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Mathematikarbeit Klasse 9
pq-Formel
Aufgabe 1:
Bestimme die Lösungsmenge; mache die Probe
a.) 2x² - 1,3x – 1,5 = 0 _____________________________
b.) b.) x² + 7,3x + 5,2 = 0 _____________________________
Aufgabe 2:
Gib zu der Lösungsmenge jeweils eine quadratische Gleichung in Nullform an.
a.) { -5 ; 3 } b.) { 4 ; 7 }
Überprüfe a mit Hilfe des Satzes von Vieta
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
Aufgabe 3:
Bestimme zwei Zahlen, deren Summe 11 und deren Produkt 24 ist.
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Aufgabe 4:
Ein Rechteck hat den Umfang von 16cm und den Flächeninhalt von 15cm². Wie lang sind
die Seiten?
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Aufgabe 5:
Familie Weiß hat im Sommer für 2200 Euro Heizöl gekauft, im Herbst nochmals für 1000
Euro. Im Herbst hat die Familie 3000 Liter weniger eingekauft als im Sommer, den Liter
allerdings zu einem 6 Cent höheren Preis.
a.) Bestimme den jeweiligen Preis pro Liter
_______________________________________________________________
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Mathematikarbeit Klasse 9
pq-Formel
Aufgabe 1:
Bestimme die Lösungsmenge; mache die Probe
a.) 2x² - 1,3x – 1,5 = 0 _____________________________
b.) b.) x² + 7,3x + 5,2 = 0 _____________________________
Aufgabe 2:
Gib zu der Lösungsmenge jeweils eine quadratische Gleichung in Nullform an.
a.) { -5 ; 3 } b.) { 4 ; 7 }
Überprüfe a mit Hilfe des Satzes von Vieta
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Aufgabe 3:
Bestimme zwei Zahlen, deren Summe 11 und deren Produkt 24 ist.
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Aufgabe 4:
Ein Rechteck hat den Umfang von 16cm und den Flächeninhalt von 15cm². Wie lang sind
die Seiten?
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Aufgabe 5:
Familie Weiß hat im Sommer für 2200 Euro Heizöl gekauft, im Herbst nochmals für 1000
Euro. Im Herbst hat die Familie 3000 Liter weniger eingekauft als im Sommer, den Liter
allerdings zu einem 6 Cent höheren Preis.
a.) Bestimme den jeweiligen Preis pro Liter
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Lösung:
Aufgabe 1:
Bestimme die Lösungsmenge.
a.) 2x² - 1,3x – 1,5 = 0
2x² - 1,3x -1,5 = 0 /:2
x² - 0,65x – 0,75 = 0
x1 = ,ହ
௫ + ටቀ,ହ
௫ ቁଶ
+ 0,75 = 1!
ݔଶ = ,ହ
௫ െටቀ,ହ
௫ ቁଶ
+ 0,75 = െ0,6 L = {-0,6 ; 1,25}
= 1,25
b.) x² + 7,3x + 5,2 = 0
ݔଵ = െ7,3
2 + ඨ൬7,3
2 ൰
ଶ
െ5,2 = െ0,8
ݔଶ = െ,ଷ
ଶ െටቀ,ଷ
ଶ ቁଶ
െ5,2 = െ6,5 L = {-0,8 ; - 6,5}
Aufgabe 2:
Gib zu der Lösungsmenge jeweils eine quadratische Gleichung in Nullform an.
a.) { -5 ; 3 } b.) { 4 ; 7 }
Überprüfe a mit Hilfe des Satzes von Vieta
a.)
( x + 5 ) • ( x – 3 ) = x² + 5x – 3x – 15 = x² - 2x – 15 = 0
Probe:
Satz von Vieta èp = - (x1 + x2) und q = x1 • x2, hier ist p = -2 und q -15
- 2 = - ( 5 – 3 ) è-2 = -2 stimmt; -15 = 5 • (-3) = -15 = -15 stimmt
b.)
( x – 4 ) • ( x – 7) = x² - 4x – 7x + 28 = x² - 11x + 28 = 0
Lösung:
Aufgabe 1:
Bestimme die Lösungsmenge.
a.) 2x² - 1,3x – 1,5 = 0
2x² - 1,3x -1,5 = 0 /:2
x² - 0,65x – 0,75 = 0
x1 = ,ହ
௫ + ටቀ,ହ
௫ ቁଶ
+ 0,75 = 1!
ݔଶ = ,ହ
௫ െටቀ,ହ
௫ ቁଶ
+ 0,75 = െ0,6 L = {-0,6 ; 1,25}
= 1,25
b.) x² + 7,3x + 5,2 = 0
ݔଵ = െ7,3
2 + ඨ൬7,3
2 ൰
ଶ
െ5,2 = െ0,8
ݔଶ = െ,ଷ
ଶ െටቀ,ଷ
ଶ ቁଶ
െ5,2 = െ6,5 L = {-0,8 ; - 6,5}
Aufgabe 2:
Gib zu der Lösungsmenge jeweils eine quadratische Gleichung in Nullform an.
a.) { -5 ; 3 } b.) { 4 ; 7 }
Überprüfe a mit Hilfe des Satzes von Vieta
a.)
( x + 5 ) • ( x – 3 ) = x² + 5x – 3x – 15 = x² - 2x – 15 = 0
Probe:
Satz von Vieta èp = - (x1 + x2) und q = x1 • x2, hier ist p = -2 und q -15
- 2 = - ( 5 – 3 ) è-2 = -2 stimmt; -15 = 5 • (-3) = -15 = -15 stimmt
b.)
( x – 4 ) • ( x – 7) = x² - 4x – 7x + 28 = x² - 11x + 28 = 0
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Aufgabe 3:
Bestimme zwei Zahlen, deren Summe 11 und deren Produkt 24 ist.
es gilt:
a.) x + y = 11 und
b.) x • y = 24
x = 11 – y wird in b.) eingesetzt:
(11 – y) • y = 24 è11y – y² = 24 èy² -11y + 24 = 0
in pq- Formel einsetzten ergibt: x = 3, y = 8 bzw. umgekehrte Vorzeichen.
Die Zahlen sind 3 und 8.
Aufgabe 4:
Ein Rechteck hat den Umfang von 16cm und den Flächeninhalt von 15cm². Wie lang sind
die Seiten?
es gilt:
U = 2 • x + 2 • y und A = x • y
16 = 2 • x + 2 • y und 15 = x • y
Gleichung 1 umformen: 8 = x + y èx = 8 – y in 2 einsetzten
15 = ( 8 – y ) • y è15 = 8y – y² èy² - 8y +15 = 0
in pq-Formel einsetzten ergibt x = 5 und y = 3
Die beiden Seiten sind 5 und 3 cm.
Aufgabe 3:
Bestimme zwei Zahlen, deren Summe 11 und deren Produkt 24 ist.
es gilt:
a.) x + y = 11 und
b.) x • y = 24
x = 11 – y wird in b.) eingesetzt:
(11 – y) • y = 24 è11y – y² = 24 èy² -11y + 24 = 0
in pq- Formel einsetzten ergibt: x = 3, y = 8 bzw. umgekehrte Vorzeichen.
Die Zahlen sind 3 und 8.
Aufgabe 4:
Ein Rechteck hat den Umfang von 16cm und den Flächeninhalt von 15cm². Wie lang sind
die Seiten?
es gilt:
U = 2 • x + 2 • y und A = x • y
16 = 2 • x + 2 • y und 15 = x • y
Gleichung 1 umformen: 8 = x + y èx = 8 – y in 2 einsetzten
15 = ( 8 – y ) • y è15 = 8y – y² èy² - 8y +15 = 0
in pq-Formel einsetzten ergibt x = 5 und y = 3
Die beiden Seiten sind 5 und 3 cm.
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Aufgabe 5:
Familie Weiß hat im Sommer für 2200 Euro Heizöl gekauft, im Herbst nochmals für 1000
Euro. Im Herbst hat die Familie 3000 Liter weniger eingekauft als im Sommer, den Liter
allerdings zu einem 6 Cent höheren Preis.
- Bestimme den jeweiligen Literpreis und die Liefermenge im Sommer
Gesucht x Liter und y Preis
a. 1000 = ( x – 3000 ) • ( y + 0,06 ) – Winter
b. 2200 = x • y – Sommer èଶଶ
௫ = y in a einsetzen
1000 = (x – 3000) (ଶଶ
௫ + 0,06)
1000 = 2200 + 0,06x – 180 -
௫ è1000x = 2200x + 0,06x² - 180x – 6.600.000
ð0,06x² + 1020x – 6600000 = 0
ðx² + 17000x – 110000000 = 0
ðx1 = - 8500 + ξ8500ଶ + 11.0000000
ðx1 = - 8500 + 13500
ðx1= 5000
ðx2= - 22000 , hier keine gültige Lösung
y = ଶଶ
ହ=0,44
Antwort:
Sie haben im Sommer 5000 Liter Heizöl zu einem Preis von 0,44 Euro bestellt.
Aufgabe 5:
Familie Weiß hat im Sommer für 2200 Euro Heizöl gekauft, im Herbst nochmals für 1000
Euro. Im Herbst hat die Familie 3000 Liter weniger eingekauft als im Sommer, den Liter
allerdings zu einem 6 Cent höheren Preis.
- Bestimme den jeweiligen Literpreis und die Liefermenge im Sommer
Gesucht x Liter und y Preis
a. 1000 = ( x – 3000 ) • ( y + 0,06 ) – Winter
b. 2200 = x • y – Sommer èଶଶ
௫ = y in a einsetzen
1000 = (x – 3000) (ଶଶ
௫ + 0,06)
1000 = 2200 + 0,06x – 180 -
௫ è1000x = 2200x + 0,06x² - 180x – 6.600.000
ð0,06x² + 1020x – 6600000 = 0
ðx² + 17000x – 110000000 = 0
ðx1 = - 8500 + ξ8500ଶ + 11.0000000
ðx1 = - 8500 + 13500
ðx1= 5000
ðx2= - 22000 , hier keine gültige Lösung
y = ଶଶ
ହ=0,44
Antwort:
Sie haben im Sommer 5000 Liter Heizöl zu einem Preis von 0,44 Euro bestellt.
