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Schulaufgabe aus der Mathematik
AUFGABEN
1. Der Flächeninhalt eines Quadrats beträgt 256 cm2. Berechne die Längen der
Quadratseite und der Diagonalen.
2. Die Punkte A (2|1), B (6|4) und C (4|5) bilden die Ecken eines Dreiecks.
a. Berechne die exakten Werte der drei Seitenlängen des Dreiecks ABC.
b. Begründe, dass das Dreieck ABC rechtwinklig ist.
c. Berechne die Höhe h= CF̅̅̅̅
3. Der Feuermann Karl löscht einen Hausbrand mit Wasser. Der Wasserstrahl
seines Löschschlauchs kann mit der Parabelgleichung Y = -0,025 x2 + x
beschrieben werden.
a. Berechne die Reichweite die Karl erreichen kann.
b. Berechne die Höhe die Karl maximal erreichen kann.
c. Das brennende Haus steht 25 m entfernt. Berechne in welcher Höhe der
Wasserstrahl das Haus trifft.
4. Eine Gärtnerei möchte an einer Hauswand einen rechteckigen Blumengarten
anlegen. Das Grundstück soll mit einem 60 m langen Zaun abgesteckt
werden, wobei ein 4 m breiter Zugang frei bleiben soll. Berechne die Längen
x und y so, dass der Flächeninhalt des Grundstücks möglichst groß ist.
Viel Erfolg!
Schulaufgabe aus der Mathematik
AUFGABEN
1. Der Flächeninhalt eines Quadrats beträgt 256 cm2. Berechne die Längen der
Quadratseite und der Diagonalen.
2. Die Punkte A (2|1), B (6|4) und C (4|5) bilden die Ecken eines Dreiecks.
a. Berechne die exakten Werte der drei Seitenlängen des Dreiecks ABC.
b. Begründe, dass das Dreieck ABC rechtwinklig ist.
c. Berechne die Höhe h= CF̅̅̅̅
3. Der Feuermann Karl löscht einen Hausbrand mit Wasser. Der Wasserstrahl
seines Löschschlauchs kann mit der Parabelgleichung Y = -0,025 x2 + x
beschrieben werden.
a. Berechne die Reichweite die Karl erreichen kann.
b. Berechne die Höhe die Karl maximal erreichen kann.
c. Das brennende Haus steht 25 m entfernt. Berechne in welcher Höhe der
Wasserstrahl das Haus trifft.
4. Eine Gärtnerei möchte an einer Hauswand einen rechteckigen Blumengarten
anlegen. Das Grundstück soll mit einem 60 m langen Zaun abgesteckt
werden, wobei ein 4 m breiter Zugang frei bleiben soll. Berechne die Längen
x und y so, dass der Flächeninhalt des Grundstücks möglichst groß ist.
Viel Erfolg!
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3. Schulaufgabe aus der Mathematik
Klasse 9d am 27. April
Lösungen
1. Der Flächeninhalt eines Quadrats beträgt 256 cm2. Berechne die Längen der
Quadratseite und der Diagonalen.
Seite des Quadrats: a
AQuadrat = a2 = 256 cm2 => a= √256 cm2 => a = 16 cm
Die Länge einer Seite beträgt 16 cm.
Probe: 16 cm · 16 cm = 256 cm2
Diagonale des Quadrats: d
Nach Pythagoras: d2 = a2 + a2 = 2a2
d2 = 256 cm2 + 256 cm2
d= √512 cm2 =22,63 cm
Die Länge der Diagonale des Quadrats beträgt 22,63 cm.
2. Die Punkte A (2|1), B (6|4) und C (4|5) bilden die Ecken eines Dreiecks.
a. Berechne die exakten Werte der drei Seitenlängen des Dreiecks ABC.
AB̅̅̅̅= √ (∆x)2 + (∆y)2
a=BC̅̅̅̅= √(6−4)2 + (4−5)2 =√4+1= √5 =2,24 cm
b=AC̅̅̅̅= √(2−4)2 + (1−5)2 =√4+16= √20 =4,47 cm
c=AB̅̅̅̅= √(2−6)2 + (1−4)2 =√16+9= √25 =5 cm
Die Seitenlängen sind also: a = 2,24 cm, b = 4,47 cm, c = 5 cm.
b. Begründe, dass das Dreieck ABC rechtwinklig ist.
Für rechtwinklige Dreiecke gilt:
a2 + b2 = c2
5 + 20 = 25
damit ist bewiesen, dass es sich um ein rechtwinkeliges Dreieck handelt.
c. Berechne die Höhe h= CF̅̅̅̅.
Da bei C der rechte Winkel liegt, ist die Höhe h gleich der Seitenlänge von
a= BC̅̅̅̅. Damit ist h = 2,24 cm.
3. Schulaufgabe aus der Mathematik
Klasse 9d am 27. April
Lösungen
1. Der Flächeninhalt eines Quadrats beträgt 256 cm2. Berechne die Längen der
Quadratseite und der Diagonalen.
Seite des Quadrats: a
AQuadrat = a2 = 256 cm2 => a= √256 cm2 => a = 16 cm
Die Länge einer Seite beträgt 16 cm.
Probe: 16 cm · 16 cm = 256 cm2
Diagonale des Quadrats: d
Nach Pythagoras: d2 = a2 + a2 = 2a2
d2 = 256 cm2 + 256 cm2
d= √512 cm2 =22,63 cm
Die Länge der Diagonale des Quadrats beträgt 22,63 cm.
2. Die Punkte A (2|1), B (6|4) und C (4|5) bilden die Ecken eines Dreiecks.
a. Berechne die exakten Werte der drei Seitenlängen des Dreiecks ABC.
AB̅̅̅̅= √ (∆x)2 + (∆y)2
a=BC̅̅̅̅= √(6−4)2 + (4−5)2 =√4+1= √5 =2,24 cm
b=AC̅̅̅̅= √(2−4)2 + (1−5)2 =√4+16= √20 =4,47 cm
c=AB̅̅̅̅= √(2−6)2 + (1−4)2 =√16+9= √25 =5 cm
Die Seitenlängen sind also: a = 2,24 cm, b = 4,47 cm, c = 5 cm.
b. Begründe, dass das Dreieck ABC rechtwinklig ist.
Für rechtwinklige Dreiecke gilt:
a2 + b2 = c2
5 + 20 = 25
damit ist bewiesen, dass es sich um ein rechtwinkeliges Dreieck handelt.
c. Berechne die Höhe h= CF̅̅̅̅.
Da bei C der rechte Winkel liegt, ist die Höhe h gleich der Seitenlänge von
a= BC̅̅̅̅. Damit ist h = 2,24 cm.
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3. Der Feuermann Karl löscht einen Hausbrand mit Wasser. Der Wasserstrahl
seines Löschschlauchs kann mit der Parabelgleichung y = -0,025 x2 + x
beschrieben werden.
a. Berechne die Reichweite die Karl erreichen kann.
Dazu muss man die Nullstellen der Funktion, also die Schnittpunkte mit
der x-Achse ausrechnen. Dies geschieht mit der Mitternachtsformel, die für
den Funktionsterm ax2 + bx + c gilt:
x1/2 = −b ± √b2− 4ac
2a
x1/2 = −1 ± √1
2 · (−0,025)
x1 = −1+ 1
2 · (−0,025) x1 = 0
x2 = −1− 1
2 · (−0,025)
x2 = − 2
−0,05 x2 = 40
Karls Reichweite beträgt 40 m.
b. Berechne die Höhe die Karl maximal erreichen kann.
Zur Berechnung der Höhe braucht man den Scheitelpunkt der Funktion.
Zur Erinnerung: die Scheitelpunktform der Parabelgleichung lautet:
y = f(x) = a(x – b)2 + c => die Koordinaten des Scheitelpunkts sind: S(b|c)
y = -0,025 x2 + x
y= − 1
40x2 + x
y= − 1
40(x2 −40 x )
y= − 1
40 ((x−20)2 − 400)
y= − 1
40 (x−20)2 + 10
Damit hat der Scheitel folgende Koordinaten: S(20|10).
Die maximale Höhe ist also 10 m.
c. Das brennende Haus steht 25 m entfernt. Berechne in welcher Höhe der
Wasserstrahl das Haus trifft.
f(25)= −0,025·252 + 25
f(25)= −0,025·625+ 25
f(25)= −15,625+ 25
f(25)= 9,375
Der Wasserstrahl trifft das Haus in 9,375 m Höhe.
3. Der Feuermann Karl löscht einen Hausbrand mit Wasser. Der Wasserstrahl
seines Löschschlauchs kann mit der Parabelgleichung y = -0,025 x2 + x
beschrieben werden.
a. Berechne die Reichweite die Karl erreichen kann.
Dazu muss man die Nullstellen der Funktion, also die Schnittpunkte mit
der x-Achse ausrechnen. Dies geschieht mit der Mitternachtsformel, die für
den Funktionsterm ax2 + bx + c gilt:
x1/2 = −b ± √b2− 4ac
2a
x1/2 = −1 ± √1
2 · (−0,025)
x1 = −1+ 1
2 · (−0,025) x1 = 0
x2 = −1− 1
2 · (−0,025)
x2 = − 2
−0,05 x2 = 40
Karls Reichweite beträgt 40 m.
b. Berechne die Höhe die Karl maximal erreichen kann.
Zur Berechnung der Höhe braucht man den Scheitelpunkt der Funktion.
Zur Erinnerung: die Scheitelpunktform der Parabelgleichung lautet:
y = f(x) = a(x – b)2 + c => die Koordinaten des Scheitelpunkts sind: S(b|c)
y = -0,025 x2 + x
y= − 1
40x2 + x
y= − 1
40(x2 −40 x )
y= − 1
40 ((x−20)2 − 400)
y= − 1
40 (x−20)2 + 10
Damit hat der Scheitel folgende Koordinaten: S(20|10).
Die maximale Höhe ist also 10 m.
c. Das brennende Haus steht 25 m entfernt. Berechne in welcher Höhe der
Wasserstrahl das Haus trifft.
f(25)= −0,025·252 + 25
f(25)= −0,025·625+ 25
f(25)= −15,625+ 25
f(25)= 9,375
Der Wasserstrahl trifft das Haus in 9,375 m Höhe.
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4. Eine Gärtnerei möchte an einer Hauswand einen rechteckigen Blumengarten
anlegen. Das Grundstück soll mit einem 60 m langen Zaun abgesteckt
werden, wobei ein 4 m breiter Zugang frei bleiben soll. Berechne die Längen
x und y so, dass der Flächeninhalt des Grundstücks möglichst groß ist.
U = x + (x – 4) + y
60 = x + (x – 4) + y
y = 60 – x – x + 4
y = -2x + 64
Flächeninhalt A = x · y soll maximal werden:
A = x · (-2x + 64)
f(x) = -2x2 + 64x
Scheitelbestimmung:
f(x) = -2 (x2 – 32x)
f(x) = -2 (x2 – 2 · 16x)
f(x) = -2 (x – 16)2 – 256)
f(x) = -2 (x – 16)2 + 512
x = 16 m
U = x + (x – 4) + y
60 m = 16 m + 12 m + y
y = 32 m
Der Zaun ist 16 m lang und 32 m breit.
4. Eine Gärtnerei möchte an einer Hauswand einen rechteckigen Blumengarten
anlegen. Das Grundstück soll mit einem 60 m langen Zaun abgesteckt
werden, wobei ein 4 m breiter Zugang frei bleiben soll. Berechne die Längen
x und y so, dass der Flächeninhalt des Grundstücks möglichst groß ist.
U = x + (x – 4) + y
60 = x + (x – 4) + y
y = 60 – x – x + 4
y = -2x + 64
Flächeninhalt A = x · y soll maximal werden:
A = x · (-2x + 64)
f(x) = -2x2 + 64x
Scheitelbestimmung:
f(x) = -2 (x2 – 32x)
f(x) = -2 (x2 – 2 · 16x)
f(x) = -2 (x – 16)2 – 256)
f(x) = -2 (x – 16)2 + 512
x = 16 m
U = x + (x – 4) + y
60 m = 16 m + 12 m + y
y = 32 m
Der Zaun ist 16 m lang und 32 m breit.
