/13 = 64/169 – 39/169 = 25/169
Ö x = 16/26 ± √25/169
<=> x = 8/13 ± 5/13
L = { 1; 3/13 }
Aufgabe 2:
a) x² + 4x + a = 0
Determinante: (2²) – a = 0
Ö 4 = a
Die Gleichung hat genau eine Lösung wenn a = 4 ist!
b) 4
--- + ax = 6
x
- Lösung –
Aufgabe 1:
a) x² + x + ¼ = 0
Determinante = ( ½ )² - ¼ = 0
=> x = - ½
L = { - ½ }
b) √8 x² + √24 x = 3 * √2
Ù x² + √3 x – 3/√4 = 0
Determinante: (-√3/ 2)² + 3/√4 = ¾ + 6/4 = 9/4
Ö x = √3/ 2 ± √9/4
Ö x = √3/ 2 ± 3/2
L = { √3/ 2 ± 3/2 }
c) 1 8 1
--------- + ----------- = ---
1 – 2x x + 3 x x ℮ D = R ≠ -3, 0, ½
Ù x ( x+3) + 8x (1 -2x) = (1-2x)(x + 3)
Ù x² + 3x + 8x – 16x² = x – 2x² + 3 – 6x
Ù x² + 3x + 8x -16x² -x + 2x -3 + 6x = 0
Ù -13x² + 16x – 3 = 0
Ù x² - 16/13x + 3/13 = 0
Determinante = ( - 16/26)² - 3/13 = 256/676 – 3/13 = 64/169 – 39/169 = 25/169
Ö x = 16/26 ± √25/169
<=> x = 8/13 ± 5/13
L = { 1; 3/13 }
Aufgabe 2:
a) x² + 4x + a = 0
Determinante: (2²) – a = 0
Ö 4 = a
Die Gleichung hat genau eine Lösung wenn a = 4 ist!
b) 4
--- + ax = 6
x
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Ù ax² - 6x + 4 = 0
Ù x² - 6/a x + 4/a = 0
Determinante = ( - 6/2a)² - 4/a = 0
Ö 36/4a² = 4/a
Ù 9/a² = 4/a
Ù 9 = 4a
Ù a = 9/4
Die Gleichung hat genau eine Lösung wenn a = 9/4 ist!
Aufgabe 3:
x² + px + q = 0
x² + px + (p/2)² - (p/2)² + q = 0
(x + p/2)² - (p/2)² + q = 0
(x + p/2)² = (p/2)² - q
x + p/2 = ± √ (p/2)² - q `
x = - p/2 ± √ (p/2)² - q `
Aufgabe 4:
260/(x-1) = 260/x + 0,4
Ù 260x = 260x – 260 + 0,4x(x-1)
Ù 0 = 0,4x² - 0,4x – 260
Ù x² - x – 650 = 0
Determinante = (- ½ )² + 650 = ¼ + 2600/4 = 2601/4
Ö x = ½ ± √2601/4`
Ù x = ½ ± 51/2
L = { 26; - 25 }
Die Klasse 9b hat 26 Schüler!
Ù ax² - 6x + 4 = 0
Ù x² - 6/a x + 4/a = 0
Determinante = ( - 6/2a)² - 4/a = 0
Ö 36/4a² = 4/a
Ù 9/a² = 4/a
Ù 9 = 4a
Ù a = 9/4
Die Gleichung hat genau eine Lösung wenn a = 9/4 ist!
Aufgabe 3:
x² + px + q = 0
x² + px + (p/2)² - (p/2)² + q = 0
(x + p/2)² - (p/2)² + q = 0
(x + p/2)² = (p/2)² - q
x + p/2 = ± √ (p/2)² - q `
x = - p/2 ± √ (p/2)² - q `
Aufgabe 4:
260/(x-1) = 260/x + 0,4
Ù 260x = 260x – 260 + 0,4x(x-1)
Ù 0 = 0,4x² - 0,4x – 260
Ù x² - x – 650 = 0
Determinante = (- ½ )² + 650 = ¼ + 2600/4 = 2601/4
Ö x = ½ ± √2601/4`
Ù x = ½ ± 51/2
L = { 26; - 25 }
Die Klasse 9b hat 26 Schüler!
