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Der Satz des Pythagoras 1
1. Berechne im Dreieck ABC ( = 900) die fehlende Kathete bzw. Hypotenuse.
a) a = 8 cm, b = 6 cm b) a = 12 cm, b = 9 cm c) a = 12 cm, c = 13 cm
d) a = 5,6 cm, c = 6,5 cm e) b = 2,1 cm, c = 2,9 cm f) b = 3 cm, c = 3,4 cm
2. Berechne im Dreieck ABC ( = 900) die fehlende Kathete bzw. Hypotenuse.
a) a = 3,4 cm, b = 5,1 cm b) a = 5,8 cm, b = 3,6 cm c) a = 12,4 cm, c = 16,8
cm
d) a = 6,6 cm, c = 9,3 cm e) b = 4,1 cm, c = 7,8 cm f) b = 3,9 cm, c = 5,5 cm
3. Überprüfe, ob das Dreieck rechtwinklig, stumpfwinklig oder spitzwinklig ist.
a) b) c) d) e) f) g)
1. Seite 9 cm 8,2 cm 16 cm 25 cm 14 cm 5,5 cm 56 cm
2. Seite 40 cm 7,1 cm 30 cm 24 cm 17 cm 3,6 cm 65 cm
3. Seite 41 cm 11,4 cm 34 cm 7 cm 21 cm 4,5 cm 33 cm
4. Zahlen, die die Gleichung a² + b² = c² erfüllen, werden pythagoreische
Zahlen genannt (Beispiel: 3 – 4 – 5; 6 – 8 – 10; 5 – 12 – 13).
Bei welchen aufgeführten Zahlen handelt es sich um pythagoreische Zahlen?
a) b) c) d) e) f) g) h)
a 8 9 16 25 33 42 20 7
b 12 40 30 7 56 82 21 24
c 14 41 34 29 65 90 29 25
5. Berechne den Abstand, den die Punkte A und B voneinander haben. Dabei
haben A und B folgende Koordinaten:
a) b) c) d) e) f) g) h)
A (1/2) (3/7) (4/4) (-1/-4) (3/6) (7/6) (2/3) (0/0)
B (5/5) (5/8) (1/8) (-5/-9) (-2/5) (-3/-5) (-1/5) (-4/3)
6. In einem Dreieck sind die Katheten 12 cm und 16 cm lang. Wie lang ist die
Hypotenuse?
7. Bei einem Geodreieck ist die Hypotenuse 16 cm lang. Wie lang sind die beiden
Katheten?
Der Satz des Pythagoras 1
1. Berechne im Dreieck ABC ( = 900) die fehlende Kathete bzw. Hypotenuse.
a) a = 8 cm, b = 6 cm b) a = 12 cm, b = 9 cm c) a = 12 cm, c = 13 cm
d) a = 5,6 cm, c = 6,5 cm e) b = 2,1 cm, c = 2,9 cm f) b = 3 cm, c = 3,4 cm
2. Berechne im Dreieck ABC ( = 900) die fehlende Kathete bzw. Hypotenuse.
a) a = 3,4 cm, b = 5,1 cm b) a = 5,8 cm, b = 3,6 cm c) a = 12,4 cm, c = 16,8
cm
d) a = 6,6 cm, c = 9,3 cm e) b = 4,1 cm, c = 7,8 cm f) b = 3,9 cm, c = 5,5 cm
3. Überprüfe, ob das Dreieck rechtwinklig, stumpfwinklig oder spitzwinklig ist.
a) b) c) d) e) f) g)
1. Seite 9 cm 8,2 cm 16 cm 25 cm 14 cm 5,5 cm 56 cm
2. Seite 40 cm 7,1 cm 30 cm 24 cm 17 cm 3,6 cm 65 cm
3. Seite 41 cm 11,4 cm 34 cm 7 cm 21 cm 4,5 cm 33 cm
4. Zahlen, die die Gleichung a² + b² = c² erfüllen, werden pythagoreische
Zahlen genannt (Beispiel: 3 – 4 – 5; 6 – 8 – 10; 5 – 12 – 13).
Bei welchen aufgeführten Zahlen handelt es sich um pythagoreische Zahlen?
a) b) c) d) e) f) g) h)
a 8 9 16 25 33 42 20 7
b 12 40 30 7 56 82 21 24
c 14 41 34 29 65 90 29 25
5. Berechne den Abstand, den die Punkte A und B voneinander haben. Dabei
haben A und B folgende Koordinaten:
a) b) c) d) e) f) g) h)
A (1/2) (3/7) (4/4) (-1/-4) (3/6) (7/6) (2/3) (0/0)
B (5/5) (5/8) (1/8) (-5/-9) (-2/5) (-3/-5) (-1/5) (-4/3)
6. In einem Dreieck sind die Katheten 12 cm und 16 cm lang. Wie lang ist die
Hypotenuse?
7. Bei einem Geodreieck ist die Hypotenuse 16 cm lang. Wie lang sind die beiden
Katheten?
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Der Satz des Pythagoras 2
1. Berechne mit Hilfe der Flächensätze am
rechtwinkligen Dreieck die gesuchten Größen:
a) Gegeben: a = 6 cm; b = 8 cm; gesucht: c, hc
b) Gegeben: a = 5 cm; p = 4 cm;
gesucht: b, c, q, hc
3. Ein Junge hält einen Drachen an einer 75 m langen Schnur ganz straff. Sein
Freund steht 40 m von ihm entfernt und sieht den Drachen genau über
sich. Berechne die Höhe des Drachens.
4. Ein Haus ist 12,40 m breit, die Höhe des Giebels beträgt 4,10 m. Berechne
die Länge der Dachsparren, wenn diese 80 cm überstehen sollen.
5. Ein Brückenpfeiler, der 25 Meter hoch ist, soll in einer Entfernung von 15 Metern
mit einem Stahlseil im Boden verankert werden. Wie lang ist das Stahlseil?
6. Ein Mann steht in 65 m Abstand von einem Turm. Der Turm ist 45 m hoch. Wie weit
ist die Turmspitze vom Mann entfernt?
7. Eine A-förmige Doppelleiter ist links und rechts jeweils 3,40 m lang.
Wie hoch reicht sie, wenn eine 1 m lange Kette die Mittelpunkte der beiden Leitern
verbindet?
8a. Formuliere den Satz von Pythagoras
b. Formuliere für das Dreieck STU unter Verwendung
der angegebenen Punktenamen den Satz von
Pythagoras bzw. den Höhensatz
9. Herr Baumann möchte sein Dach erneuern. Die Hausbreite
liegt bei 12,60 m, die Höhe des Daches bei 5,50 m. Der
Überstand links und rechts beträgt 0,80 m.
Wie lang müssen die Dachsparren sein?
10. Ein Rechteck ist 19,2 cm lang. Die Diagonale hat eine Länge von 24 cm. Wie breit
ist das Rechteck? Fertige eine Skizze dazu an.
Der Satz des Pythagoras 2
1. Berechne mit Hilfe der Flächensätze am
rechtwinkligen Dreieck die gesuchten Größen:
a) Gegeben: a = 6 cm; b = 8 cm; gesucht: c, hc
b) Gegeben: a = 5 cm; p = 4 cm;
gesucht: b, c, q, hc
3. Ein Junge hält einen Drachen an einer 75 m langen Schnur ganz straff. Sein
Freund steht 40 m von ihm entfernt und sieht den Drachen genau über
sich. Berechne die Höhe des Drachens.
4. Ein Haus ist 12,40 m breit, die Höhe des Giebels beträgt 4,10 m. Berechne
die Länge der Dachsparren, wenn diese 80 cm überstehen sollen.
5. Ein Brückenpfeiler, der 25 Meter hoch ist, soll in einer Entfernung von 15 Metern
mit einem Stahlseil im Boden verankert werden. Wie lang ist das Stahlseil?
6. Ein Mann steht in 65 m Abstand von einem Turm. Der Turm ist 45 m hoch. Wie weit
ist die Turmspitze vom Mann entfernt?
7. Eine A-förmige Doppelleiter ist links und rechts jeweils 3,40 m lang.
Wie hoch reicht sie, wenn eine 1 m lange Kette die Mittelpunkte der beiden Leitern
verbindet?
8a. Formuliere den Satz von Pythagoras
b. Formuliere für das Dreieck STU unter Verwendung
der angegebenen Punktenamen den Satz von
Pythagoras bzw. den Höhensatz
9. Herr Baumann möchte sein Dach erneuern. Die Hausbreite
liegt bei 12,60 m, die Höhe des Daches bei 5,50 m. Der
Überstand links und rechts beträgt 0,80 m.
Wie lang müssen die Dachsparren sein?
10. Ein Rechteck ist 19,2 cm lang. Die Diagonale hat eine Länge von 24 cm. Wie breit
ist das Rechteck? Fertige eine Skizze dazu an.
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Der Satz des Pythagoras 3
1. In einem Dreieck ist die Hypotenuse 8,5 cm und eine Kathete 7,5 cm lang.
Berechne die Länge der anderen Kathete.
2. Berechne die fehlenden Längenmaßzahlen des abgebildeten Dreiecks.
3. Eine Straßenlaterne hängt in der Mitte eines zwischen
zwei Hauswänden gespannten Seils. Die Aufhängepunkte
sind auf gleicher Höhe und 8,00 m voneinander entfernt.
a) Wie groß ist der Durchhang d bei einer Seillänge von
9,00 m?
b) Wie lang darf das Seil höchstens sein, wenn der Durchhang maximal 0,50 m
betragen soll?
4. Ein Tunnel hat einen Durchmesser von 6 m.
Überprüfe durch Rechnung, ob ein Mensch der
Größe 1,80 m im Abstand 50 cm vom Tunnelrand
entfernt aufrecht stehen kann.
5. Ein Quader hat die Maße:
Länge = 12 cm, Breite = 7,5 cm, Höhe = 4,5 cm.
Berechne die Flächendiagonale d der
Grundfläche und die Raumdiagonale r.
6. Die Füße einer Stehleiter sind 1,40 m voneinander entfernt. Wie lang müssen die
beiden Leiterteile sein, damit die Leiter bis zu einer Höhe von 2,80 m reicht?
7. Eine 4,50 m hohe Leiter wird an eine Wand gestellt. Wie hoch reicht die Leiter,
wenn sie unten 1,60 m von der Wand entfernt ist?
8. Ein Gartentor besteht aus 26 senkrechten Latten, die durch ein diagonal
genageltes Brett verstärkt werden. Wie lang muss dieses Brett mindestens sein,
wenn das Tor 2,45 m breit und 1,46 m hoch sein soll?
Der Satz des Pythagoras 3
1. In einem Dreieck ist die Hypotenuse 8,5 cm und eine Kathete 7,5 cm lang.
Berechne die Länge der anderen Kathete.
2. Berechne die fehlenden Längenmaßzahlen des abgebildeten Dreiecks.
3. Eine Straßenlaterne hängt in der Mitte eines zwischen
zwei Hauswänden gespannten Seils. Die Aufhängepunkte
sind auf gleicher Höhe und 8,00 m voneinander entfernt.
a) Wie groß ist der Durchhang d bei einer Seillänge von
9,00 m?
b) Wie lang darf das Seil höchstens sein, wenn der Durchhang maximal 0,50 m
betragen soll?
4. Ein Tunnel hat einen Durchmesser von 6 m.
Überprüfe durch Rechnung, ob ein Mensch der
Größe 1,80 m im Abstand 50 cm vom Tunnelrand
entfernt aufrecht stehen kann.
5. Ein Quader hat die Maße:
Länge = 12 cm, Breite = 7,5 cm, Höhe = 4,5 cm.
Berechne die Flächendiagonale d der
Grundfläche und die Raumdiagonale r.
6. Die Füße einer Stehleiter sind 1,40 m voneinander entfernt. Wie lang müssen die
beiden Leiterteile sein, damit die Leiter bis zu einer Höhe von 2,80 m reicht?
7. Eine 4,50 m hohe Leiter wird an eine Wand gestellt. Wie hoch reicht die Leiter,
wenn sie unten 1,60 m von der Wand entfernt ist?
8. Ein Gartentor besteht aus 26 senkrechten Latten, die durch ein diagonal
genageltes Brett verstärkt werden. Wie lang muss dieses Brett mindestens sein,
wenn das Tor 2,45 m breit und 1,46 m hoch sein soll?
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Der Satz des Pythagoras 4
1. Die in der Tabelle angegebenen Längenmaßzahlen gehören zu rechtwinkligen
Dreiecken. Der rechte Winkel ist in der letzten Spalte der Tabelle angegeben.
Wie üblich soll dabei Winkel α der Seite a, Winkel β der Seite b und Winkel γ der
Seite c gegenüberliegen. Es sei jeweils h die Höhe auf der Hypotenuse, und p und q
seien die zugehörigen Hypotenusen-Abschnitte. Bezeichne die Planfiguren, berechne
die fehlenden Werte und trage sie in die Tabelle ein.
a b c p q h 90°
a) 8 17 γ
b) 25 7 α
c) 8 2 β
2. Ein 4 m hoher Deich hat folgende weitere
Abmessungen:
Deichsohle: 15 m
Deichkrone: 2 m
Böschung auf der Landseite: 5 m
Böschung auf der Seeseite: s
Berechne die Länge der Böschung s auf
der Seeseite.
3. In einem rechtwinkligen Dreieck kennst du die Kathete b=4cm und die Hypotenuse
c = 6 cm. Wie lange ist a?
4. Dani und Tina stehen vor Danis Haus. Tina behauptet, ihr Haus sei nur einen
Steinwurf entfernt. Was denkst du?
5. Eine Tür ist 82 cm breit und 1,97 m hoch. Eine 2,10 m breite und 3,20 m lange
Holzplatte soll durch die Tür getragen werden. Ist das möglich? Begründe durch
Rechnung.
6. An einer Wand steht eine 8 m lange Leiter, und zwar so, dass ihr unteres Ende
genau 1 m von der Wand entfernt ist.
Um wie viel cm sinkt die Spitze der Leiter an der Wand, wenn man sie unten 20 cm
weiter wegzieht?
Fertige eine Skizze an und rechne:
Der Satz des Pythagoras 4
1. Die in der Tabelle angegebenen Längenmaßzahlen gehören zu rechtwinkligen
Dreiecken. Der rechte Winkel ist in der letzten Spalte der Tabelle angegeben.
Wie üblich soll dabei Winkel α der Seite a, Winkel β der Seite b und Winkel γ der
Seite c gegenüberliegen. Es sei jeweils h die Höhe auf der Hypotenuse, und p und q
seien die zugehörigen Hypotenusen-Abschnitte. Bezeichne die Planfiguren, berechne
die fehlenden Werte und trage sie in die Tabelle ein.
a b c p q h 90°
a) 8 17 γ
b) 25 7 α
c) 8 2 β
2. Ein 4 m hoher Deich hat folgende weitere
Abmessungen:
Deichsohle: 15 m
Deichkrone: 2 m
Böschung auf der Landseite: 5 m
Böschung auf der Seeseite: s
Berechne die Länge der Böschung s auf
der Seeseite.
3. In einem rechtwinkligen Dreieck kennst du die Kathete b=4cm und die Hypotenuse
c = 6 cm. Wie lange ist a?
4. Dani und Tina stehen vor Danis Haus. Tina behauptet, ihr Haus sei nur einen
Steinwurf entfernt. Was denkst du?
5. Eine Tür ist 82 cm breit und 1,97 m hoch. Eine 2,10 m breite und 3,20 m lange
Holzplatte soll durch die Tür getragen werden. Ist das möglich? Begründe durch
Rechnung.
6. An einer Wand steht eine 8 m lange Leiter, und zwar so, dass ihr unteres Ende
genau 1 m von der Wand entfernt ist.
Um wie viel cm sinkt die Spitze der Leiter an der Wand, wenn man sie unten 20 cm
weiter wegzieht?
Fertige eine Skizze an und rechne:
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Der Satz des Pythagoras 5
1. In einem Teich wächst im Abstand a = 3 m vom
Ufer eine Pflanze genau senkrecht in die Höhe.
Sie ragt um die Strecke b = 1 m aus dem Wasser
heraus.
Biegt man die Pflanze zum Ufer hin um (wobei
sie ihre gerade Form behält), so befindet sich die
Spitze der Pflanze genau auf Wasserhöhe.
Berechne, wie tief das Wasser an der Stelle ist,
an der die Pflanze wächst.
2. Ein Rechteck ABCD ist 14 cm lang und 9,5 cm breit. Berechne die Länge der
beiden Diagonalen!
3. Vor einem Haus befindet sich eine Rabatte mit herrlichen Blumen. Diese Rabatte ist
1,5 m breit. Wie lange muss eine Leiter sein, wenn du ein Loch auf 4,2 m Höhe
ausbessern willst, ohne die Leiter in die Rabatte zu stellen?
4. Frank muss auf seinem Schulweg durch einen Park, dessen Wege rechtwinklig und
parallel angelegt sind. Frank müsste eigentlich 108 Meter nach Süden und danach
45 Meter nach Osten gehen, bis er von seiner Wohnung zur Schule kommt. Frank
behauptet, dass er 36 Meter spart, wenn er quer durch den Park läuft. Überprüfe
die Behauptung zeichnerisch mittels einer Skizze und rechnerisch!
5. Die Firma Meier muss an einer Dachrinne eine Reparatur durchführen. Die
Dachrinne befindet sich in einer Höhe von 3,20 m, die Leiter ist 4,50 m lang. Wie
weit ist die Leiter am Boden vom Haus entfernt, wenn sie noch 30 cm über die
Dachrinne überstehen soll?
6. Der Satz des Pythagoras ist allen in seiner kurzen Form a2 + b2 = c2 bekannt. Bleibt
die Frage, was das bedeutet. Fülle die Lücken im folgenden Text zur Erklärung.
In einem Dreieck seien die drei Seiten wie folgt benannt:
Die Hypotenuse (das ist die Seite, die )
heiße .
Die beiden Katheten (das sind die Seiten, die )
heißen und .
Dann gilt der Satz des Pythagoras, nämlich a2 + b2 = c2. Zusammengefasst bedeutet
das:
In einem Dreieck gilt:
____________________________________________________________
____________________________________________________________
Der Satz des Pythagoras 5
1. In einem Teich wächst im Abstand a = 3 m vom
Ufer eine Pflanze genau senkrecht in die Höhe.
Sie ragt um die Strecke b = 1 m aus dem Wasser
heraus.
Biegt man die Pflanze zum Ufer hin um (wobei
sie ihre gerade Form behält), so befindet sich die
Spitze der Pflanze genau auf Wasserhöhe.
Berechne, wie tief das Wasser an der Stelle ist,
an der die Pflanze wächst.
2. Ein Rechteck ABCD ist 14 cm lang und 9,5 cm breit. Berechne die Länge der
beiden Diagonalen!
3. Vor einem Haus befindet sich eine Rabatte mit herrlichen Blumen. Diese Rabatte ist
1,5 m breit. Wie lange muss eine Leiter sein, wenn du ein Loch auf 4,2 m Höhe
ausbessern willst, ohne die Leiter in die Rabatte zu stellen?
4. Frank muss auf seinem Schulweg durch einen Park, dessen Wege rechtwinklig und
parallel angelegt sind. Frank müsste eigentlich 108 Meter nach Süden und danach
45 Meter nach Osten gehen, bis er von seiner Wohnung zur Schule kommt. Frank
behauptet, dass er 36 Meter spart, wenn er quer durch den Park läuft. Überprüfe
die Behauptung zeichnerisch mittels einer Skizze und rechnerisch!
5. Die Firma Meier muss an einer Dachrinne eine Reparatur durchführen. Die
Dachrinne befindet sich in einer Höhe von 3,20 m, die Leiter ist 4,50 m lang. Wie
weit ist die Leiter am Boden vom Haus entfernt, wenn sie noch 30 cm über die
Dachrinne überstehen soll?
6. Der Satz des Pythagoras ist allen in seiner kurzen Form a2 + b2 = c2 bekannt. Bleibt
die Frage, was das bedeutet. Fülle die Lücken im folgenden Text zur Erklärung.
In einem Dreieck seien die drei Seiten wie folgt benannt:
Die Hypotenuse (das ist die Seite, die )
heiße .
Die beiden Katheten (das sind die Seiten, die )
heißen und .
Dann gilt der Satz des Pythagoras, nämlich a2 + b2 = c2. Zusammengefasst bedeutet
das:
In einem Dreieck gilt:
____________________________________________________________
____________________________________________________________
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Der Satz des Pythagoras – Lösungen 1
1
.
Berechne im Dreieck ABC ( = 900) die fehlende Kathete bzw. Hypotenuse.
a2 + b2 = c2 => c= √a2 + b2 b= √c2 − a2 a= √c2 − b2
a) a = 8 cm, b = 6 cm b) a = 12 cm, b = 9 cm c) a = 12 cm, c = 13 cm
c = 10 cm c = 15 cm b = 5 cm
d) a = 5,6 cm, c = 6,5 cm e) b = 2,1 cm, c = 2,9 cm f) b = 3 cm, c = 3,4 cm
b = 3,3 cm a = 2 cm a = 1,6 cm
2
.
Berechne im Dreieck ABC ( = 900) die fehlende Kathete bzw. Hypotenuse.
a) a = 3,4 cm, b = 5,1 cm b) a = 5,8 cm, b = 3,6 cm c) a = 12,4 cm, c = 16,8 cm
c = 6,13 cm c = 6,83 cm b = 11,33 cm
d) a = 6,6 cm, c = 9,3 cm e) b = 4,1 cm, c = 7,8 cm f) b = 3,9 cm, c = 5,5 cm
b = 6,55 cm a = 6,64 cm a = 3,88 cm
3
.
Überprüfe, ob das Dreieck rechtwinklig, stumpfwinklig oder spitzwinklig ist.
a) b) c) d) e) f) g)
1. Seite 9 cm 8,2 cm 16 cm 25 cm 14 cm 5,5 cm 56 cm
2. Seite 40 cm 7,1 cm 30 cm 24 cm 17 cm 3,6 cm 65 cm
3. Seite 41 cm 11,4 cm 34 cm 7 cm 21 cm 4,5 cm 33 cm
rw st rw rw sp sp rw
4
.
Zahlen, die die Gleichung a² + b² = c² erfüllen, werden pythagoreische Zahlen
genannt (Beispiel: 3 – 4 – 5; 6 – 8 – 10; 5 – 12 – 13).
Bei welchen aufgeführten Zahlen handelt es sich um pythagoreische Zahlen?
a) b) c) d) e) f) g) h)
a 8 9 16 25 33 42 20 7
b 12 40 30 7 56 82 21 24
c 14 41 34 29 65 90 29 25
nein ja ja nein ja nein ja ja
5
.
Berechne den Abstand, den die Punkte A und B voneinander haben. Dabei haben A
und B folgende Koordinaten:
a) b) c) d) e) f) g) h)
A (1/2) (3/7) (4/4) (–1/–4) (3/6) (7/6) (2/3) (0/0)
B (5/5) (5/8) (1/8) (–5/–9) (–2/5) (–3/–5) (–1/5) (–4/3)
5 cm 2,2 cm 5 cm 6,4 cm 5,1 cm 14,9 cm 3,6 cm 5 cm
6. In einem Dreieck sind die Katheten 12 cm und 16 cm lang. Wie lang ist die
Hypotenuse?
a2 + b2 = c2 c2 = a2 + b2
c2 = (16 cm)2 + (12 cm)2 c2 = 256 cm2 + 144 cm2
c2 = 400 cm2 c = 20 cm
Der Satz des Pythagoras – Lösungen 1
1
.
Berechne im Dreieck ABC ( = 900) die fehlende Kathete bzw. Hypotenuse.
a2 + b2 = c2 => c= √a2 + b2 b= √c2 − a2 a= √c2 − b2
a) a = 8 cm, b = 6 cm b) a = 12 cm, b = 9 cm c) a = 12 cm, c = 13 cm
c = 10 cm c = 15 cm b = 5 cm
d) a = 5,6 cm, c = 6,5 cm e) b = 2,1 cm, c = 2,9 cm f) b = 3 cm, c = 3,4 cm
b = 3,3 cm a = 2 cm a = 1,6 cm
2
.
Berechne im Dreieck ABC ( = 900) die fehlende Kathete bzw. Hypotenuse.
a) a = 3,4 cm, b = 5,1 cm b) a = 5,8 cm, b = 3,6 cm c) a = 12,4 cm, c = 16,8 cm
c = 6,13 cm c = 6,83 cm b = 11,33 cm
d) a = 6,6 cm, c = 9,3 cm e) b = 4,1 cm, c = 7,8 cm f) b = 3,9 cm, c = 5,5 cm
b = 6,55 cm a = 6,64 cm a = 3,88 cm
3
.
Überprüfe, ob das Dreieck rechtwinklig, stumpfwinklig oder spitzwinklig ist.
a) b) c) d) e) f) g)
1. Seite 9 cm 8,2 cm 16 cm 25 cm 14 cm 5,5 cm 56 cm
2. Seite 40 cm 7,1 cm 30 cm 24 cm 17 cm 3,6 cm 65 cm
3. Seite 41 cm 11,4 cm 34 cm 7 cm 21 cm 4,5 cm 33 cm
rw st rw rw sp sp rw
4
.
Zahlen, die die Gleichung a² + b² = c² erfüllen, werden pythagoreische Zahlen
genannt (Beispiel: 3 – 4 – 5; 6 – 8 – 10; 5 – 12 – 13).
Bei welchen aufgeführten Zahlen handelt es sich um pythagoreische Zahlen?
a) b) c) d) e) f) g) h)
a 8 9 16 25 33 42 20 7
b 12 40 30 7 56 82 21 24
c 14 41 34 29 65 90 29 25
nein ja ja nein ja nein ja ja
5
.
Berechne den Abstand, den die Punkte A und B voneinander haben. Dabei haben A
und B folgende Koordinaten:
a) b) c) d) e) f) g) h)
A (1/2) (3/7) (4/4) (–1/–4) (3/6) (7/6) (2/3) (0/0)
B (5/5) (5/8) (1/8) (–5/–9) (–2/5) (–3/–5) (–1/5) (–4/3)
5 cm 2,2 cm 5 cm 6,4 cm 5,1 cm 14,9 cm 3,6 cm 5 cm
6. In einem Dreieck sind die Katheten 12 cm und 16 cm lang. Wie lang ist die
Hypotenuse?
a2 + b2 = c2 c2 = a2 + b2
c2 = (16 cm)2 + (12 cm)2 c2 = 256 cm2 + 144 cm2
c2 = 400 cm2 c = 20 cm
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7. Bei einem Geodreieck ist die Hypotenuse 16 cm lang. Wie lang sind die beiden
Katheten? Es handelt sich hier also um ein gleichschenkeliges Dreieck.
c2 = a2 + a2 = 2a2 => a= c
√2
a= 16
√2 =11,31 Die Katheten des Geodreiecks sind jeweils 11,31 cm lang.
Der Satz des Pythagoras – Lösungen 2
1. Berechne mit Hilfe der Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck die
gesuchten Größen:
a) Gegeben: a = 6 cm; b = 8 cm; gesucht: c, hc
c= √36+64 =10 cm
a2 = p · c und b2 = q · c => hc =√b2 −q2 ;
64 = q · 10; q = 6,4 cm
hc =√64−40,96 ; hc =√23,04 ; hc = 4,8 cm
b) Gegeben: a = 5 cm; p = 4 cm; gesucht: b, c, q, hc
a2 = p2 + hc2 => hc2 = a2 −p2; hc = √a2 −p2
hc =√a2 −p2 ; hc =√25−16; hc= 3 cm
aus c = p + q und b2 = q2 + hc2 folgt:
(p + q)2 = a2 + (q2 + hc2)
(4 + q)2 = 25 + q2 + 9
q2 + 8q + 16 = q2 + 34
8q + 16 = 34
8q = 18
q = 2,25 cm
c = p + q; c = 4 cm + 2,25 cm ; c = 6,25 cm
b2 = q2 + hc2; b2 = 5,0625 + 9; b2 = 14,0625; b = 3,75 cm
3. Ein Junge hält einen Drachen an einer 75 m langen Schnur ganz straff. Sein
Freund steht 40 m von ihm entfernt und sieht den Drachen genau über
sich. Berechne die Höhe des Drachens.
x2 = 752 - 402
x2 = 5625 – 1600
x2 = 4025
x = √4025
x = 63, 45 [m]
7. Bei einem Geodreieck ist die Hypotenuse 16 cm lang. Wie lang sind die beiden
Katheten? Es handelt sich hier also um ein gleichschenkeliges Dreieck.
c2 = a2 + a2 = 2a2 => a= c
√2
a= 16
√2 =11,31 Die Katheten des Geodreiecks sind jeweils 11,31 cm lang.
Der Satz des Pythagoras – Lösungen 2
1. Berechne mit Hilfe der Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck die
gesuchten Größen:
a) Gegeben: a = 6 cm; b = 8 cm; gesucht: c, hc
c= √36+64 =10 cm
a2 = p · c und b2 = q · c => hc =√b2 −q2 ;
64 = q · 10; q = 6,4 cm
hc =√64−40,96 ; hc =√23,04 ; hc = 4,8 cm
b) Gegeben: a = 5 cm; p = 4 cm; gesucht: b, c, q, hc
a2 = p2 + hc2 => hc2 = a2 −p2; hc = √a2 −p2
hc =√a2 −p2 ; hc =√25−16; hc= 3 cm
aus c = p + q und b2 = q2 + hc2 folgt:
(p + q)2 = a2 + (q2 + hc2)
(4 + q)2 = 25 + q2 + 9
q2 + 8q + 16 = q2 + 34
8q + 16 = 34
8q = 18
q = 2,25 cm
c = p + q; c = 4 cm + 2,25 cm ; c = 6,25 cm
b2 = q2 + hc2; b2 = 5,0625 + 9; b2 = 14,0625; b = 3,75 cm
3. Ein Junge hält einen Drachen an einer 75 m langen Schnur ganz straff. Sein
Freund steht 40 m von ihm entfernt und sieht den Drachen genau über
sich. Berechne die Höhe des Drachens.
x2 = 752 - 402
x2 = 5625 – 1600
x2 = 4025
x = √4025
x = 63, 45 [m]
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4. Ein Haus ist 12,40 m breit, die Höhe des Giebels beträgt 4,10 m. Berechne
die Länge der Dachsparren, wenn diese 80 cm überstehen sollen.
x2 = 6,22 + 4,12
x2 = 38,44 + 16,81
x2 = 55,25
x = √55,25
x = 7,43 [m]
Die Dachsparren sind wegen
des Überstandes 7,43 m +
0,8 m = 8,23 m lang.
5. Ein Brückenpfeiler, der 25 Meter hoch ist, soll in einer Entfernung von 15 Metern
mit einem Stahlseil im Boden verankert werden. Wie lang ist das Stahlseil?
Gegeben: Höhe des Brückenpfeilers: a = 25 m
Entfernung: b = 15 m
Gesucht: Länge des Seils: c
c2 = a2 + b2
c2 = 252 + 152 = 625 + 225 = 850 m2
c = √850= 29,15 Meter
Das Stahlseil hat eine Länge von 29,15 m.
6. Ein Mann steht in 65 m Abstand von einem Turm. Der Turm ist 45 m hoch. Wie weit
ist die Turmspitze vom Mann entfernt?
Gegeben: Höhe des Turms: a = 45 m
Abstand vom Turm: b = 15 m
Gesucht: Abstand der Turmspitze: c
c2 = a2 + b2
c2 = 652 + 452 c2 = 4225 + 2025 = 6250²
c =√6250= 79,057 m
Die Turmspitze ist 79,06 m von dem Mann entfernt.
7. Eine A-förmige Doppelleiter ist links und rechts jeweils 3,40 m lang.
Wie hoch reicht sie, wenn eine 1 m lange Kette die Mittelpunkte der beiden Leitern
verbindet?
x2 = 1,72 - 0,52 = 2,89 – 0,25 = 2,64 → x = 1,625
aus Kongruenzüberlegungen folgt h = 2x
also reicht die Leiter 3,25 m hoch
8a. Formuliere den Satz von Pythagoras
In jedem rechtwinkligen Dreieck hat das Quadrat über der Hypotenuse denselben
Flächeninhalt wie die beiden Quadrate über den Katheten zusammen.
b. Formuliere für das Dreieck STU unter Verwendung
der angegebenen Punktenamen den Satz von Pythagoras bzw. den Höhensatz
Satz von Pythagoras: 𝑆𝑇̅̅̅̅²+𝑇𝑈̅̅̅̅²=𝑆𝑈̅̅̅̅² Höhensatz: 𝑇𝑉̅̅̅̅²=𝑆𝑉̅̅̅̅∙ 𝑉𝑈̅̅̅̅̅
(Anmerkung: V ist der Schnittpunkt der Höhe mit 𝑆𝑈̅̅̅̅.)
4. Ein Haus ist 12,40 m breit, die Höhe des Giebels beträgt 4,10 m. Berechne
die Länge der Dachsparren, wenn diese 80 cm überstehen sollen.
x2 = 6,22 + 4,12
x2 = 38,44 + 16,81
x2 = 55,25
x = √55,25
x = 7,43 [m]
Die Dachsparren sind wegen
des Überstandes 7,43 m +
0,8 m = 8,23 m lang.
5. Ein Brückenpfeiler, der 25 Meter hoch ist, soll in einer Entfernung von 15 Metern
mit einem Stahlseil im Boden verankert werden. Wie lang ist das Stahlseil?
Gegeben: Höhe des Brückenpfeilers: a = 25 m
Entfernung: b = 15 m
Gesucht: Länge des Seils: c
c2 = a2 + b2
c2 = 252 + 152 = 625 + 225 = 850 m2
c = √850= 29,15 Meter
Das Stahlseil hat eine Länge von 29,15 m.
6. Ein Mann steht in 65 m Abstand von einem Turm. Der Turm ist 45 m hoch. Wie weit
ist die Turmspitze vom Mann entfernt?
Gegeben: Höhe des Turms: a = 45 m
Abstand vom Turm: b = 15 m
Gesucht: Abstand der Turmspitze: c
c2 = a2 + b2
c2 = 652 + 452 c2 = 4225 + 2025 = 6250²
c =√6250= 79,057 m
Die Turmspitze ist 79,06 m von dem Mann entfernt.
7. Eine A-förmige Doppelleiter ist links und rechts jeweils 3,40 m lang.
Wie hoch reicht sie, wenn eine 1 m lange Kette die Mittelpunkte der beiden Leitern
verbindet?
x2 = 1,72 - 0,52 = 2,89 – 0,25 = 2,64 → x = 1,625
aus Kongruenzüberlegungen folgt h = 2x
also reicht die Leiter 3,25 m hoch
8a. Formuliere den Satz von Pythagoras
In jedem rechtwinkligen Dreieck hat das Quadrat über der Hypotenuse denselben
Flächeninhalt wie die beiden Quadrate über den Katheten zusammen.
b. Formuliere für das Dreieck STU unter Verwendung
der angegebenen Punktenamen den Satz von Pythagoras bzw. den Höhensatz
Satz von Pythagoras: 𝑆𝑇̅̅̅̅²+𝑇𝑈̅̅̅̅²=𝑆𝑈̅̅̅̅² Höhensatz: 𝑇𝑉̅̅̅̅²=𝑆𝑉̅̅̅̅∙ 𝑉𝑈̅̅̅̅̅
(Anmerkung: V ist der Schnittpunkt der Höhe mit 𝑆𝑈̅̅̅̅.)
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9. Herr Baumann möchte sein Dach erneuern. Die Hausbreite
liegt bei 12,60 m, die Höhe des Daches bei 5,50 m. Der
Überstand links und rechts beträgt 0,80 m.
Wie lang müssen die Dachsparren sein?
s2 = 5,52 + 7,12 → s2 = 80,66 →s = 8,98 m
10. Ein Rechteck ist 19,2 cm lang. Die Diagonale hat eine Länge von 24 cm. Wie breit
ist das Rechteck? Fertige eine Skizze dazu an.
Gegeben: Diagonale: c = 24 cm
Kathete: b = 19,2 cm
Gesucht: Kathete a
a2 + b2 = c2
a2 = c2 – b2
a2 = (24cm)2 – (19,2 cm)2
a2 = 576 cm2 – 368,64 cm2
a2 = 207,36 cm2
a = √207,36 = 14,4 cm Das Rechteck ist 14,4 cm breit.
Der Satz des Pythagoras – Lösungen 3
1. In einem Dreieck ist die Hypotenuse 8,5 cm und eine Kathete 7,5 cm lang.
Berechne die Länge der anderen Kathete.
Gegeben: c = 8,5 cm; b = 7,5 cm
Gesucht: a
a2 + b2 = c2
a2 = c2 – b2
a2 = (8,5 cm)2 – ( 7,5 cm)2
a2 = 72,25 cm2 – 56,25 cm2
a2 = 16 cm2
a = 4 cm Die Kathete ist 4 cm lang.
2. Berechne die fehlenden Längenmaßzahlen des abgebildeten Dreiecks.
Gegeben: c = 10 cm, a = 6 cm
Gesucht: b, h, p, q
b2 = c2 – a2; b2 = 100 – 36; b2 = 64 => b = 8 cm;
Aus a2 = p · c kann p berechnet werden:
a2 = p · c => p = 36 : 10 => p = 3,6
q = c – p; q = 10 – 3,6 => q = 6,4;
h2 = p · q; h2 = 3,6 · 6,4; h2= 23,04 => h = 4,8
3. Eine Straßenlaterne hängt in der Mitte eines zwischen
zwei Hauswänden gespannten Seils. Die Aufhängepunkte
sind auf gleicher Höhe und 8,00 m voneinander entfernt.
a) Wie groß ist der Durchhang d bei einer Seillänge von
9,00 m?
Die Lampe hängt in Seilmitte. Daher gilt AM̅̅̅̅̅ = 4,00 m, AB̅̅̅̅ = 4,50 m
𝐴𝐵̅̅̅̅²=𝐵𝑀̅̅̅̅̅²+𝐴𝑀̅̅̅̅̅²
𝐴𝐵̅̅̅̅²=𝑑²+𝐴𝑀̅̅̅̅̅²
d²=𝐴𝐵̅̅̅̅²−𝐴𝑀̅̅̅̅̅²
9. Herr Baumann möchte sein Dach erneuern. Die Hausbreite
liegt bei 12,60 m, die Höhe des Daches bei 5,50 m. Der
Überstand links und rechts beträgt 0,80 m.
Wie lang müssen die Dachsparren sein?
s2 = 5,52 + 7,12 → s2 = 80,66 →s = 8,98 m
10. Ein Rechteck ist 19,2 cm lang. Die Diagonale hat eine Länge von 24 cm. Wie breit
ist das Rechteck? Fertige eine Skizze dazu an.
Gegeben: Diagonale: c = 24 cm
Kathete: b = 19,2 cm
Gesucht: Kathete a
a2 + b2 = c2
a2 = c2 – b2
a2 = (24cm)2 – (19,2 cm)2
a2 = 576 cm2 – 368,64 cm2
a2 = 207,36 cm2
a = √207,36 = 14,4 cm Das Rechteck ist 14,4 cm breit.
Der Satz des Pythagoras – Lösungen 3
1. In einem Dreieck ist die Hypotenuse 8,5 cm und eine Kathete 7,5 cm lang.
Berechne die Länge der anderen Kathete.
Gegeben: c = 8,5 cm; b = 7,5 cm
Gesucht: a
a2 + b2 = c2
a2 = c2 – b2
a2 = (8,5 cm)2 – ( 7,5 cm)2
a2 = 72,25 cm2 – 56,25 cm2
a2 = 16 cm2
a = 4 cm Die Kathete ist 4 cm lang.
2. Berechne die fehlenden Längenmaßzahlen des abgebildeten Dreiecks.
Gegeben: c = 10 cm, a = 6 cm
Gesucht: b, h, p, q
b2 = c2 – a2; b2 = 100 – 36; b2 = 64 => b = 8 cm;
Aus a2 = p · c kann p berechnet werden:
a2 = p · c => p = 36 : 10 => p = 3,6
q = c – p; q = 10 – 3,6 => q = 6,4;
h2 = p · q; h2 = 3,6 · 6,4; h2= 23,04 => h = 4,8
3. Eine Straßenlaterne hängt in der Mitte eines zwischen
zwei Hauswänden gespannten Seils. Die Aufhängepunkte
sind auf gleicher Höhe und 8,00 m voneinander entfernt.
a) Wie groß ist der Durchhang d bei einer Seillänge von
9,00 m?
Die Lampe hängt in Seilmitte. Daher gilt AM̅̅̅̅̅ = 4,00 m, AB̅̅̅̅ = 4,50 m
𝐴𝐵̅̅̅̅²=𝐵𝑀̅̅̅̅̅²+𝐴𝑀̅̅̅̅̅²
𝐴𝐵̅̅̅̅²=𝑑²+𝐴𝑀̅̅̅̅̅²
d²=𝐴𝐵̅̅̅̅²−𝐴𝑀̅̅̅̅̅²
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d = √𝐴𝐵̅̅̅̅²−𝐴𝑀̅̅̅̅̅²
d = √(4,50 m)2 −(4,00 m)2
d ≈ 2,06 m Der Durchhang beträgt etwa 2,06 m.
b) Wie lang darf das Seil höchstens sein, wenn der Durchhang maximal 0,50 m
betragen soll?
Nun gilt: dmax = 0,50 m
𝐴𝐵̅̅̅̅2 =𝐵𝑀̅̅̅̅̅2 + 𝐴𝑀̅̅̅̅̅2
𝐴𝐵̅̅̅̅ =√𝑑²𝑚𝑎𝑥 +𝐴𝑀̅̅̅̅̅²
𝐴𝐵̅̅̅̅ =√(0,50 m)2 +(4,00 m)²
𝐴𝐵̅̅̅̅ =4,03 m Hier darf das Seil höchstens 8,06 m lang sein.
4. Ein Tunnel hat einen Durchmesser von 6m.
Überprüfe durch Rechnung, ob ein Mensch der
Größe 1,80 m im Abstand 50cm vom Tunnelrand
entfernt aufrecht stehen kann.
Nach dem Höhensatz (h2 = q · p) gilt
h2 = 0,5 · (6 − 0,5); h2 = 0,5 · 5,5
h2 = 2,75 => h =√2,75 ≈ 1,66 .
Ein 1,80 m großer Mensch kann also nicht 0,5 m von der Tunnelwand entfernt stehen.
5. Ein Quader hat die Maße:
Länge = 12 cm, Breite = 7,5 cm, Höhe = 4,5 cm.
Berechne die Flächendiagonale d der
Grundfläche und die Raumdiagonale r.
d2 = 122 + 7,52 → d = 14,151
r2 = 14,1512 + 4,52 → r = 14,849 cm
6. Die Füße einer Stehleiter sind 1,40 m voneinander entfernt. Wie lang müssen die
beiden Leiterteile sein, damit die Leiter bis zu einer Höhe von 2,80 m reicht?
Länge der Leiterteile: a
1,40 m : 2 = 0,70 m
a2 = 2,82 + 0,72 => a2 = 7,48 + 0,49 => a2 = 7,97 = > a = √7,97 => a = 2,82 m
Die beiden Leiterteile müssen 2,82 m lang sein.
7. Eine 4,50 m hohe Leiter wird an eine Wand gestellt. Wie hoch reicht die Leiter,
wenn sie unten 1,60 m von der Wand entfernt ist?
h2 = 4,502 - 1,602 = 17,69
h = √17,69= 4,2059482 ≈ 4,21 m
Die Leiter reicht 4,21 m hoch.
8. Ein Gartentor besteht aus 26 senkrechten Latten, die durch ein diagonal
genageltes Brett verstärkt werden. Wie lang muss dieses Brett mindestens sein,
wenn das Tor 2,45 m breit und 1,46 m hoch sein soll?
a2 + b2 = c2
c2 = 2,452 + 1,462 c2 = 8,1341
c = √8,1341= 2,85 m
Die diagonale Latte muss 2,85 m lang sein.
d = √𝐴𝐵̅̅̅̅²−𝐴𝑀̅̅̅̅̅²
d = √(4,50 m)2 −(4,00 m)2
d ≈ 2,06 m Der Durchhang beträgt etwa 2,06 m.
b) Wie lang darf das Seil höchstens sein, wenn der Durchhang maximal 0,50 m
betragen soll?
Nun gilt: dmax = 0,50 m
𝐴𝐵̅̅̅̅2 =𝐵𝑀̅̅̅̅̅2 + 𝐴𝑀̅̅̅̅̅2
𝐴𝐵̅̅̅̅ =√𝑑²𝑚𝑎𝑥 +𝐴𝑀̅̅̅̅̅²
𝐴𝐵̅̅̅̅ =√(0,50 m)2 +(4,00 m)²
𝐴𝐵̅̅̅̅ =4,03 m Hier darf das Seil höchstens 8,06 m lang sein.
4. Ein Tunnel hat einen Durchmesser von 6m.
Überprüfe durch Rechnung, ob ein Mensch der
Größe 1,80 m im Abstand 50cm vom Tunnelrand
entfernt aufrecht stehen kann.
Nach dem Höhensatz (h2 = q · p) gilt
h2 = 0,5 · (6 − 0,5); h2 = 0,5 · 5,5
h2 = 2,75 => h =√2,75 ≈ 1,66 .
Ein 1,80 m großer Mensch kann also nicht 0,5 m von der Tunnelwand entfernt stehen.
5. Ein Quader hat die Maße:
Länge = 12 cm, Breite = 7,5 cm, Höhe = 4,5 cm.
Berechne die Flächendiagonale d der
Grundfläche und die Raumdiagonale r.
d2 = 122 + 7,52 → d = 14,151
r2 = 14,1512 + 4,52 → r = 14,849 cm
6. Die Füße einer Stehleiter sind 1,40 m voneinander entfernt. Wie lang müssen die
beiden Leiterteile sein, damit die Leiter bis zu einer Höhe von 2,80 m reicht?
Länge der Leiterteile: a
1,40 m : 2 = 0,70 m
a2 = 2,82 + 0,72 => a2 = 7,48 + 0,49 => a2 = 7,97 = > a = √7,97 => a = 2,82 m
Die beiden Leiterteile müssen 2,82 m lang sein.
7. Eine 4,50 m hohe Leiter wird an eine Wand gestellt. Wie hoch reicht die Leiter,
wenn sie unten 1,60 m von der Wand entfernt ist?
h2 = 4,502 - 1,602 = 17,69
h = √17,69= 4,2059482 ≈ 4,21 m
Die Leiter reicht 4,21 m hoch.
8. Ein Gartentor besteht aus 26 senkrechten Latten, die durch ein diagonal
genageltes Brett verstärkt werden. Wie lang muss dieses Brett mindestens sein,
wenn das Tor 2,45 m breit und 1,46 m hoch sein soll?
a2 + b2 = c2
c2 = 2,452 + 1,462 c2 = 8,1341
c = √8,1341= 2,85 m
Die diagonale Latte muss 2,85 m lang sein.
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Der Satz des Pythagoras – Lösungen 4
1. Die in der Tabelle angegebenen Längenmaßzahlen gehören zu rechtwinkligen
Dreiecken. Der rechte Winkel ist in der letzten Spalte der Tabelle angegeben.
Wie üblich soll dabei Winkel α der Seite a, Winkel β der Seite b und Winkel γ der
Seite c gegenüberliegen. Es sei jeweils h die Höhe auf der Hypotenuse, und p und q
seien die zugehörigen Hypotenusen-Abschnitte. Bezeichne die Planfiguren, berechne
die fehlenden Werte und trage sie in die Tabelle ein.
a b c p q h 90°
a) 15 8 17 13,24 3,76 7,06 γ
b) 25 7 24 1,96 23,04 6,72 α
c) 6,93 8 4 2 6 3,46 β
a) b)
a2 = c2 – b2 = 289 – 64 = 225 c2 = a2 – b2; c2 = 625 – 49; c2 = 576
→ a = 15; b2 = q · c → c = 24; c2 = q · a
→ q = b2: c = 64 : 17; q ≈ 3,76 → q = c2 : a; q = 576 : 25; q = 23,04;
→ p = c – q ≈ 13,24 p = a – q = 25 – 23,04 = 1,96
h2 = p · q ≈ 3,76 · 13,24 = 49,7824 h2 = p · q; h2 = 23,04 · 1,96; h2 = 45,1584
→ h = 7,06 → h = 6,72
c) p + q = b ⇒ q = b – p = 6
c2 = p · b = 2 · 8 = 16 → c = 4
a2 = q · b = 6 · 8 = 48 → a ≈ 6,93
h2 = p · q = 2 · 6 = 12 → h ≈ 3,46
2. Ein 4 m hoher Deich hat folgende weitere
Abmessungen:
Deichsohle: 15 m
Deichkrone: 2 m
Böschung auf der Landseite: 5 m
Böschung auf der Seeseite: s
Berechne die Länge der Böschung s auf
der Seeseite.
x2 + 42 = 52 → x2 = 25 – 16; x2 = 9 → x = 3
3 + 2 + y = 15 → y = 15 – 3 – 2; y = 10
s2 = 42 + 102; s2 = 16 + 100; s2 = 116 → s = √116 ≈ 10,77
Die Böschung s hat etwa die Länge 10,77 m.
3. In einem rechtwinkligen Dreieck kennst du die Kathete b = 4cm und die Hypotenuse
c = 6 cm. Wie lange ist a?
a² =√c² −b²
a² =√6² −4²; a² =√36−16; a=4,47 cm
Die Kathete a ist 4,47 cm lang.
Der Satz des Pythagoras – Lösungen 4
1. Die in der Tabelle angegebenen Längenmaßzahlen gehören zu rechtwinkligen
Dreiecken. Der rechte Winkel ist in der letzten Spalte der Tabelle angegeben.
Wie üblich soll dabei Winkel α der Seite a, Winkel β der Seite b und Winkel γ der
Seite c gegenüberliegen. Es sei jeweils h die Höhe auf der Hypotenuse, und p und q
seien die zugehörigen Hypotenusen-Abschnitte. Bezeichne die Planfiguren, berechne
die fehlenden Werte und trage sie in die Tabelle ein.
a b c p q h 90°
a) 15 8 17 13,24 3,76 7,06 γ
b) 25 7 24 1,96 23,04 6,72 α
c) 6,93 8 4 2 6 3,46 β
a) b)
a2 = c2 – b2 = 289 – 64 = 225 c2 = a2 – b2; c2 = 625 – 49; c2 = 576
→ a = 15; b2 = q · c → c = 24; c2 = q · a
→ q = b2: c = 64 : 17; q ≈ 3,76 → q = c2 : a; q = 576 : 25; q = 23,04;
→ p = c – q ≈ 13,24 p = a – q = 25 – 23,04 = 1,96
h2 = p · q ≈ 3,76 · 13,24 = 49,7824 h2 = p · q; h2 = 23,04 · 1,96; h2 = 45,1584
→ h = 7,06 → h = 6,72
c) p + q = b ⇒ q = b – p = 6
c2 = p · b = 2 · 8 = 16 → c = 4
a2 = q · b = 6 · 8 = 48 → a ≈ 6,93
h2 = p · q = 2 · 6 = 12 → h ≈ 3,46
2. Ein 4 m hoher Deich hat folgende weitere
Abmessungen:
Deichsohle: 15 m
Deichkrone: 2 m
Böschung auf der Landseite: 5 m
Böschung auf der Seeseite: s
Berechne die Länge der Böschung s auf
der Seeseite.
x2 + 42 = 52 → x2 = 25 – 16; x2 = 9 → x = 3
3 + 2 + y = 15 → y = 15 – 3 – 2; y = 10
s2 = 42 + 102; s2 = 16 + 100; s2 = 116 → s = √116 ≈ 10,77
Die Böschung s hat etwa die Länge 10,77 m.
3. In einem rechtwinkligen Dreieck kennst du die Kathete b = 4cm und die Hypotenuse
c = 6 cm. Wie lange ist a?
a² =√c² −b²
a² =√6² −4²; a² =√36−16; a=4,47 cm
Die Kathete a ist 4,47 cm lang.
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4. Dani und Tina stehen vor Danis Haus. Tina behauptet, ihr Haus sei nur einen
Steinwurf entfernt. Was denkst du?
c2 = 45² + 602 ́; c2 = 2025 + 3600
c2 = 5625
c = 75 Das Haus ist 75 m Luftlinie entfernt.
(Kann Tina wirklich so weit werfen?)
5. Eine Tür ist 82 cm breit und 1,97 m hoch. Eine 2,10 m breite und 3,20 m lange
Holzplatte soll durch die Tür getragen werden. Ist das möglich? Begründe durch
Rechnung.
d = √(0,82 m)2 +(1,97 m)² ; d = √0,6724+3,8809 d = √4,5533 ; d = 2, 13 m
2, 10 m < 2, 13 m => Das Holzbrett passt also durch die Tür.
6. An einer Wand steht eine 8 m lange Leiter, und zwar so, dass ihr unteres Ende
genau 1 m von der Wand entfernt ist.
Um wie viel cm sinkt die Spitze der Leiter an der Wand, wenn man sie unten 20 cm
weiter wegzieht?
vorher: h = √8²−1²=√63≈7,94 m
nachher: h = √8²−1,2²≈7,91 m
Die Spitze der Leiter sinkt um etwa 3 cm.
Der Satz des Pythagoras – Lösungen 5
1. In einem Teich wächst im Abstand a = 3 m vom
Ufer eine Pflanze genau senkrecht in die Höhe.
Sie ragt um die Strecke b = 1 m aus dem Wasser
heraus.
Biegt man die Pflanze zum Ufer hin um (wobei
sie ihre gerade Form behält), so befindet sich die
Spitze der Pflanze genau auf Wasserhöhe.
Berechne, wie tief das Wasser an der Stelle ist,
an der die Pflanze wächst.
a2 + t2 = (t + b) 2 → 32 + t2 = (t + 1)2 → 9 + t2 = t2 + 2 · t + 1
→ 8 = 2 · t → t = 8
2 =4
Das Wasser ist an der Stelle, an der die Pflanze wächst, 4 m tief.
2. Ein Rechteck ABCD ist 14 cm lang und 9,5 cm breit. Berechne die Länge der
beiden Diagonalen!
a2 + b2 = c2
142 + 9,52 = 286,25
d = √286,25=16,92 cm Jede Diagonale ist 16.92 cm lang.
3. Vor einem Haus befindet sich eine Rabatte mit herrlichen Blumen. Diese Rabatte ist
1,5 m breit. Wie lange muss eine Leiter sein, wenn du ein Loch auf 4,2 m Höhe
ausbessern willst, ohne die Leiter in die Rabatte zu stellen?
a2 + b2 = c2
4,22 + 1,52 = 19,89
4. Dani und Tina stehen vor Danis Haus. Tina behauptet, ihr Haus sei nur einen
Steinwurf entfernt. Was denkst du?
c2 = 45² + 602 ́; c2 = 2025 + 3600
c2 = 5625
c = 75 Das Haus ist 75 m Luftlinie entfernt.
(Kann Tina wirklich so weit werfen?)
5. Eine Tür ist 82 cm breit und 1,97 m hoch. Eine 2,10 m breite und 3,20 m lange
Holzplatte soll durch die Tür getragen werden. Ist das möglich? Begründe durch
Rechnung.
d = √(0,82 m)2 +(1,97 m)² ; d = √0,6724+3,8809 d = √4,5533 ; d = 2, 13 m
2, 10 m < 2, 13 m => Das Holzbrett passt also durch die Tür.
6. An einer Wand steht eine 8 m lange Leiter, und zwar so, dass ihr unteres Ende
genau 1 m von der Wand entfernt ist.
Um wie viel cm sinkt die Spitze der Leiter an der Wand, wenn man sie unten 20 cm
weiter wegzieht?
vorher: h = √8²−1²=√63≈7,94 m
nachher: h = √8²−1,2²≈7,91 m
Die Spitze der Leiter sinkt um etwa 3 cm.
Der Satz des Pythagoras – Lösungen 5
1. In einem Teich wächst im Abstand a = 3 m vom
Ufer eine Pflanze genau senkrecht in die Höhe.
Sie ragt um die Strecke b = 1 m aus dem Wasser
heraus.
Biegt man die Pflanze zum Ufer hin um (wobei
sie ihre gerade Form behält), so befindet sich die
Spitze der Pflanze genau auf Wasserhöhe.
Berechne, wie tief das Wasser an der Stelle ist,
an der die Pflanze wächst.
a2 + t2 = (t + b) 2 → 32 + t2 = (t + 1)2 → 9 + t2 = t2 + 2 · t + 1
→ 8 = 2 · t → t = 8
2 =4
Das Wasser ist an der Stelle, an der die Pflanze wächst, 4 m tief.
2. Ein Rechteck ABCD ist 14 cm lang und 9,5 cm breit. Berechne die Länge der
beiden Diagonalen!
a2 + b2 = c2
142 + 9,52 = 286,25
d = √286,25=16,92 cm Jede Diagonale ist 16.92 cm lang.
3. Vor einem Haus befindet sich eine Rabatte mit herrlichen Blumen. Diese Rabatte ist
1,5 m breit. Wie lange muss eine Leiter sein, wenn du ein Loch auf 4,2 m Höhe
ausbessern willst, ohne die Leiter in die Rabatte zu stellen?
a2 + b2 = c2
4,22 + 1,52 = 19,89
www.Klassenarbeiten.de Seite 13
c = √19,89= 4,46 m
Die Leiter muss mindestens 4,46 m sein.
4. Frank muss auf seinem Schulweg durch einen Park, dessen Wege rechtwinklig und
parallel angelegt sind. Frank müsste eigentlich 108 Meter nach Süden und danach
45 Meter nach Osten gehen, bis er von seiner Wohnung zur Schule kommt. Frank
behauptet, dass er 36 Meter spart, wenn er quer durch den Park läuft. Überprüfe
die Behauptung zeichnerisch mittels einer Skizze und rechnerisch!
a2 + b2 = c2
1082 + 452 = 13689 108 m
d = √13689= 117 m
108 m + 45 m = 153 m 45 m
153 m – 117 m = 36 m
Seine Behauptung ist richtig.
5. Die Firma Meier muss an einer Dachrinne eine Reparatur durchführen. Die
Dachrinne befindet sich in einer Höhe von 3,20 m, die Leiter ist 4,50 m lang. Wie
weit ist die Leiter am Boden vom Haus entfernt, wenn sie noch 30 cm über die
Dachrinne überstehen soll?
3,20 m + 0,30m = 3,50 m Höhe
b2 =√c2 −a2
b2 =√4,52 −3,52; b2 =8;b=2,828 m
b = 2,828 m ~ 2,83 m
Die Leiter ist am Boden 2,83 m vom Haus entfernt.
6. Der Satz des Pythagoras ist allen in seiner kurzen Form a2 + b2 = c2 bekannt. Bleibt
die Frage, was das bedeutet. Fülle die Lücken im folgenden Text zur Erklärung.
In einem rechtwinkligen Dreieck seien die drei Seiten wie folgt benannt:
Die Hypotenuse (das ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt) heiße c.
Die beiden Katheten (das sind die Seiten, die an dem rechten Winkel anliegen) heißen
a und b.
Dann gilt der Satz des Pythagoras, nämlich a2 + b2 = c2. Zusammengefasst bedeutet
das:
In einem rechtwinkligen Dreieck gilt:
Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Katheten, oder in
einer Formel ausgedrückt:
Hypotenuse2 = Kathete12 + Kathete22.
Kurz : HYP2 = KAT12 + KAT22 .
c = √19,89= 4,46 m
Die Leiter muss mindestens 4,46 m sein.
4. Frank muss auf seinem Schulweg durch einen Park, dessen Wege rechtwinklig und
parallel angelegt sind. Frank müsste eigentlich 108 Meter nach Süden und danach
45 Meter nach Osten gehen, bis er von seiner Wohnung zur Schule kommt. Frank
behauptet, dass er 36 Meter spart, wenn er quer durch den Park läuft. Überprüfe
die Behauptung zeichnerisch mittels einer Skizze und rechnerisch!
a2 + b2 = c2
1082 + 452 = 13689 108 m
d = √13689= 117 m
108 m + 45 m = 153 m 45 m
153 m – 117 m = 36 m
Seine Behauptung ist richtig.
5. Die Firma Meier muss an einer Dachrinne eine Reparatur durchführen. Die
Dachrinne befindet sich in einer Höhe von 3,20 m, die Leiter ist 4,50 m lang. Wie
weit ist die Leiter am Boden vom Haus entfernt, wenn sie noch 30 cm über die
Dachrinne überstehen soll?
3,20 m + 0,30m = 3,50 m Höhe
b2 =√c2 −a2
b2 =√4,52 −3,52; b2 =8;b=2,828 m
b = 2,828 m ~ 2,83 m
Die Leiter ist am Boden 2,83 m vom Haus entfernt.
6. Der Satz des Pythagoras ist allen in seiner kurzen Form a2 + b2 = c2 bekannt. Bleibt
die Frage, was das bedeutet. Fülle die Lücken im folgenden Text zur Erklärung.
In einem rechtwinkligen Dreieck seien die drei Seiten wie folgt benannt:
Die Hypotenuse (das ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt) heiße c.
Die beiden Katheten (das sind die Seiten, die an dem rechten Winkel anliegen) heißen
a und b.
Dann gilt der Satz des Pythagoras, nämlich a2 + b2 = c2. Zusammengefasst bedeutet
das:
In einem rechtwinkligen Dreieck gilt:
Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Katheten, oder in
einer Formel ausgedrückt:
Hypotenuse2 = Kathete12 + Kathete22.
Kurz : HYP2 = KAT12 + KAT22 .
