Rechengesetze 5.Klasse Seite 1
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Gesetze der Addition
Klammern fassen Additionen zusammen.
Der Klammerinhalt wird immer zuerst berechnet.
Dabei gelten diese Gesetze:
Assoziativgesetz
Du kannst auch anders zusammenfassen,
d,h. Klammern dürfen nach Wunsch gesetzt werden.
(34 + 21) + 19 = 34 + (21 + 19)
= 34 + 21 + 19
Kommutativgesetz
Beim Addieren dürfen die Summanden vertauscht werden.
34 + 21 + 19 = 21 + 19 + 34
Zur Erinnerung:
Summand plus Summand gleich Summe
21 + 19 = 40
Wenn du diese Gesetze beim Rechnen anwendest, entstehen oft
Rechenvorteile.
1. Wo sind sie hier versteckt?
a) 299 + 88 + 31 + 42 ___________________________________
b) 867 + 54 + 23 ___________________________________
c) 32 + 87 + 168 + 223 ___________________________________
d) 14 + 48 + 22 + 76 ___________________________________
e) 360 + 280 + 340 ___________________________________
f) 17 + 17 + 26 + 33 ___________________________________
g) 45 + 266 + 155 + 11 ___________________________________
h) 188 + 403 + 512 ___________________________________
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Gesetze der Addition
Klammern fassen Additionen zusammen.
Der Klammerinhalt wird immer zuerst berechnet.
Dabei gelten diese Gesetze:
Assoziativgesetz
Du kannst auch anders zusammenfassen,
d,h. Klammern dürfen nach Wunsch gesetzt werden.
(34 + 21) + 19 = 34 + (21 + 19)
= 34 + 21 + 19
Kommutativgesetz
Beim Addieren dürfen die Summanden vertauscht werden.
34 + 21 + 19 = 21 + 19 + 34
Zur Erinnerung:
Summand plus Summand gleich Summe
21 + 19 = 40
Wenn du diese Gesetze beim Rechnen anwendest, entstehen oft
Rechenvorteile.
1. Wo sind sie hier versteckt?
a) 299 + 88 + 31 + 42 ___________________________________
b) 867 + 54 + 23 ___________________________________
c) 32 + 87 + 168 + 223 ___________________________________
d) 14 + 48 + 22 + 76 ___________________________________
e) 360 + 280 + 340 ___________________________________
f) 17 + 17 + 26 + 33 ___________________________________
g) 45 + 266 + 155 + 11 ___________________________________
h) 188 + 403 + 512 ___________________________________
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Gesetze für die Multiplikation und Division
Multiplikation und Division sind zueinander Umkehraufgaben.
So kannst du immer deine Ergebnisse kontrollieren. 5 · 6 = 30 ⇢ 30 : 6 = 5
Der Sonderfall 0
Durch 0 darf man nicht teilen! 7 : 0
0 geteilt durch jede Zahl ergibt 0 0 : 9 = 0, 0 : 32562 = 0
Jede Zahl mal 0 ergibt 0 6 · 0 = 0 7,2543 · 0 = 0
Kommutativgesetz für die Multiplikation
In einem Produkt darf man die Faktoren vertauschen.
2 · 5 = 5 · 2
Assoziativgesetz für die Multiplikation
Mehrere Faktoren eines Produkts darf man verschieden zusammenfassen.
(4 · 5) · 2 = 4 · (5 · 2)
Zur Erinnerung: 1. Faktor mal 2. Faktor gleich Produkt
5 · 2 = 10
2. Rechne und kontrolliere:
a) 48 · 14 = _____________________ ________________________
b) 728 : 28 = _____________________ ________________________
c) 210 : 0 = _____________________ ________________________
d) 35 · 17 = _____________________ ________________________
e) 912 : 19 = _____________________ ________________________
f) 617 · 0 = _____________________ ________________________
g) 0 : 11 = _____________________ ________________________
3. Rechne verschieden:
a) 19 · 2 · 47 ________________________________________________
________________________________________________
b) 79 · 15 · 6 ________________________________________________
________________________________________________
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Gesetze für die Multiplikation und Division
Multiplikation und Division sind zueinander Umkehraufgaben.
So kannst du immer deine Ergebnisse kontrollieren. 5 · 6 = 30 ⇢ 30 : 6 = 5
Der Sonderfall 0
Durch 0 darf man nicht teilen! 7 : 0
0 geteilt durch jede Zahl ergibt 0 0 : 9 = 0, 0 : 32562 = 0
Jede Zahl mal 0 ergibt 0 6 · 0 = 0 7,2543 · 0 = 0
Kommutativgesetz für die Multiplikation
In einem Produkt darf man die Faktoren vertauschen.
2 · 5 = 5 · 2
Assoziativgesetz für die Multiplikation
Mehrere Faktoren eines Produkts darf man verschieden zusammenfassen.
(4 · 5) · 2 = 4 · (5 · 2)
Zur Erinnerung: 1. Faktor mal 2. Faktor gleich Produkt
5 · 2 = 10
2. Rechne und kontrolliere:
a) 48 · 14 = _____________________ ________________________
b) 728 : 28 = _____________________ ________________________
c) 210 : 0 = _____________________ ________________________
d) 35 · 17 = _____________________ ________________________
e) 912 : 19 = _____________________ ________________________
f) 617 · 0 = _____________________ ________________________
g) 0 : 11 = _____________________ ________________________
3. Rechne verschieden:
a) 19 · 2 · 47 ________________________________________________
________________________________________________
b) 79 · 15 · 6 ________________________________________________
________________________________________________
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Rechengesetze und Klammern
Für alle Rechenausdrücke gilt immer:
Punktrechnung vor Strichrechnung!!!
Zuerst · und : dann + und -
Beispiel: 7 + 5 · 9 = ______ 40 : 5 – 3 = _____
7 + 45 = 52 8 – 3 = 5
Für das Rechnen mit Klammern gilt:
Zuerst wird der Klammerinhalt berechnet!
Distributivgesetz
Du kannst Rechenausdrücke anders verteilen.
Setze Klammern: 5 · 3 + 5 · 4 = 5 · (3 + 4)
Löse sie auf: 8 · (3 + 2) = 8 · 3 + 8 · 2
Oder: 48 · 6 = 40 · 6 + 8 · 6 = 240 + 48 = 288
4. Berechne:
a) 78 + 3 · 6 – 27 = __________________________________________
b) 4 · 9 + (2 · 8 – 5) = __________________________________________
5. Rechne auf 2 Arten:
a) 6 · (78 – 21) = __________________________________________
= __________________________________________
b) 928 : 8 = __________________________________________
= __________________________________________
c) 790 · 8 = __________________________________________
= __________________________________________
d) 846 : 9 = __________________________________________
= __________________________________________
e) 8 · (46 + 24) = __________________________________________
= __________________________________________
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Rechengesetze und Klammern
Für alle Rechenausdrücke gilt immer:
Punktrechnung vor Strichrechnung!!!
Zuerst · und : dann + und -
Beispiel: 7 + 5 · 9 = ______ 40 : 5 – 3 = _____
7 + 45 = 52 8 – 3 = 5
Für das Rechnen mit Klammern gilt:
Zuerst wird der Klammerinhalt berechnet!
Distributivgesetz
Du kannst Rechenausdrücke anders verteilen.
Setze Klammern: 5 · 3 + 5 · 4 = 5 · (3 + 4)
Löse sie auf: 8 · (3 + 2) = 8 · 3 + 8 · 2
Oder: 48 · 6 = 40 · 6 + 8 · 6 = 240 + 48 = 288
4. Berechne:
a) 78 + 3 · 6 – 27 = __________________________________________
b) 4 · 9 + (2 · 8 – 5) = __________________________________________
5. Rechne auf 2 Arten:
a) 6 · (78 – 21) = __________________________________________
= __________________________________________
b) 928 : 8 = __________________________________________
= __________________________________________
c) 790 · 8 = __________________________________________
= __________________________________________
d) 846 : 9 = __________________________________________
= __________________________________________
e) 8 · (46 + 24) = __________________________________________
= __________________________________________
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6. Schreibe Rechengesetze und ihre Namen auf. ( in Kurzform )
Wende diese Rechengesetze an!
a) 4 · 208 b) 13 · 8 + 57 · 8 c) 234 + 87 – 34 d) 3 · ( a + 2 )
7. Nenne das Assoziativgesetz der Multiplikation mit Worten, mit Variablen und als
Zahlenbeispiel!
8. Berechne! Welche Rechengesetze musst du beachten?
5 x 12 – 120 : 15 = _____ _________________________________________
27 + 18 + 23 12 = _____ _________________________________________
9 x 16 + (119 -31 ) = _____ _________________________________________
9. Erkläre folgende Begriff bzw. Gesetze:
Summanden: __________________________________________________
Subtrahend: __________________________________________________
Differenz: __________________________________________________
10. Stelle folgende Aufgabe grafisch dar: + 7
5 12
11. Berechne durch Ausklammern. Schreibe den entsprechenden Rechenausdruck auf.
a) 12 · 6 + 8 · 6 b) 5 · 45 + 55 · 5 c) 3 · 7 + 3 · 8 – 9 · 3
_______________ _______________ ___________________
12.) Berechne durch Ausmultiplizieren. Schreibe den entsprechenden
Rechenausdruck auf.
a) 4 · (12 + 55) b) (15 – 3 + 22) · 5 c) 7 · (11 + 8) + 12
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Wende diese Rechengesetze an!
a) 4 · 208 b) 13 · 8 + 57 · 8 c) 234 + 87 – 34 d) 3 · ( a + 2 )
7. Nenne das Assoziativgesetz der Multiplikation mit Worten, mit Variablen und als
Zahlenbeispiel!
8. Berechne! Welche Rechengesetze musst du beachten?
5 x 12 – 120 : 15 = _____ _________________________________________
27 + 18 + 23 12 = _____ _________________________________________
9 x 16 + (119 -31 ) = _____ _________________________________________
9. Erkläre folgende Begriff bzw. Gesetze:
Summanden: __________________________________________________
Subtrahend: __________________________________________________
Differenz: __________________________________________________
10. Stelle folgende Aufgabe grafisch dar: + 7
5 12
11. Berechne durch Ausklammern. Schreibe den entsprechenden Rechenausdruck auf.
a) 12 · 6 + 8 · 6 b) 5 · 45 + 55 · 5 c) 3 · 7 + 3 · 8 – 9 · 3
_______________ _______________ ___________________
12.) Berechne durch Ausmultiplizieren. Schreibe den entsprechenden
Rechenausdruck auf.
a) 4 · (12 + 55) b) (15 – 3 + 22) · 5 c) 7 · (11 + 8) + 12
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13. Ergänze den Satz sinnvoll!
a) Wenn man einen Summand verkleinert, dann wird der Wert der Summe _______________.
b) Wenn man den ________________ verkleinert, wird der Wert der Differenz größer.
c) Wenn man den ________________ und den _________________ einer _________________
um denselben Wert verkleinert, dann verändert sich der Wert des Ergebnisses nicht.
d) In der Menge der natürlichen Zahlen ist ___________ die kleinste Zahl!
14. Wie lautet der Fragesatz zu folgender Gleichung? Berechne die gesuchte Zahl
(Rechne nebeneinander!)
a) 1 375 + X = 59 084
b) X ‐ (15 782 – 6 992) = 63 874 + 79 195
15. Was erlaubt das Kommutativgesetz der Addition? Antwort in Satzform.
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
16. Rechne vorteilhaft! Gib das verwendete Rechengesetz ûber dem „= Zeichen“ an!
1823 + (789 + 177) =
..................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
17. Wahr oder falsch?
a. In den natürlichen Zahlen hat jede Zahl einen Vorgänger oder Nachfolger. _______
b. Wenn man den 1. und den 2. Summanden verdoppelt, vervierfacht sich der Wert der
Summe. _____________
c. Wenn man den Minuend verkleinert, vergrößert sich der Wert der Differenz. _______
18. Gib an der jeweiligen Stelle an, welches Rechengesetz du verwendet hast.
Verwende je Rechenschritt höchstens ein Rechengesetz. Du darfst die Namen der
Rechengesetze abkürzen.
656 + (67 + 344) =
..................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
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13. Ergänze den Satz sinnvoll!
a) Wenn man einen Summand verkleinert, dann wird der Wert der Summe _______________.
b) Wenn man den ________________ verkleinert, wird der Wert der Differenz größer.
c) Wenn man den ________________ und den _________________ einer _________________
um denselben Wert verkleinert, dann verändert sich der Wert des Ergebnisses nicht.
d) In der Menge der natürlichen Zahlen ist ___________ die kleinste Zahl!
14. Wie lautet der Fragesatz zu folgender Gleichung? Berechne die gesuchte Zahl
(Rechne nebeneinander!)
a) 1 375 + X = 59 084
b) X ‐ (15 782 – 6 992) = 63 874 + 79 195
15. Was erlaubt das Kommutativgesetz der Addition? Antwort in Satzform.
...............................................................................................................................................
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16. Rechne vorteilhaft! Gib das verwendete Rechengesetz ûber dem „= Zeichen“ an!
1823 + (789 + 177) =
..................................................................................................................................................
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17. Wahr oder falsch?
a. In den natürlichen Zahlen hat jede Zahl einen Vorgänger oder Nachfolger. _______
b. Wenn man den 1. und den 2. Summanden verdoppelt, vervierfacht sich der Wert der
Summe. _____________
c. Wenn man den Minuend verkleinert, vergrößert sich der Wert der Differenz. _______
18. Gib an der jeweiligen Stelle an, welches Rechengesetz du verwendet hast.
Verwende je Rechenschritt höchstens ein Rechengesetz. Du darfst die Namen der
Rechengesetze abkürzen.
656 + (67 + 344) =
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19. Rechne möglichst geschickt und gibt an, welche Rechengesetze du
angewendest hast:
( 33254 + 119 ) + 1116 =
..................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
20. Berechne die Aufgaben a) bis c) geschickt durch Anwendung des Distributivgesetzes:
a) 14 • 17 + 14 • 83 b) (420 ‐ 42) : 21 c) 560 : 40 + 240 : 40
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
21. Berechne die Aufgabe auf zwei Weisen:
12 •11 – 9 • 11
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
22. Berechne auf Extrablatt:
a) 36 + 144 : 8 = b) 160 + 240 : 8 – 20 = c) (670 – 70) : (14 + 6) =
d) (320‐80) : 40 + 30 = e) (46 + 45 : 9 – 8) • 2 – 84 = f) ((48 ‐ 13 • 3) • 11 + 45) : 12 – 10 =
23. Rechne vorteilhaft.
138 + 2 • 12 + 76 = 13 • 48 – 48 • 3 = 87 + 158 + 13 =
24. Wende das Distributivgesetz an und berechne das Ergebnis
( 10 + 2 ) • 26 = 76 • 4 + 24 • 4 = 1045 : 5 =
25. Berechne.
26 : ( 20 – 7 ) = 100 : 20 : 5 = 11 • [ 100 – ( 80 + 3 • 4 )] = 35 + 7 • 4 =
Merke!!
Kommutativgesetz:
Addition x + y = y + x
Multiplikation _ • _ = y • x
Assoziativgesetz:
Addition (x + y) + z = x + (y + z)
Multiplikation (x • y) • z = x • (y • z)
Distributivgesetz: x • (y + z) = x • y + x • z
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19. Rechne möglichst geschickt und gibt an, welche Rechengesetze du
angewendest hast:
( 33254 + 119 ) + 1116 =
..................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
20. Berechne die Aufgaben a) bis c) geschickt durch Anwendung des Distributivgesetzes:
a) 14 • 17 + 14 • 83 b) (420 ‐ 42) : 21 c) 560 : 40 + 240 : 40
..................................................................................................................................................
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21. Berechne die Aufgabe auf zwei Weisen:
12 •11 – 9 • 11
..................................................................................................................................................
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22. Berechne auf Extrablatt:
a) 36 + 144 : 8 = b) 160 + 240 : 8 – 20 = c) (670 – 70) : (14 + 6) =
d) (320‐80) : 40 + 30 = e) (46 + 45 : 9 – 8) • 2 – 84 = f) ((48 ‐ 13 • 3) • 11 + 45) : 12 – 10 =
23. Rechne vorteilhaft.
138 + 2 • 12 + 76 = 13 • 48 – 48 • 3 = 87 + 158 + 13 =
24. Wende das Distributivgesetz an und berechne das Ergebnis
( 10 + 2 ) • 26 = 76 • 4 + 24 • 4 = 1045 : 5 =
25. Berechne.
26 : ( 20 – 7 ) = 100 : 20 : 5 = 11 • [ 100 – ( 80 + 3 • 4 )] = 35 + 7 • 4 =
Merke!!
Kommutativgesetz:
Addition x + y = y + x
Multiplikation _ • _ = y • x
Assoziativgesetz:
Addition (x + y) + z = x + (y + z)
Multiplikation (x • y) • z = x • (y • z)
Distributivgesetz: x • (y + z) = x • y + x • z
Rechengesetze 5.Klasse Seite 7
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Lösungen:
1. Wo sind sie hier versteckt?
a) 299 + 88 + 31 + 42 299 + 31 + 88 + 42 = 330 + 130 = 460
b) 867 + 54 + 23 867 + 23 + 54 = 890 + 54 = 944
c) 32 + 87 + 168 + 223 32 + 168 + 87 + 223 = 200 + 310 = 510
d) 14 + 48 + 22 + 76 14 + 76 + 48 + 22 = 90 + 70 = 160
e) 360 + 280 + 340 360 + 340 + 280 = 700 + 280 = 980
f) 17 + 17 + 26 + 33 17 + 17 + 26 + 33 = 60 + 33 = 93
g) 45 + 266 + 155 + 11 45 + 155 + 266 + 11 = 200 + 277 = 477
h) 188 + 403 + 512 188 + 512 + 403 = 700 + 403 = 1103
2. Rechne und kontrolliere:
a) 48 · 14 = 672 672 : 14 = 48
b) 728 : 28 = 26 26 · 28 = 728
c) 210 : 0 = diese Aufgabe geht nicht, durch 0 darf man nicht teilen
d) 35 · 17 = 595 595 : 17 = 35
e) 912 : 19 = 48 48 · 19 = 912
f) 617 · 0 = 0 Keine Kontolle möglich
g) 0 : 11 = 0 Keine Kontolle möglich
3. Rechne verschieden:
a) 19 · 2 · 47 (19 · 2) · 47 = 38 · 47 = 1786
19 · (2 · 47) = 19 · 94 = 1786
b) 79 · 15 · 6 (79 · 15) · 6 = 1185 · 6 = 7110
79 · (15 · 6) = 79 · 90 = /110
4. Berechne:
a) 78 + 3 · 6 – 27 = 78 + 18 – 27 = 69
b) 4 · 9 + (2 · 8 – 5) = 36 + (16 – 5) = 36 + 11 = 47
5. Rechne auf 2 Arten:
a) 6 · (78 – 21) = 342
= 6 · 78 – 6 · 21 = 468 – 126 = 342
b) 928 : 8 = 116
= 800 : 8 + 128 : 8 = 100 + 16 = 116
c) 790 · 8 = 6320
= 700 · 8 + 90 · 8 = 5600 + 720 = 6320
d) 846 : 9 = 94
= 810 : 5 + 36 : 9 = 90 + 4 = 94
e) 8 · (46 + 24) = 560 = 8 · 46 + 8 · 24 = 368 + 192 = 560
6. Kommutativgesetz a + b = b + a ; a x b = b x a 208 x 4 = 832
Distributivgesetz ( a + b ) x c = a x c + b x c
13 x 8 + 57 x 8 = ( 13 + 57 ) x 8 = 70 x 8 = 560
Assotiativgesetz ( a + b) + c = a + ( b + c ) ( a x b ) x c = a x ( b x c )
234 + 87 – 34 = ( 234 + 87 ) – 34 = 287
3 x ( a + 2 ) = 3 x a + 2 x 3 = 3a + 6
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Lösungen:
1. Wo sind sie hier versteckt?
a) 299 + 88 + 31 + 42 299 + 31 + 88 + 42 = 330 + 130 = 460
b) 867 + 54 + 23 867 + 23 + 54 = 890 + 54 = 944
c) 32 + 87 + 168 + 223 32 + 168 + 87 + 223 = 200 + 310 = 510
d) 14 + 48 + 22 + 76 14 + 76 + 48 + 22 = 90 + 70 = 160
e) 360 + 280 + 340 360 + 340 + 280 = 700 + 280 = 980
f) 17 + 17 + 26 + 33 17 + 17 + 26 + 33 = 60 + 33 = 93
g) 45 + 266 + 155 + 11 45 + 155 + 266 + 11 = 200 + 277 = 477
h) 188 + 403 + 512 188 + 512 + 403 = 700 + 403 = 1103
2. Rechne und kontrolliere:
a) 48 · 14 = 672 672 : 14 = 48
b) 728 : 28 = 26 26 · 28 = 728
c) 210 : 0 = diese Aufgabe geht nicht, durch 0 darf man nicht teilen
d) 35 · 17 = 595 595 : 17 = 35
e) 912 : 19 = 48 48 · 19 = 912
f) 617 · 0 = 0 Keine Kontolle möglich
g) 0 : 11 = 0 Keine Kontolle möglich
3. Rechne verschieden:
a) 19 · 2 · 47 (19 · 2) · 47 = 38 · 47 = 1786
19 · (2 · 47) = 19 · 94 = 1786
b) 79 · 15 · 6 (79 · 15) · 6 = 1185 · 6 = 7110
79 · (15 · 6) = 79 · 90 = /110
4. Berechne:
a) 78 + 3 · 6 – 27 = 78 + 18 – 27 = 69
b) 4 · 9 + (2 · 8 – 5) = 36 + (16 – 5) = 36 + 11 = 47
5. Rechne auf 2 Arten:
a) 6 · (78 – 21) = 342
= 6 · 78 – 6 · 21 = 468 – 126 = 342
b) 928 : 8 = 116
= 800 : 8 + 128 : 8 = 100 + 16 = 116
c) 790 · 8 = 6320
= 700 · 8 + 90 · 8 = 5600 + 720 = 6320
d) 846 : 9 = 94
= 810 : 5 + 36 : 9 = 90 + 4 = 94
e) 8 · (46 + 24) = 560 = 8 · 46 + 8 · 24 = 368 + 192 = 560
6. Kommutativgesetz a + b = b + a ; a x b = b x a 208 x 4 = 832
Distributivgesetz ( a + b ) x c = a x c + b x c
13 x 8 + 57 x 8 = ( 13 + 57 ) x 8 = 70 x 8 = 560
Assotiativgesetz ( a + b) + c = a + ( b + c ) ( a x b ) x c = a x ( b x c )
234 + 87 – 34 = ( 234 + 87 ) – 34 = 287
3 x ( a + 2 ) = 3 x a + 2 x 3 = 3a + 6
