KA – Bruchterme
Kl. 8 – Gym
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Klassenarbeit – Bruchterme
Aufgabe 1:
Vereinfache folgende Terme! (Bringe auf einen Nenner, kürze...)
a) 15x3y2
5z−15 ∶ 35xy5
7z−21 =
b) (x
y− 1)∶ [x2+ 2xy + y2
4xy − 1]=
c) a − b
a + b − a + b
a − b =
Aufgabe 2:
Berechne die Lösungsmenge, G = ℚ
a) x + 6
x = x + 4
x + 1
b) 3x − 4
x − 3 − 4= 5 − 2x
2x
c) 4x + 1
4x + 2 − 5x − 2
6x + 3 = 5
18
d) 1
x2 − x − 1
x2 + x = 2
x2 − 1
Aufgabe 3:
Schreibe erst als „Rechenaufgabe“, löse dann und mache abschließend eine
Probe!
In einem Bruch ist der Nenner um 9 größer als der Zähler. Der Wert dieses
Bruches ändert sich nicht, wenn man gleichzeitig den Zähler dieses Bruches um 8
und den Nenner um 14 verringert. Wie heißt der Bruch?
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Aufgabe 1:
Vereinfache folgende Terme! (Bringe auf einen Nenner, kürze...)
a) 15x3y2
5z−15 ∶ 35xy5
7z−21 =
b) (x
y− 1)∶ [x2+ 2xy + y2
4xy − 1]=
c) a − b
a + b − a + b
a − b =
Aufgabe 2:
Berechne die Lösungsmenge, G = ℚ
a) x + 6
x = x + 4
x + 1
b) 3x − 4
x − 3 − 4= 5 − 2x
2x
c) 4x + 1
4x + 2 − 5x − 2
6x + 3 = 5
18
d) 1
x2 − x − 1
x2 + x = 2
x2 − 1
Aufgabe 3:
Schreibe erst als „Rechenaufgabe“, löse dann und mache abschließend eine
Probe!
In einem Bruch ist der Nenner um 9 größer als der Zähler. Der Wert dieses
Bruches ändert sich nicht, wenn man gleichzeitig den Zähler dieses Bruches um 8
und den Nenner um 14 verringert. Wie heißt der Bruch?
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Aufgabe 1: Vereinfache folgende Terme! (Bringe auf einen Nenner, kürze...)
a) 15x3y2
5z−15 ∶ 35xy5
7z−21 = 15x3y2
5z−15 ∙ 7z−21
35xy5 = 3x2 ∙7(z − 3)
5(z−3) ∙ 7y3 = 𝟑𝐱𝟐
𝟓𝐲𝟑
b) (x
y − 1)∶ [x2+ 2xy + y2
4xy − 1]=(x
y − y
y)∶ [x2+ 2xy + y2
4xy − 1]=
=(x−y
y )∶ [x2 + 2xy + y2
4xy − 4xy
4xy]=
=(x−y
y )∶[x2 + 2xy + y2 − 4xy
4xy ]= (x−y
y )∶[x2 − 2xy + y2
4xy ]
= (x−y
y )∙ [ 4xy
(x− y)2]= 𝟒𝐱
𝐱−𝐲
c) a – b
a + b − a + b
a − b = (a – b)(a−b)
(a+b)(a−b) − (a+ b)(a+b)
(a+b)(a−b) =a2− 2ab+ b2− (a2+ 2ab+ b2)
a2− b2
= a2 − 2ab+ b2 − a2 − 2ab− b2
a2 − b2 = −𝟒𝐚𝐛
𝐚𝟐 − 𝐛𝟐
Aufgabe 2: Berechne die Lösungsmenge, G = ℚ
Achtung! Der Nenner darf nie Null werden!
a) x + 6
x = x + 4
x + 1 │∙ (x + 2) ; ∙ x (Gleichung nicht definiert für
x = 0 u. x = -1)
(x+6)(x+1) = (x+4) ∙x
x2 + x + 6x + 6 = x2 + 4x │- x2
7x + 6 = 4x │- 7x
6 = - 3x │: (- 3)
- 2 = x 𝓛= {− 𝟐}
b) 3x − 4
x − 3 − 4 = 5 − 2x
2x (Gleichung nicht definiert für x = 3 und x = 0)
(3x − 4)− 4(x − 3)
(x − 3) = 5 − 2x
2x │∙ 2x ∙ (x - 3)
2x(3x – 4 – 4x + 12) = (5 – 2x)(x – 3)
2x(-x + 8) = 5x – 15 – 2x2 + 6x
-2x² + 16x = -2x² + 11x – 15 │+ 2x²
16x = 11x – 15 │- 11x
5x = - 15 │: 5
x = - 3 𝓛= {− 𝟑}
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Aufgabe 1: Vereinfache folgende Terme! (Bringe auf einen Nenner, kürze...)
a) 15x3y2
5z−15 ∶ 35xy5
7z−21 = 15x3y2
5z−15 ∙ 7z−21
35xy5 = 3x2 ∙7(z − 3)
5(z−3) ∙ 7y3 = 𝟑𝐱𝟐
𝟓𝐲𝟑
b) (x
y − 1)∶ [x2+ 2xy + y2
4xy − 1]=(x
y − y
y)∶ [x2+ 2xy + y2
4xy − 1]=
=(x−y
y )∶ [x2 + 2xy + y2
4xy − 4xy
4xy]=
=(x−y
y )∶[x2 + 2xy + y2 − 4xy
4xy ]= (x−y
y )∶[x2 − 2xy + y2
4xy ]
= (x−y
y )∙ [ 4xy
(x− y)2]= 𝟒𝐱
𝐱−𝐲
c) a – b
a + b − a + b
a − b = (a – b)(a−b)
(a+b)(a−b) − (a+ b)(a+b)
(a+b)(a−b) =a2− 2ab+ b2− (a2+ 2ab+ b2)
a2− b2
= a2 − 2ab+ b2 − a2 − 2ab− b2
a2 − b2 = −𝟒𝐚𝐛
𝐚𝟐 − 𝐛𝟐
Aufgabe 2: Berechne die Lösungsmenge, G = ℚ
Achtung! Der Nenner darf nie Null werden!
a) x + 6
x = x + 4
x + 1 │∙ (x + 2) ; ∙ x (Gleichung nicht definiert für
x = 0 u. x = -1)
(x+6)(x+1) = (x+4) ∙x
x2 + x + 6x + 6 = x2 + 4x │- x2
7x + 6 = 4x │- 7x
6 = - 3x │: (- 3)
- 2 = x 𝓛= {− 𝟐}
b) 3x − 4
x − 3 − 4 = 5 − 2x
2x (Gleichung nicht definiert für x = 3 und x = 0)
(3x − 4)− 4(x − 3)
(x − 3) = 5 − 2x
2x │∙ 2x ∙ (x - 3)
2x(3x – 4 – 4x + 12) = (5 – 2x)(x – 3)
2x(-x + 8) = 5x – 15 – 2x2 + 6x
-2x² + 16x = -2x² + 11x – 15 │+ 2x²
16x = 11x – 15 │- 11x
5x = - 15 │: 5
x = - 3 𝓛= {− 𝟑}
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c) 4x + 1
4x + 2 − 5x − 2
6x + 3 = 5
18 (Gleichung nicht definiert für x = - 0,5)
4x + 1
2(2x + 1)− 5x − 2
3(2x + 1) = 5
18
9(4x + 1) −6(5x − 2)
18(2x + 1) = 5(2x + 1)
18(2x + 1) │∙ 18(2x + 1)
36x + 9 – 30x + 12 = 10x + 5
6x + 21 = 10x + 5 │- 5 - 6x
16 = 4x │: 4
4 = x 𝓛= {𝟒}
d) 1
x2 − x− 1
x2 + x = 2
x2 − 1 (Gleichung nicht definiert für x = 1 und x = - 1)
1
𝑥(𝑥 − 1) − 1
𝑥(𝑥 + 1) = 2
(𝑥 −1)(𝑥 + 1)
1(𝑥 + 1)
𝑥(𝑥 −1)(𝑥 + 1)− 1(𝑥 − 1)
𝑥(𝑥 −1)(𝑥 + 1) = 2𝑥
𝑥(𝑥 −1)(𝑥 + 1) │∙ 𝑥(𝑥 −1)(𝑥 + 1)
(x + 1) – (x – 1) = 2x
x + 1 – x + 1 = 2x
2 = 2x │: 2
1 = x 𝓛= {ø} (da Gleichung für x = 1 nicht definiert
ist)
Aufgabe 3:
In einem Bruch ist der Nenner um 9 größer als der Zähler. Der Wert dieses Bruches ändert sich nicht, wenn man
gleichzeitig den Zähler dieses Bruches um 8 und den Nenner um 14 verringert. Wie heißt der Bruch?
x
x + 9 = x − 8
(x + 9) − 14
x
x + 9 = x − 8
x − 5 │∙ (x + 9) ∙ (x - 5)
x(x – 5) = (x – 8)(x + 9)
x² - 5x = x² + 9x – 8x – 72 │- x²
- 5x = x – 72 │- x
- 6x = - 72 │: (-6)
x = 12
Bruch: 𝟏𝟐
𝟐𝟏 Probe: 12 − 8
21 − 14 = 4
7 = 12
21 (bei Erweiterung d. Bruches mit 3)
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c) 4x + 1
4x + 2 − 5x − 2
6x + 3 = 5
18 (Gleichung nicht definiert für x = - 0,5)
4x + 1
2(2x + 1)− 5x − 2
3(2x + 1) = 5
18
9(4x + 1) −6(5x − 2)
18(2x + 1) = 5(2x + 1)
18(2x + 1) │∙ 18(2x + 1)
36x + 9 – 30x + 12 = 10x + 5
6x + 21 = 10x + 5 │- 5 - 6x
16 = 4x │: 4
4 = x 𝓛= {𝟒}
d) 1
x2 − x− 1
x2 + x = 2
x2 − 1 (Gleichung nicht definiert für x = 1 und x = - 1)
1
𝑥(𝑥 − 1) − 1
𝑥(𝑥 + 1) = 2
(𝑥 −1)(𝑥 + 1)
1(𝑥 + 1)
𝑥(𝑥 −1)(𝑥 + 1)− 1(𝑥 − 1)
𝑥(𝑥 −1)(𝑥 + 1) = 2𝑥
𝑥(𝑥 −1)(𝑥 + 1) │∙ 𝑥(𝑥 −1)(𝑥 + 1)
(x + 1) – (x – 1) = 2x
x + 1 – x + 1 = 2x
2 = 2x │: 2
1 = x 𝓛= {ø} (da Gleichung für x = 1 nicht definiert
ist)
Aufgabe 3:
In einem Bruch ist der Nenner um 9 größer als der Zähler. Der Wert dieses Bruches ändert sich nicht, wenn man
gleichzeitig den Zähler dieses Bruches um 8 und den Nenner um 14 verringert. Wie heißt der Bruch?
x
x + 9 = x − 8
(x + 9) − 14
x
x + 9 = x − 8
x − 5 │∙ (x + 9) ∙ (x - 5)
x(x – 5) = (x – 8)(x + 9)
x² - 5x = x² + 9x – 8x – 72 │- x²
- 5x = x – 72 │- x
- 6x = - 72 │: (-6)
x = 12
Bruch: 𝟏𝟐
𝟐𝟏 Probe: 12 − 8
21 − 14 = 4
7 = 12
21 (bei Erweiterung d. Bruches mit 3)
