Klasse 9 a/b/c 4. Schulaufgabe aus der Mathematik 14. 06. 2002
(WWG) Gruppe A
1. Von einem W ̈urfel der Kantenl ̈ange awird wie unten eingezeichnet eine Pyramide
abgeschnitten. Berechne das Volumen der Pyramide.Würfel: Pyramide:
2. Eine Strecke s= [AB] wird durch den Punkt Tinnen stetig geteilt. Berechne den
Abstand x= ATdes Punktes Tvon A.
3. Gegeben ist ein Quadrat mit Seitenl ̈ange s= 12 cm. Verk ̈urzt man zwei gegen ̈uber-
liegende Seiten des Quadrats um x, so d ̈urfen die andern beiden um 2xverl ̈angert
werden.
Wie groß muss man xw ̈ahlen, um das Quadrat in ein Rechteck mit maximalem
Fl ̈acheninhalt zu verwandeln? (Rechne ohne Einheiten!)16cm
6cm
4. Die rechts stehende Skizze zeigt das Netz einer
geraden Pyramide mit quadratischem Grund-
riss.
a) Berechne den Oberfl ̈acheninhalt der Pyra-
mide.
b) Berechne den Volumeninhalt der Pyrami-
de.
Die Berechnungen d ̈urfen ohne Einheiten
durchgef ̈uhrt werden.
5. Einer Pyramide der H ̈ohe h= 12 cm und einem Volumen von V= 480 cm3 wird in
einer H ̈ohe von 6 cm parallel zur Grundfl ̈ache der obere Teil abgeschnitten.
Welchen Volumeninhalt hat die abgeschnittene Pyramidenspitze?
Viel Erfolg !
Kink
(WWG) Gruppe A
1. Von einem W ̈urfel der Kantenl ̈ange awird wie unten eingezeichnet eine Pyramide
abgeschnitten. Berechne das Volumen der Pyramide.Würfel: Pyramide:
2. Eine Strecke s= [AB] wird durch den Punkt Tinnen stetig geteilt. Berechne den
Abstand x= ATdes Punktes Tvon A.
3. Gegeben ist ein Quadrat mit Seitenl ̈ange s= 12 cm. Verk ̈urzt man zwei gegen ̈uber-
liegende Seiten des Quadrats um x, so d ̈urfen die andern beiden um 2xverl ̈angert
werden.
Wie groß muss man xw ̈ahlen, um das Quadrat in ein Rechteck mit maximalem
Fl ̈acheninhalt zu verwandeln? (Rechne ohne Einheiten!)16cm
6cm
4. Die rechts stehende Skizze zeigt das Netz einer
geraden Pyramide mit quadratischem Grund-
riss.
a) Berechne den Oberfl ̈acheninhalt der Pyra-
mide.
b) Berechne den Volumeninhalt der Pyrami-
de.
Die Berechnungen d ̈urfen ohne Einheiten
durchgef ̈uhrt werden.
5. Einer Pyramide der H ̈ohe h= 12 cm und einem Volumen von V= 480 cm3 wird in
einer H ̈ohe von 6 cm parallel zur Grundfl ̈ache der obere Teil abgeschnitten.
Welchen Volumeninhalt hat die abgeschnittene Pyramidenspitze?
Viel Erfolg !
Kink
michih
11.5.2006, 10:49:20michih
11.5.2006, 10:49:51michih
11.5.2006, 10:50:04Klasse 9 a/b/c 4. Schulaufgabe aus der Mathematik 14. 06. 2002
(WWG) – Musterl ̈osung –
Gruppe A
1. Die Pyramide hat als Grundfl ̈ache ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck mit den
Kathetenl ̈angen a. Die H ̈ohe der Pyramide ist a. Damit erh ̈alt man f ̈ur den Volumen-
inhalt:
V= 1
3Ga= 1
3
(1
2a2
)
a= 1
6a3
2. Eine Strecke s= [AB] wird durch den Punkt Tstetig geteilt. Berechne den Abstand
x= ATdes Punktes Tvon A.
s−x
x= x
s,
(s−x) s= x2,
s2 −sx= x2,
x2 + sx−s2 = 0,
x1,2 = 1
2
(
−s±√s2 −4 (−s2)
)
= 1
2
(
−s±√5s2
)
= 1
2
(
−s±s√5
)
x= s
2
(
−1 + √5
)
3. Verk ̈urzte Seiten: 12 −x,
verl ̈angerte Seiten: 12 + 2x,
Fl ̈acheninhalt:
A(x) = (12 −x) (12 + 2x)
= −2x2 + 12x+ 144
= −2 [x2 −6x−72]
= −2 [x2 −2 ·3x+ 32 −9 −72]
= −2 [x2 −2 ·3x+ 32 −81]= −2 [x2 −2 ·3x+ 32]+ 162
= −2 (x−3)2 + 162 ⇒S(3|162)
Der Fl ̈acheninhalt wird beim Scheitel der Parabel maximal, d.h. f ̈ur x= 3 cm.
4. Alle Berechnungen in cm-Einheiten.
a) Grundfl ̈ache:
G= 62 = 36
Seitenfl ̈ache:
AS= 1
2 ·6 ·5 = 15
Oberfl ̈ache:
A= G+ 4 ·AS= 36 + 4 ·15 = 96 (cm2)
(WWG) – Musterl ̈osung –
Gruppe A
1. Die Pyramide hat als Grundfl ̈ache ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck mit den
Kathetenl ̈angen a. Die H ̈ohe der Pyramide ist a. Damit erh ̈alt man f ̈ur den Volumen-
inhalt:
V= 1
3Ga= 1
3
(1
2a2
)
a= 1
6a3
2. Eine Strecke s= [AB] wird durch den Punkt Tstetig geteilt. Berechne den Abstand
x= ATdes Punktes Tvon A.
s−x
x= x
s,
(s−x) s= x2,
s2 −sx= x2,
x2 + sx−s2 = 0,
x1,2 = 1
2
(
−s±√s2 −4 (−s2)
)
= 1
2
(
−s±√5s2
)
= 1
2
(
−s±s√5
)
x= s
2
(
−1 + √5
)
3. Verk ̈urzte Seiten: 12 −x,
verl ̈angerte Seiten: 12 + 2x,
Fl ̈acheninhalt:
A(x) = (12 −x) (12 + 2x)
= −2x2 + 12x+ 144
= −2 [x2 −6x−72]
= −2 [x2 −2 ·3x+ 32 −9 −72]
= −2 [x2 −2 ·3x+ 32 −81]= −2 [x2 −2 ·3x+ 32]+ 162
= −2 (x−3)2 + 162 ⇒S(3|162)
Der Fl ̈acheninhalt wird beim Scheitel der Parabel maximal, d.h. f ̈ur x= 3 cm.
4. Alle Berechnungen in cm-Einheiten.
a) Grundfl ̈ache:
G= 62 = 36
Seitenfl ̈ache:
AS= 1
2 ·6 ·5 = 15
Oberfl ̈ache:
A= G+ 4 ·AS= 36 + 4 ·15 = 96 (cm2)
michih
11.5.2006, 10:50:22michih
11.5.2006, 10:50:44Klasse 9 a/b/c 4. Schulaufgabe aus der Mathematik 14. 06. 2002
(WWG) – Musterl ̈osung –
Gruppe A
b)5
3
hh
Aus den Zeichnungen ergibt sich:
h2 + 32 = 52
h= √52 −32 = 4
Pyramidenvolumen:
V= 1
3Gh= 1
3 ·36 ·4 = 48 (cm3)
5. Berechne erst Grundfl ̈ache Gder Pyramide:
V= 1
3Gh
G= 3V
h= 3 ·480 cm3
12 cm = 120 cm2
Die Grundfl ̈ache G′der abgeschnittenen Spitze ist nach dem Strahlensatz 1
4 davon
(Quadrat des Streckfaktors):
G′= 30 cm2
Volumen der Spitze:
V′= 1
3G′h
2 = 1
6G′h= 1
6 ·30 cm2 ·12 cm = 60 cm3
(WWG) – Musterl ̈osung –
Gruppe A
b)5
3
hh
Aus den Zeichnungen ergibt sich:
h2 + 32 = 52
h= √52 −32 = 4
Pyramidenvolumen:
V= 1
3Gh= 1
3 ·36 ·4 = 48 (cm3)
5. Berechne erst Grundfl ̈ache Gder Pyramide:
V= 1
3Gh
G= 3V
h= 3 ·480 cm3
12 cm = 120 cm2
Die Grundfl ̈ache G′der abgeschnittenen Spitze ist nach dem Strahlensatz 1
4 davon
(Quadrat des Streckfaktors):
G′= 30 cm2
Volumen der Spitze:
V′= 1
3G′h
2 = 1
6G′h= 1
6 ·30 cm2 ·12 cm = 60 cm3
