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Schulaufgabe Mathematik Klasse 8 G8
Direkte Proportionalität, indirekte Proportionalität, Lineare Funktionen,
Bestimmung von Funktionstermen, Nullstellen
Aufgabe 1) Marianne findet eine alte Benzinrechnung ihres Vaters:
30 Liter Superbenzin haben damals 35,10 € gekostet.
a) Ergänze folgende Tabelle:
Benzinvolumen V in l 1 5 10 20 30
Kosten K in € 3,51 35,10 58,50
b) Wie lautet der Proportionalitätsfaktor
c) Gib die Zuordnungsvorschrift an
Aufgabe 2) Ein Heizölvorrat reicht 80 Tage, wenn die Heizung täglich 12,5 h in
Betrieb ist.
a) Bei welcher täglichen Brenndauer würde der Vorrat 120 Tage reichen?
b) Wie lange reicht der Vorrat bei einer Brenndauer von 9h pro Tag?
Aufgabe 3) Gegeben sei die Funktion:
f (x) =
a) Bestimme die Definitionsmenge.
b) Bestimme die Nullstellen.
Aufgabe 4) Gegeben sei die Funktion:
f (x) =
a) Zeichne den Graphen der Funktion ohne die Wertetabelle zu berechnen.
b) Gib die Definitionsmenge an.
c) Berechne die Nullstelle.
d) Bestimme die Steigung einer zu f senkrechten Geraden g.
Aufgabe 5) P(-1,5|1) und Q(1,5|3) liegen auf der Gerade g.
a) Berechne den Funktionsterm der Geraden g.
b) Bestimme den Funktionsterm einer direkt proportionalen Funktion h,
deren Graph parallel zur Geraden g verläuft.
Viel Erfolg!
Schulaufgabe Mathematik Klasse 8 G8
Direkte Proportionalität, indirekte Proportionalität, Lineare Funktionen,
Bestimmung von Funktionstermen, Nullstellen
Aufgabe 1) Marianne findet eine alte Benzinrechnung ihres Vaters:
30 Liter Superbenzin haben damals 35,10 € gekostet.
a) Ergänze folgende Tabelle:
Benzinvolumen V in l 1 5 10 20 30
Kosten K in € 3,51 35,10 58,50
b) Wie lautet der Proportionalitätsfaktor
c) Gib die Zuordnungsvorschrift an
Aufgabe 2) Ein Heizölvorrat reicht 80 Tage, wenn die Heizung täglich 12,5 h in
Betrieb ist.
a) Bei welcher täglichen Brenndauer würde der Vorrat 120 Tage reichen?
b) Wie lange reicht der Vorrat bei einer Brenndauer von 9h pro Tag?
Aufgabe 3) Gegeben sei die Funktion:
f (x) =
a) Bestimme die Definitionsmenge.
b) Bestimme die Nullstellen.
Aufgabe 4) Gegeben sei die Funktion:
f (x) =
a) Zeichne den Graphen der Funktion ohne die Wertetabelle zu berechnen.
b) Gib die Definitionsmenge an.
c) Berechne die Nullstelle.
d) Bestimme die Steigung einer zu f senkrechten Geraden g.
Aufgabe 5) P(-1,5|1) und Q(1,5|3) liegen auf der Gerade g.
a) Berechne den Funktionsterm der Geraden g.
b) Bestimme den Funktionsterm einer direkt proportionalen Funktion h,
deren Graph parallel zur Geraden g verläuft.
Viel Erfolg!
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Lösungen 1. Schulaufgabe Mathematik Klasse 8 Gymnasium Bayern
Aufgabe 1) Marianne findet eine alte Benzinrechnung ihres Vaters:
30 Liter Superbenzin haben damals 35,10 € gekostet.
Lösung Aufgabe 1a) Ergänze folgende Tabelle:
Benzinvolumen V in l 1 5 10 20 30
Kosten K in € 3,51 35,10 58,50
Da das Benzin einen Preis/l (also Kosten/Volumen in l) hat sind die Kosten K proportional
zum Volumen V. Der Proportionalitätsfaktor lässt sich aus der Tabellenangabe V = 30 l mit
den Kosten von 35,10 € berechnen.
Der Proportionalitätsfaktor ist demnach: 17,13010,35 =.
Somit lassen sich die Kosten mit der Formel: K = 1,17 · V berechnen.
K = 1 · 1,17 K = 1,17 € für 1 l Benzin
K = 5 · 1,17 für 5 l Benzin = 5,85 €
K = 10 · 1,17 für 10 l Benzin = 11,70 €
K = 20 · 1,17 für 20 l Benzin = 23,40 €
K = 30 · 1,17 für 30 l Benzin = 35,10 €
Für die Spalten, in denen nur die Kosten angegeben sind, muss die Formel K = 1,17 · V
umgestellt werden, so dass das Volumen berechnet werden kann:
K = 1,17 · V | :1,17 VK =17,1
17,1KV =
== 17,1 51,3V
3 l Benzin == 17,1 50,58V
50 l Benzin
Demnach sieht die vollständig ausgefüllte Tabelle so aus:
Rot = Berechnete Werte
Schwarz = Gegebene Werte
Benzinvolumen V in l 1 3 5 10 20 30 50
Kosten K in € 1,17 3,51 5,85 11,70 23,40 35,10 58,50
Lösungen 1. Schulaufgabe Mathematik Klasse 8 Gymnasium Bayern
Aufgabe 1) Marianne findet eine alte Benzinrechnung ihres Vaters:
30 Liter Superbenzin haben damals 35,10 € gekostet.
Lösung Aufgabe 1a) Ergänze folgende Tabelle:
Benzinvolumen V in l 1 5 10 20 30
Kosten K in € 3,51 35,10 58,50
Da das Benzin einen Preis/l (also Kosten/Volumen in l) hat sind die Kosten K proportional
zum Volumen V. Der Proportionalitätsfaktor lässt sich aus der Tabellenangabe V = 30 l mit
den Kosten von 35,10 € berechnen.
Der Proportionalitätsfaktor ist demnach: 17,13010,35 =.
Somit lassen sich die Kosten mit der Formel: K = 1,17 · V berechnen.
K = 1 · 1,17 K = 1,17 € für 1 l Benzin
K = 5 · 1,17 für 5 l Benzin = 5,85 €
K = 10 · 1,17 für 10 l Benzin = 11,70 €
K = 20 · 1,17 für 20 l Benzin = 23,40 €
K = 30 · 1,17 für 30 l Benzin = 35,10 €
Für die Spalten, in denen nur die Kosten angegeben sind, muss die Formel K = 1,17 · V
umgestellt werden, so dass das Volumen berechnet werden kann:
K = 1,17 · V | :1,17 VK =17,1
17,1KV =
== 17,1 51,3V
3 l Benzin == 17,1 50,58V
50 l Benzin
Demnach sieht die vollständig ausgefüllte Tabelle so aus:
Rot = Berechnete Werte
Schwarz = Gegebene Werte
Benzinvolumen V in l 1 3 5 10 20 30 50
Kosten K in € 1,17 3,51 5,85 11,70 23,40 35,10 58,50
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Lösung Aufgabe 1b) Wie lautet der Proportionalitätsfaktor
Antwort: Der Proportionalitätsfaktor lautet: 35,10
30 =1,17 (siehe oben)
Lösung Aufgabe 1c) Gib die Zuordnungsvorschrift an
Antwort: Die Zuordnungsvorschrift lautet: K = 1,17 · V (siehe oben).
Aufgabe 2) Ein Heizölvorrat reicht 80 Tage, wenn die Heizung täglich 12,5 h in
Betrieb ist.
a) Bei welcher täglichen Brenndauer würde der Vorrat 120 Tage reichen?
Der existierende Vorrat an Heizöl nimmt kontinuierlich ab, je länger die Brenndauer/Tag
desto schneller ist der Vorrat aufgebraucht.
Vermutung: Die Anzahl der Tage ist umgekehrt proportional zu den Brennstunden.
d.h. P = Tage · Stunden und daraus folgt:
Tage=StundenP
Gegeben ist, dass der Heizölvorrat 80 Tage reicht, wenn die Heizung täglich 12,5 h in Betrieb
ist, damit ist
P = 80 · 12,5 = 1000.
Wenn wir also wissen wollen wie hoch die Brenndauer ist, wenn der Vorrat 120 Tage reichen
soll, müssen wir in
Tage=StundenP einsetzen:
120 Tage=Stunden1000 Die Gleichung muss nach Stunden aufgelöst werden:
120 Tage=Stunden1000 | · Stunden
120 Tage · Stunden = 1000 | : 120 Tage
Stunden = 1201000= 8,33
Antwort: Der Vorrat reicht bei einer Brenndauer von 8,33 h täglich 120 Tage.
Lösung Aufgabe 2b) Wie lange reicht der Vorrat bei einer Brenndauer von 9h pro Tag?
Hier muss einfach in Tage=StundenP 9 h eingesetzt werden:
Tage = 91000 = 111,11111 = 111 91 Tage
Antwort: Bei einer Brenndauer von 9 Tagen reicht der Vorrat für 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟗 Tage.
Aufgabe 3) Gegeben sei die Funktion:
f (x) =
a) Bestimme die Definitionsmenge.
b) Bestimme die Nullstellen.
Lösung Aufgabe 1b) Wie lautet der Proportionalitätsfaktor
Antwort: Der Proportionalitätsfaktor lautet: 35,10
30 =1,17 (siehe oben)
Lösung Aufgabe 1c) Gib die Zuordnungsvorschrift an
Antwort: Die Zuordnungsvorschrift lautet: K = 1,17 · V (siehe oben).
Aufgabe 2) Ein Heizölvorrat reicht 80 Tage, wenn die Heizung täglich 12,5 h in
Betrieb ist.
a) Bei welcher täglichen Brenndauer würde der Vorrat 120 Tage reichen?
Der existierende Vorrat an Heizöl nimmt kontinuierlich ab, je länger die Brenndauer/Tag
desto schneller ist der Vorrat aufgebraucht.
Vermutung: Die Anzahl der Tage ist umgekehrt proportional zu den Brennstunden.
d.h. P = Tage · Stunden und daraus folgt:
Tage=StundenP
Gegeben ist, dass der Heizölvorrat 80 Tage reicht, wenn die Heizung täglich 12,5 h in Betrieb
ist, damit ist
P = 80 · 12,5 = 1000.
Wenn wir also wissen wollen wie hoch die Brenndauer ist, wenn der Vorrat 120 Tage reichen
soll, müssen wir in
Tage=StundenP einsetzen:
120 Tage=Stunden1000 Die Gleichung muss nach Stunden aufgelöst werden:
120 Tage=Stunden1000 | · Stunden
120 Tage · Stunden = 1000 | : 120 Tage
Stunden = 1201000= 8,33
Antwort: Der Vorrat reicht bei einer Brenndauer von 8,33 h täglich 120 Tage.
Lösung Aufgabe 2b) Wie lange reicht der Vorrat bei einer Brenndauer von 9h pro Tag?
Hier muss einfach in Tage=StundenP 9 h eingesetzt werden:
Tage = 91000 = 111,11111 = 111 91 Tage
Antwort: Bei einer Brenndauer von 9 Tagen reicht der Vorrat für 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟗 Tage.
Aufgabe 3) Gegeben sei die Funktion:
f (x) =
a) Bestimme die Definitionsmenge.
b) Bestimme die Nullstellen.
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Lösung Aufgabe 3a) Bestimme die Definitionsmenge.
Bei der Funktion f (x) =
darf der Nenner x - 7 nicht 0 werden, d. h. wir müssen das x berechnen für das der Nenner 0
wird, damit wir diesen Wert aus der Definitionsmenge ausschließen können:
x – 7 = 0 | + 7
x = 7
Antwort: Des Weiteren sind alle Werte für x zulässig, die Definitionsmenge heißt also
D = {Q \ x =7} (Menge der rationalen Zahlen ohne 7).
Lösung Aufgabe 3b) Bestimme die Nullstellen.
Die Nullstellen werden bestimmt, indem f (x) = 0 gesetzt wird, also 73−x x
= 0 .
Ein Bruch wird immer dann 0, wenn der Zähler 0 wird (Der Nenner darf niemals 0 werden).
Es reicht also nur den Zähler des Bruches von f (x) zu betrachten um die Nullstelle zu
berechnen.
Also:
f (x) = 3x = 0
x = 0
Antwort: Die Nullstelle geht demnach durch den Punkt P(0|0).
Zur Veranschaulichung: (gehört nicht zur Aufgabenstellung)
Der Graph der Funktion f (x) =
Wir sehen also: Der Graph geht durch den Punkt P(0|0), das ist die Nullstelle.
Lösung Aufgabe 3a) Bestimme die Definitionsmenge.
Bei der Funktion f (x) =
darf der Nenner x - 7 nicht 0 werden, d. h. wir müssen das x berechnen für das der Nenner 0
wird, damit wir diesen Wert aus der Definitionsmenge ausschließen können:
x – 7 = 0 | + 7
x = 7
Antwort: Des Weiteren sind alle Werte für x zulässig, die Definitionsmenge heißt also
D = {Q \ x =7} (Menge der rationalen Zahlen ohne 7).
Lösung Aufgabe 3b) Bestimme die Nullstellen.
Die Nullstellen werden bestimmt, indem f (x) = 0 gesetzt wird, also 73−x x
= 0 .
Ein Bruch wird immer dann 0, wenn der Zähler 0 wird (Der Nenner darf niemals 0 werden).
Es reicht also nur den Zähler des Bruches von f (x) zu betrachten um die Nullstelle zu
berechnen.
Also:
f (x) = 3x = 0
x = 0
Antwort: Die Nullstelle geht demnach durch den Punkt P(0|0).
Zur Veranschaulichung: (gehört nicht zur Aufgabenstellung)
Der Graph der Funktion f (x) =
Wir sehen also: Der Graph geht durch den Punkt P(0|0), das ist die Nullstelle.
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Lösung Aufgabe 4) Gegeben sei die Funktion:
f (x) =
a) Zeichne den Graphen der Funktion ohne die Wertetabelle zu berechnen.
b) Gib die Definitionsmenge an.
c) Berechne die Nullstelle.
d) Bestimme die Steigung einer zu f senkrechten Geraden g.
Lösung Aufgabe 4a) Zeichne den Graphen der Funktion ohne die Wertetabelle zu
berechnen.
Bei der Funktion handelt es sich um eine lineare Funktion der Form f (x) = m · x + b, das ist
eine Gerade. Mit zwei Punkten können wir eine Gerade exakt bestimmen.
Den ersten Punkt P erhalten wir:
b ist der y-Achsenabschnitt der Funktion, d.h. in diesem Punkt ist x = 0. Der Graph schneidet
im Punkt P(0|3,5) die y-Achse.
Den zweiten Punkt Q erhalten wir mit Hilfe der Steigung m, das ist hier - 21.
Vom Punkt P aus tragen wir nun das Steigungsdreieck an, m = −1
2 = −𝑦
𝑥
Wir gehen vom Punkt P aus 2 Einheiten in die positive x-Richtung (+2) und 1 Einheit in die
negative y-Richtung ( - 1). Der zweite Punkt Q hat damit die Koordinaten Q(2|2,5).
Zwei Punkte bestimmen eindeutig eine Gerade. Durch verbinden der beiden Punkte erhalten
wir den Funktionsgraphen:
f (x) =
Lösung Aufgabe 4b) Gib die Definitionsmenge an:
Antwort: Die Definitionsmenge ist die Menge der rationalen Zahlen D ={Q }
Lösung Aufgabe 4) Gegeben sei die Funktion:
f (x) =
a) Zeichne den Graphen der Funktion ohne die Wertetabelle zu berechnen.
b) Gib die Definitionsmenge an.
c) Berechne die Nullstelle.
d) Bestimme die Steigung einer zu f senkrechten Geraden g.
Lösung Aufgabe 4a) Zeichne den Graphen der Funktion ohne die Wertetabelle zu
berechnen.
Bei der Funktion handelt es sich um eine lineare Funktion der Form f (x) = m · x + b, das ist
eine Gerade. Mit zwei Punkten können wir eine Gerade exakt bestimmen.
Den ersten Punkt P erhalten wir:
b ist der y-Achsenabschnitt der Funktion, d.h. in diesem Punkt ist x = 0. Der Graph schneidet
im Punkt P(0|3,5) die y-Achse.
Den zweiten Punkt Q erhalten wir mit Hilfe der Steigung m, das ist hier - 21.
Vom Punkt P aus tragen wir nun das Steigungsdreieck an, m = −1
2 = −𝑦
𝑥
Wir gehen vom Punkt P aus 2 Einheiten in die positive x-Richtung (+2) und 1 Einheit in die
negative y-Richtung ( - 1). Der zweite Punkt Q hat damit die Koordinaten Q(2|2,5).
Zwei Punkte bestimmen eindeutig eine Gerade. Durch verbinden der beiden Punkte erhalten
wir den Funktionsgraphen:
f (x) =
Lösung Aufgabe 4b) Gib die Definitionsmenge an:
Antwort: Die Definitionsmenge ist die Menge der rationalen Zahlen D ={Q }
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Lösung Aufgabe 4c) Berechne die Nullstelle.
Für die Nullstelle gilt: f (x) = 0 =
05,321 =−x
| + 3,5 5,321 =x
| · 2 5,3=x
· 2 7=x
Antwort: Die Nullstelle ist der Punkt R(7|0).
Lösung Aufgabe 4d) Bestimme die Steigung einer zu f senkrechten Geraden g
Die Steigung einer zu f senkrechten Geraden g ist der negative Kehrwert der Steigung der
Geraden g
f (x) =
Die Steigung der Geraden g ist m= -21 .
Der negative Kehrwert von -21 ist + 2.
Antwort: Die Steigung einer zu f senkrechten Geraden g ist m = +2.
Graphen Aufgabe 4 zur Veranschaulichung (nicht Bestandteil der Aufgabe 4)
Aufgabe 5) P(-1,5|1) und Q(1,5|3) liegen auf der Gerade g.
a) Berechne den Funktionsterm der Geraden g.
b) Bestimme den Funktionsterm einer direkt proportionalen Funktion h,
deren Graph parallel zur Geraden g verläuft.
Lösung Aufgabe 5a) Berechne den Funktionsterm der Geraden g.
Die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden ist f (x) = m · x + b.
Dabei ist m die Steigung der Geraden. Die Steigung der Geraden wird berechnet mit
m = 12
12
xx yy −
− m = )5,1(5,1 13 −− − m = 32
Lösung Aufgabe 4c) Berechne die Nullstelle.
Für die Nullstelle gilt: f (x) = 0 =
05,321 =−x
| + 3,5 5,321 =x
| · 2 5,3=x
· 2 7=x
Antwort: Die Nullstelle ist der Punkt R(7|0).
Lösung Aufgabe 4d) Bestimme die Steigung einer zu f senkrechten Geraden g
Die Steigung einer zu f senkrechten Geraden g ist der negative Kehrwert der Steigung der
Geraden g
f (x) =
Die Steigung der Geraden g ist m= -21 .
Der negative Kehrwert von -21 ist + 2.
Antwort: Die Steigung einer zu f senkrechten Geraden g ist m = +2.
Graphen Aufgabe 4 zur Veranschaulichung (nicht Bestandteil der Aufgabe 4)
Aufgabe 5) P(-1,5|1) und Q(1,5|3) liegen auf der Gerade g.
a) Berechne den Funktionsterm der Geraden g.
b) Bestimme den Funktionsterm einer direkt proportionalen Funktion h,
deren Graph parallel zur Geraden g verläuft.
Lösung Aufgabe 5a) Berechne den Funktionsterm der Geraden g.
Die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden ist f (x) = m · x + b.
Dabei ist m die Steigung der Geraden. Die Steigung der Geraden wird berechnet mit
m = 12
12
xx yy −
− m = )5,1(5,1 13 −− − m = 32
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Somit heißt die Funktionsgleichung bisher f (x) =32 x + b.
Jetzt wird einer der angegebenen Punkte in diese Gleichung eingesetzt:
Mit dem eingesetzten Punkt Q lautet die Gleichung:
1 = 32 · (-1,5) + b
1 = 32 · (-23 ) + b
1 = -1 + b |+ 1
1 + 1 = b
b = 2
Antwort: Der Funktionsterm lautet f (x) = 32x + 2
Lösung Aufgabe 5b) Bestimme den Funktionsterm einer direkt proportionalen
Funktion h, deren Graph parallel zur Geraden g verläuft.
Bei einer Parallelen zur Geraden g ist die Steigung m der Geraden h gleich der Steigung der
Geraden g. Steigung der Geraden h gleich der Steigung der Geraden g, beide m = 32
Der Funktionsterm der Geraden h parallel zur Geraden g hat lediglich ein von g
verschiedenes b ( y = m · x + b, der y-Achsenabschnitt b muss verändert werden):
Antwort: Eine zur Geraden g parallele Gerade h hat die Funktionsgleichung
h (x) = 32x + 4
Graphen Aufgabe 5 zur Veranschaulichung (nicht Bestandteil der Aufgabe 5)
Somit heißt die Funktionsgleichung bisher f (x) =32 x + b.
Jetzt wird einer der angegebenen Punkte in diese Gleichung eingesetzt:
Mit dem eingesetzten Punkt Q lautet die Gleichung:
1 = 32 · (-1,5) + b
1 = 32 · (-23 ) + b
1 = -1 + b |+ 1
1 + 1 = b
b = 2
Antwort: Der Funktionsterm lautet f (x) = 32x + 2
Lösung Aufgabe 5b) Bestimme den Funktionsterm einer direkt proportionalen
Funktion h, deren Graph parallel zur Geraden g verläuft.
Bei einer Parallelen zur Geraden g ist die Steigung m der Geraden h gleich der Steigung der
Geraden g. Steigung der Geraden h gleich der Steigung der Geraden g, beide m = 32
Der Funktionsterm der Geraden h parallel zur Geraden g hat lediglich ein von g
verschiedenes b ( y = m · x + b, der y-Achsenabschnitt b muss verändert werden):
Antwort: Eine zur Geraden g parallele Gerade h hat die Funktionsgleichung
h (x) = 32x + 4
Graphen Aufgabe 5 zur Veranschaulichung (nicht Bestandteil der Aufgabe 5)
