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Berechnungen am Kreis 1
1. Gib die Formel zur Berechnung des Kreisumfangs in Abhängigkeit von r an, sowie die
Umstellung der Formel nach r.
2. Ein Kreis hat einen Umfang von 1010 m
a) Wie groß ist der Flächeninhalt des Kreises
b) Gib den Flächeninhalt des Kreises auch in den Einheiten dm2; ha und km2 an
3. Ein kreisförmiges Beet mit einem Radius von 2,5 m soll mit einem 1,5 m breiten
gepflasterten Streifen umgeben werden. Außen, um den gepflasterten Streifen soll
ein Zaun errichtet werden. Ein Quadratmeter Pflastersteine kostet 52 € und ein
Meter Zaun 31,50 €. Für das Pflastern und das Aufstellen des Zauns fallen
Arbeitskosten in Höhe von 540 € an.
Wie groß sind die Gesamtkosten für das Pflastern und das Aufstellen des Zaunes?
4. Ergänze die fehlenden Angaben
Münzen Radius Durchmesser Flächeninhalt
2 € 12,875 mm mm mm²
1 € mm mm 425 mm²
50 ct cm 2,425 cm cm²
20 ct 1,1125 cm cm mm²
5 ct dm 0,2125 dm cm²
1 ct mm cm 2,07 cm²
Der Kreisumfang
Kreiszahl: 𝜋 = 3,14
Kreisumfang:
Umfang U und Radius r eines Kreises sind direkt proportional:
U = 2 · r · 𝜋 bzw. U = d · 𝜋
(d: Durchmesser, denn d = 2 · r )
Die Kreisfläche
Der Flächeninhalt A ist eine quadratische Funktion des Radius r,
d. h. verdreifacht man den Radius, so verneunfacht sich der Flächeninhalt:
A = r2 · 𝜋
Berechnungen am Kreis 1
1. Gib die Formel zur Berechnung des Kreisumfangs in Abhängigkeit von r an, sowie die
Umstellung der Formel nach r.
2. Ein Kreis hat einen Umfang von 1010 m
a) Wie groß ist der Flächeninhalt des Kreises
b) Gib den Flächeninhalt des Kreises auch in den Einheiten dm2; ha und km2 an
3. Ein kreisförmiges Beet mit einem Radius von 2,5 m soll mit einem 1,5 m breiten
gepflasterten Streifen umgeben werden. Außen, um den gepflasterten Streifen soll
ein Zaun errichtet werden. Ein Quadratmeter Pflastersteine kostet 52 € und ein
Meter Zaun 31,50 €. Für das Pflastern und das Aufstellen des Zauns fallen
Arbeitskosten in Höhe von 540 € an.
Wie groß sind die Gesamtkosten für das Pflastern und das Aufstellen des Zaunes?
4. Ergänze die fehlenden Angaben
Münzen Radius Durchmesser Flächeninhalt
2 € 12,875 mm mm mm²
1 € mm mm 425 mm²
50 ct cm 2,425 cm cm²
20 ct 1,1125 cm cm mm²
5 ct dm 0,2125 dm cm²
1 ct mm cm 2,07 cm²
Der Kreisumfang
Kreiszahl: 𝜋 = 3,14
Kreisumfang:
Umfang U und Radius r eines Kreises sind direkt proportional:
U = 2 · r · 𝜋 bzw. U = d · 𝜋
(d: Durchmesser, denn d = 2 · r )
Die Kreisfläche
Der Flächeninhalt A ist eine quadratische Funktion des Radius r,
d. h. verdreifacht man den Radius, so verneunfacht sich der Flächeninhalt:
A = r2 · 𝜋
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Berechnungen am Kreis 2
1. Die Raumstation ISS fliegt in einer Höhe von 400 km um die Erde. Sie benötigt für
einen Umlauf eine Zeit von 90 Minuten. Der Radius der Erde beträgt etwa 6 378 km.
Berechne die Geschwindigkeit der Raumstation ISS.
2. In einer Parkanlage legt die Gärtnerin Sarah ein kreisrundes Blumenbeet mit einem
Durchmesser von 7,5 m an. Wie viele Pflanzen benötigt sie für dieses Beet, wenn die
vorgesehenen Pflanzen einen Platzbedarf von 750 cm2 pro Pflanze haben?
3. Ein 5 m langes Metallband wird zu einem Ring gebogen. Wie groß ist sein
Durchmesser?
4. Berechne die fehlenden Angaben:
r d U A
2,56 m
0,5 cm
26,3 dm2
23,7 mm
5. Ein Kreis hat den Radius r und den Umfang U = 100 cm.
Runde bei allen folgenden Aufgaben angemessen!
a) Wie groß ist der Radius des Kreises? Wie groß der Flächeninhalt?
b) Der Umfang soll um 20 cm zunehmen. Wie muss der Radius dafür geändert werden?
c) Der Umfang wird verdreifacht. Wie verändert sich dabei der Radius bzw. der
Flächeninhalt?
Die Erde hat einen Radius von etwa 6370 km.
d) Wie viele Kilometer misst der Äquator?
6. Wo steckt der Fehler
a) Der Durchmesser ist halb so groß wie der Umfang des Kreises.
____________________________________________________________
b) Der Radius ist doppelt so groß wie der Durchmesser.
____________________________________________________________
c) Die Gleichungen U = 𝜋 · d und U = 𝜋 · 2 · r erzeugen unterschiedliche Lösungen.
____________________________________________________________
d) 𝜋 ist das Verhältnis von Umfang zum Radius eines Kreises.
____________________________________________________________
Berechnungen am Kreis 2
1. Die Raumstation ISS fliegt in einer Höhe von 400 km um die Erde. Sie benötigt für
einen Umlauf eine Zeit von 90 Minuten. Der Radius der Erde beträgt etwa 6 378 km.
Berechne die Geschwindigkeit der Raumstation ISS.
2. In einer Parkanlage legt die Gärtnerin Sarah ein kreisrundes Blumenbeet mit einem
Durchmesser von 7,5 m an. Wie viele Pflanzen benötigt sie für dieses Beet, wenn die
vorgesehenen Pflanzen einen Platzbedarf von 750 cm2 pro Pflanze haben?
3. Ein 5 m langes Metallband wird zu einem Ring gebogen. Wie groß ist sein
Durchmesser?
4. Berechne die fehlenden Angaben:
r d U A
2,56 m
0,5 cm
26,3 dm2
23,7 mm
5. Ein Kreis hat den Radius r und den Umfang U = 100 cm.
Runde bei allen folgenden Aufgaben angemessen!
a) Wie groß ist der Radius des Kreises? Wie groß der Flächeninhalt?
b) Der Umfang soll um 20 cm zunehmen. Wie muss der Radius dafür geändert werden?
c) Der Umfang wird verdreifacht. Wie verändert sich dabei der Radius bzw. der
Flächeninhalt?
Die Erde hat einen Radius von etwa 6370 km.
d) Wie viele Kilometer misst der Äquator?
6. Wo steckt der Fehler
a) Der Durchmesser ist halb so groß wie der Umfang des Kreises.
____________________________________________________________
b) Der Radius ist doppelt so groß wie der Durchmesser.
____________________________________________________________
c) Die Gleichungen U = 𝜋 · d und U = 𝜋 · 2 · r erzeugen unterschiedliche Lösungen.
____________________________________________________________
d) 𝜋 ist das Verhältnis von Umfang zum Radius eines Kreises.
____________________________________________________________
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Berechnungen am Kreis 3
1. Zeichne zu jedem Kreisbogen einen Radius ein und ermittle jeweils Umfang und
Flächeninhalt der Figuren.
2. In der nebenstehenden Figur beträgt die Seitenlänge des
Quadrates a = 4,4 cm und die Länge der Diagonalen des
Quadrates d = 6,2 cm.
a) Berechne den Inhalt der blau gekennzeichneten Fläche.
b) Berechne den Inhalt der grau gekennzeichneten Fläche.
3. Berechne die Querschnittsfläche des Drahtes mit dem Durchmesser d = 0,25 mm.
4. Fülle die Tabelle aus
r d U A
2 cm
62,8 m
6 m
314 m
5 . Eine Torte wird in 12 Stücke aufgeteilt. Der Durchmesser der Torte beträgt 24 cm.
Wie groß ist die Fläche eines Tortenstücks?
Berechnungen am Kreis 3
1. Zeichne zu jedem Kreisbogen einen Radius ein und ermittle jeweils Umfang und
Flächeninhalt der Figuren.
2. In der nebenstehenden Figur beträgt die Seitenlänge des
Quadrates a = 4,4 cm und die Länge der Diagonalen des
Quadrates d = 6,2 cm.
a) Berechne den Inhalt der blau gekennzeichneten Fläche.
b) Berechne den Inhalt der grau gekennzeichneten Fläche.
3. Berechne die Querschnittsfläche des Drahtes mit dem Durchmesser d = 0,25 mm.
4. Fülle die Tabelle aus
r d U A
2 cm
62,8 m
6 m
314 m
5 . Eine Torte wird in 12 Stücke aufgeteilt. Der Durchmesser der Torte beträgt 24 cm.
Wie groß ist die Fläche eines Tortenstücks?
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Berechnungen am Kreis 4
1. Von den acht Bahnen um einen Fußballplatz ist die innere Laufbahn auf der Innenseite
gemessen 400 m lang. Die Geraden sind jeweils 100 m lang.
a) Berechne den Durchmesser der Innenbahnkurve und zeichne die Bahn ein.
(1 cm entspricht 20 m).
b) Eine Bahn ist 1,25 m breit. Wie viel Vorsprung müssten die Läufer der Bahnen
2 bis 6 beim Start eines 400-Meter-Laufs erhalten?
c) Erkläre, weshalb man bei längeren Strecken nur die erste Runde in festen Bahnen
läuft und dann nach innen wechseln darf.
2. In einer Tischlerei werden runde Tischplatten einseitig mit Holzfurnier überzogen;
die Kanten werden mit einem Umleimer eingefasst. Berechne die mit Holzfurnier
belegte Fläche und die Länge des Umleimers für eine Tischplatte mit d = 80 cm und
d = 120 cm.
3. Berechne Umfang und Flächeninhalt eines Kreises mit d = 1,5 m.
4. Ein Rohr hat einen Umfang von 92,4 mm.
Wie groß ist der Durchmesser des Rohres in cm?
5. Wie groß sind die grauen Flächen?
6. Herr Maier plant für seine Familie eine neue Villa. Da er für seinen Büroraum viel
Licht benötigt, soll jedes kreisrunde Fenster eine Gesamtfläche von 20,5 m² haben.
Welchen Durchmesser hat das Fenster?
7. Aus einem quadratischen Blech wird die möglichst größte Kreisscheibe herausge-
schnitten. Das Blech hat eine Seitenlänge von 36 cm.
Wie viel cm² Abfall muss man in Kauf nehmen?
Berechnungen am Kreis 4
1. Von den acht Bahnen um einen Fußballplatz ist die innere Laufbahn auf der Innenseite
gemessen 400 m lang. Die Geraden sind jeweils 100 m lang.
a) Berechne den Durchmesser der Innenbahnkurve und zeichne die Bahn ein.
(1 cm entspricht 20 m).
b) Eine Bahn ist 1,25 m breit. Wie viel Vorsprung müssten die Läufer der Bahnen
2 bis 6 beim Start eines 400-Meter-Laufs erhalten?
c) Erkläre, weshalb man bei längeren Strecken nur die erste Runde in festen Bahnen
läuft und dann nach innen wechseln darf.
2. In einer Tischlerei werden runde Tischplatten einseitig mit Holzfurnier überzogen;
die Kanten werden mit einem Umleimer eingefasst. Berechne die mit Holzfurnier
belegte Fläche und die Länge des Umleimers für eine Tischplatte mit d = 80 cm und
d = 120 cm.
3. Berechne Umfang und Flächeninhalt eines Kreises mit d = 1,5 m.
4. Ein Rohr hat einen Umfang von 92,4 mm.
Wie groß ist der Durchmesser des Rohres in cm?
5. Wie groß sind die grauen Flächen?
6. Herr Maier plant für seine Familie eine neue Villa. Da er für seinen Büroraum viel
Licht benötigt, soll jedes kreisrunde Fenster eine Gesamtfläche von 20,5 m² haben.
Welchen Durchmesser hat das Fenster?
7. Aus einem quadratischen Blech wird die möglichst größte Kreisscheibe herausge-
schnitten. Das Blech hat eine Seitenlänge von 36 cm.
Wie viel cm² Abfall muss man in Kauf nehmen?
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Berechnungen am Kreis 5
1. Ein „Durchfahrt verboten“ Schild hat den Durchmesser von einem halben Meter. Der
weiße Innenkreis hat einen Radius von 17 cm.
Wie groß ist der Flächeninhalt des roten Ringes?
2. Frau Werner kauft für ihr neues Esszimmer einen kreisrunden Tisch mit einem
Durchmesser von 1,75 m.
a) Wie teuer wird eine Tischdecke für diesen Tisch, wenn die Decke aus
optischen Gründen überall 25 cm überhängen? 1 m2 Tischstoff kostet 64 Euro.
b) Wie viele Personen haben an diesem Tisch Platz, wenn man pro Person 75 cm Platz
einrechnet?
3. Berechne die fehlenden Werte der ganzen Kreise in der Tabelle:
Radius Umfang Fläche
15,92
31,42
28,27
4. Die Zeichnung zeigt einen Sportplatz.
Berechne den Umfang und die Fläche
5. Berechne den Umfang eines Viertelkreises mit r = 7 cm.
6. Der Umfang eines Kreises misst 30 cm. Berechne den Durchmesser.
7. Simon will seinen Teich im Winter abdecken, der Teich hat einen Umfang von 3 m.
Wie groß muss die Fläche der Abdeckung sein?
Berechnungen am Kreis 5
1. Ein „Durchfahrt verboten“ Schild hat den Durchmesser von einem halben Meter. Der
weiße Innenkreis hat einen Radius von 17 cm.
Wie groß ist der Flächeninhalt des roten Ringes?
2. Frau Werner kauft für ihr neues Esszimmer einen kreisrunden Tisch mit einem
Durchmesser von 1,75 m.
a) Wie teuer wird eine Tischdecke für diesen Tisch, wenn die Decke aus
optischen Gründen überall 25 cm überhängen? 1 m2 Tischstoff kostet 64 Euro.
b) Wie viele Personen haben an diesem Tisch Platz, wenn man pro Person 75 cm Platz
einrechnet?
3. Berechne die fehlenden Werte der ganzen Kreise in der Tabelle:
Radius Umfang Fläche
15,92
31,42
28,27
4. Die Zeichnung zeigt einen Sportplatz.
Berechne den Umfang und die Fläche
5. Berechne den Umfang eines Viertelkreises mit r = 7 cm.
6. Der Umfang eines Kreises misst 30 cm. Berechne den Durchmesser.
7. Simon will seinen Teich im Winter abdecken, der Teich hat einen Umfang von 3 m.
Wie groß muss die Fläche der Abdeckung sein?
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Berechnungen am Kreis Lösungen 1
1. Gib die Formel zur Berechnung des Kreisumfangs in Abhängigkeit von r an sowie die
Umstellung der Formel nach r.
U = 2 · r · 𝜋 → r= U
2∙π
2. Ein Kreis hat einen Umfang von 1010 m
a) Wie groß ist der Flächeninhalt des Kreises
U = 2 · r · 𝜋 → r= U
2∙π → 𝑟=1010m
2∙π =160,75 m
A = r2 · 𝜋 → A = (160,75)2 · 𝜋
A = 25840,5625 𝜋 = 81180,52 m2
b) Gib den Flächeninhalt des Kreises auch in den Einheiten dm2, ha und km2 an.
A = 81180,52 m2 = 8118052 dm2 = 8,12 ha = 0,08 km2
3. Ein kreisförmiges Beet mit einem Radius von 2,5 m soll mit einem 1,5 m breiten
gepflasterten Streifen umgeben werden. Außen, um den gepflasterten Streifen soll
ein Zaun errichtet werden. Ein Quadratmeter Pflastersteine kostet 52 € und ein
Meter Zaun 31,50 €. Für das Pflastern und das Aufstellen des Zauns fallen
Arbeitskosten in Höhe von 540 € an.
Wie groß sind die Gesamtkosten für das Pflastern und das Aufstellen des Zaunes?
Um die Fläche des zu pflasternden Bereichs zu errechnen, muss man die Fläche des
kleinen Kreises von der Fläche des großen Kreises abziehen.
A = A gr Kr – A hl Kr.
= (2,5 m + 1,5 m)² 𝜋 – (2,5)² 𝜋 = 16 𝜋 – 6,25 𝜋 = 9,75 𝜋 = 30,63 m2
U = 2 · (4 m)· 𝜋 = 8 · 𝜋 = 25,13 m
Kosten: 30,63 m² · 52 €/m²
+ 25,13 m · 31,50 €/m
+ 540 € = 1592,76 € + 791,60 € + 540 € = 2924,36 €
4. Ergänze die fehlenden Angaben
Münzen Radius Durchmesser Flächeninhalt
2 € 12,875 mm 25,75 mm 521 mm²
1 € 11,625 mm 23,25 mm 425 mm²
50 ct 1,2125 cm 2,425 cm 4,62 cm²
20 ct 1,1125 cm 2,225 cm 389 mm²
5 ct 0,10625 dm 0,2125 dm 3,55 cm²
1 ct 8,125 mm 0,1625 cm 2,07 cm²
Berechnungen am Kreis Lösungen 1
1. Gib die Formel zur Berechnung des Kreisumfangs in Abhängigkeit von r an sowie die
Umstellung der Formel nach r.
U = 2 · r · 𝜋 → r= U
2∙π
2. Ein Kreis hat einen Umfang von 1010 m
a) Wie groß ist der Flächeninhalt des Kreises
U = 2 · r · 𝜋 → r= U
2∙π → 𝑟=1010m
2∙π =160,75 m
A = r2 · 𝜋 → A = (160,75)2 · 𝜋
A = 25840,5625 𝜋 = 81180,52 m2
b) Gib den Flächeninhalt des Kreises auch in den Einheiten dm2, ha und km2 an.
A = 81180,52 m2 = 8118052 dm2 = 8,12 ha = 0,08 km2
3. Ein kreisförmiges Beet mit einem Radius von 2,5 m soll mit einem 1,5 m breiten
gepflasterten Streifen umgeben werden. Außen, um den gepflasterten Streifen soll
ein Zaun errichtet werden. Ein Quadratmeter Pflastersteine kostet 52 € und ein
Meter Zaun 31,50 €. Für das Pflastern und das Aufstellen des Zauns fallen
Arbeitskosten in Höhe von 540 € an.
Wie groß sind die Gesamtkosten für das Pflastern und das Aufstellen des Zaunes?
Um die Fläche des zu pflasternden Bereichs zu errechnen, muss man die Fläche des
kleinen Kreises von der Fläche des großen Kreises abziehen.
A = A gr Kr – A hl Kr.
= (2,5 m + 1,5 m)² 𝜋 – (2,5)² 𝜋 = 16 𝜋 – 6,25 𝜋 = 9,75 𝜋 = 30,63 m2
U = 2 · (4 m)· 𝜋 = 8 · 𝜋 = 25,13 m
Kosten: 30,63 m² · 52 €/m²
+ 25,13 m · 31,50 €/m
+ 540 € = 1592,76 € + 791,60 € + 540 € = 2924,36 €
4. Ergänze die fehlenden Angaben
Münzen Radius Durchmesser Flächeninhalt
2 € 12,875 mm 25,75 mm 521 mm²
1 € 11,625 mm 23,25 mm 425 mm²
50 ct 1,2125 cm 2,425 cm 4,62 cm²
20 ct 1,1125 cm 2,225 cm 389 mm²
5 ct 0,10625 dm 0,2125 dm 3,55 cm²
1 ct 8,125 mm 0,1625 cm 2,07 cm²
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Berechnungen am Kreis Lösungen 2
1. Die Raumstation ISS fliegt in einer Höhe von 400 km um die Erde. Sie benötigt für
einen Umlauf eine Zeit von 90 Minuten. Der Radius der Erde beträgt etwa 6 378 km.
Berechne die Geschwindigkeit der Raumstation ISS.
Radius des Kreises, den die ISS umfliegt: 6 378 km + 400 km = 6778 km
ISS legt in 1,5 h ca. 2 · 𝜋 · 6778 ≈ 42587,43 km zurück;
Geschwindigkeit: 42587,43 km : 1,5 h ≈ 28391,62 km/h
Die Geschwindigkeit der Raumstation ISS beträgt 28391,62 km/h.
2. In einer Parkanlage legt die Gärtnerin Sarah ein kreisrundes Blumenbeet mit einem
Durchmesser von 7,5 m an. Wie viele Pflanzen benötigt sie für dieses Beet, wenn die
vorgesehenen Pflanzen einen Platzbedarf von 750 cm² pro Pflanze haben?
Radius des Kreises: r = 7,5 m : 2 = 3,75 m
Flächeninhalt: A = 𝜋 · 3,75² m² ; A = 𝜋 · 14,0625 m² ≈ 44,18 m²
Umrechnen in m2: 750 cm² ≈ 0,075 m²
Anzahl der Pflanzen: 44,18 m² : 0,075 m² = 589,05
Gärtnerin Sarah benötigt 589 Pflanzen.
3. Ein 5 m langes Metallband wird zu einem Ring gebogen. Wie groß ist sein
Durchmesser?
U = 𝜋 · d → d = U
π
d = 5
3,14 =1,59 m Der Durchmesser des Ringes beträgt 1,59 m.
4. Berechne die fehlenden Angaben :
r d U A
0,41 m 0,82 m 2,56 m 0,53 m²
0,25 cm 0,5 cm 1,57 cm 0,20 cm²
2,89 dm 5,78 dm 18,158 dm 26,3 dm²
23,7 mm 47,39 mm 148,8 mm 1764,60 mm²
5. Ein Kreis hat den Radius r und den Umfang U = 100 cm.
Runde bei allen folgenden Aufgaben angemessen!
a) Wie groß ist der Radius des Kreises? Wie groß der Flächeninhalt?
U = 2 · r · 𝜋 100 cm = 2 · r · 𝜋 r = 100 cm
2 ∙π ≈15,9 cm
A = r² · 𝜋 A = (15,9)² · 𝜋 A = 793,8 cm²
b) Der Umfang soll um 20 cm zunehmen. Wie muss der Radius dafür geändert werden?
Da U und r zueinander (direkt) proportional sind, muss auch der Radius um das 1,2 -
fache zunehmen.
Uneu = U + 20 cm = 120 cm Uneu
Ualt
= 120
100 =1,2
rneu = 1,2 · 15,9 cm ≈19,1 𝑐𝑚
Berechnungen am Kreis Lösungen 2
1. Die Raumstation ISS fliegt in einer Höhe von 400 km um die Erde. Sie benötigt für
einen Umlauf eine Zeit von 90 Minuten. Der Radius der Erde beträgt etwa 6 378 km.
Berechne die Geschwindigkeit der Raumstation ISS.
Radius des Kreises, den die ISS umfliegt: 6 378 km + 400 km = 6778 km
ISS legt in 1,5 h ca. 2 · 𝜋 · 6778 ≈ 42587,43 km zurück;
Geschwindigkeit: 42587,43 km : 1,5 h ≈ 28391,62 km/h
Die Geschwindigkeit der Raumstation ISS beträgt 28391,62 km/h.
2. In einer Parkanlage legt die Gärtnerin Sarah ein kreisrundes Blumenbeet mit einem
Durchmesser von 7,5 m an. Wie viele Pflanzen benötigt sie für dieses Beet, wenn die
vorgesehenen Pflanzen einen Platzbedarf von 750 cm² pro Pflanze haben?
Radius des Kreises: r = 7,5 m : 2 = 3,75 m
Flächeninhalt: A = 𝜋 · 3,75² m² ; A = 𝜋 · 14,0625 m² ≈ 44,18 m²
Umrechnen in m2: 750 cm² ≈ 0,075 m²
Anzahl der Pflanzen: 44,18 m² : 0,075 m² = 589,05
Gärtnerin Sarah benötigt 589 Pflanzen.
3. Ein 5 m langes Metallband wird zu einem Ring gebogen. Wie groß ist sein
Durchmesser?
U = 𝜋 · d → d = U
π
d = 5
3,14 =1,59 m Der Durchmesser des Ringes beträgt 1,59 m.
4. Berechne die fehlenden Angaben :
r d U A
0,41 m 0,82 m 2,56 m 0,53 m²
0,25 cm 0,5 cm 1,57 cm 0,20 cm²
2,89 dm 5,78 dm 18,158 dm 26,3 dm²
23,7 mm 47,39 mm 148,8 mm 1764,60 mm²
5. Ein Kreis hat den Radius r und den Umfang U = 100 cm.
Runde bei allen folgenden Aufgaben angemessen!
a) Wie groß ist der Radius des Kreises? Wie groß der Flächeninhalt?
U = 2 · r · 𝜋 100 cm = 2 · r · 𝜋 r = 100 cm
2 ∙π ≈15,9 cm
A = r² · 𝜋 A = (15,9)² · 𝜋 A = 793,8 cm²
b) Der Umfang soll um 20 cm zunehmen. Wie muss der Radius dafür geändert werden?
Da U und r zueinander (direkt) proportional sind, muss auch der Radius um das 1,2 -
fache zunehmen.
Uneu = U + 20 cm = 120 cm Uneu
Ualt
= 120
100 =1,2
rneu = 1,2 · 15,9 cm ≈19,1 𝑐𝑚
www.Klassenarbeiten.de Seite 8
c) Der Umfang wird verdreifacht. Wie verändert sich dabei der Radius bzw. der
Flächeninhalt?
Der Radius verdreifacht sich ebenfalls rneu = 3 · r rneu = 3 · 15,9 cm = 47,7 cm
A = r2 · 𝜋 Die Fläche ist proportional zu r2, damit vergrößert sich der Flächeninhalt auf
das (32 =) 9-fache des ursprünglichen Flächeninhalts
Die Erde hat einen Radius von etwa 6370 km.
d) Wie viele Kilometer misst der Äquator?
Es ist also der Umfang der Erde zu berechnen:
U = 2 · r 𝜋 U = 2 · 6370 km · 𝜋 = 40003,6 km ≈ 40 000 km
6. Wo steckt der Fehler?
a) Der Durchmesser ist halb so groß wie der Umfang des Kreises.
Der Umfang ist 𝜋 mal so groß wie der Durchmesser des Kreises
b) Der Radius ist doppelt so groß wie der Durchmesser.
Der Radius ist halb so groß wie der Durchmesser.
c) Die Gleichungen U = 𝜋 · d und U = 𝜋 · 2 · r erzeugen unterschiedliche Lösungen.
Die Gleichungen U = 𝜋 · d und U = 𝜋 · 2 · r erzeugen identische Lösungen.
d) 𝜋 ist das Verhältnis von Umfang zum Radius eines Kreises.
𝜋 ist das Verhältnis von Umfang zum Durchmesser eines Kreises
Berechnungen am Kreis Lösungen 3
1. Zeichne zu jedem Kreisbogen einen Radius ein und ermittle jeweils Umfang und
Flächeninhalt der Figuren.
a) Umfang : ( 1
2 Umfang vom großen Kreis + 3 · 1
2 Umfang vom kleinen Kreis)
1
2 · 3 cm · 2 · π + 3 · 1
2 · 1 cm · 2 · π = 6 · π = 18,84 cm ≈ 19 cm
Flächeninhalt: ( 1
2 Fläche vom großen Kreis – 3 · 1
2 Fläche vom kleinen Kreis)
1
2 · (3 cm)2 · π – 3 · 1
2 · (1 cm )2 · π = 4,5 cm2 · π – 1,5 cm2 · π =
3 π = 9,42 cm2 ≈ 9,4 cm2
c) Der Umfang wird verdreifacht. Wie verändert sich dabei der Radius bzw. der
Flächeninhalt?
Der Radius verdreifacht sich ebenfalls rneu = 3 · r rneu = 3 · 15,9 cm = 47,7 cm
A = r2 · 𝜋 Die Fläche ist proportional zu r2, damit vergrößert sich der Flächeninhalt auf
das (32 =) 9-fache des ursprünglichen Flächeninhalts
Die Erde hat einen Radius von etwa 6370 km.
d) Wie viele Kilometer misst der Äquator?
Es ist also der Umfang der Erde zu berechnen:
U = 2 · r 𝜋 U = 2 · 6370 km · 𝜋 = 40003,6 km ≈ 40 000 km
6. Wo steckt der Fehler?
a) Der Durchmesser ist halb so groß wie der Umfang des Kreises.
Der Umfang ist 𝜋 mal so groß wie der Durchmesser des Kreises
b) Der Radius ist doppelt so groß wie der Durchmesser.
Der Radius ist halb so groß wie der Durchmesser.
c) Die Gleichungen U = 𝜋 · d und U = 𝜋 · 2 · r erzeugen unterschiedliche Lösungen.
Die Gleichungen U = 𝜋 · d und U = 𝜋 · 2 · r erzeugen identische Lösungen.
d) 𝜋 ist das Verhältnis von Umfang zum Radius eines Kreises.
𝜋 ist das Verhältnis von Umfang zum Durchmesser eines Kreises
Berechnungen am Kreis Lösungen 3
1. Zeichne zu jedem Kreisbogen einen Radius ein und ermittle jeweils Umfang und
Flächeninhalt der Figuren.
a) Umfang : ( 1
2 Umfang vom großen Kreis + 3 · 1
2 Umfang vom kleinen Kreis)
1
2 · 3 cm · 2 · π + 3 · 1
2 · 1 cm · 2 · π = 6 · π = 18,84 cm ≈ 19 cm
Flächeninhalt: ( 1
2 Fläche vom großen Kreis – 3 · 1
2 Fläche vom kleinen Kreis)
1
2 · (3 cm)2 · π – 3 · 1
2 · (1 cm )2 · π = 4,5 cm2 · π – 1,5 cm2 · π =
3 π = 9,42 cm2 ≈ 9,4 cm2
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b) Umfang:
(Der Umfang der Figur entspricht dem halben Umfang des großen Kreises + dem
ganzen Umfang des kleinen Kreises.)
1
2 · 3 cm · 2 · π + 1,5 cm · 2 · π = 6 cm · π = 18,8 cm ≈ 19 cm
Flächeninhalt:
(Die Fläche des grauen Halbkreises rechts oben entspricht genau der Fläche des
weißen Halbkreises links, damit hat die Figur genau die Fläche des Halbkreises mit
Radius 3 cm)
1
2 · (3 cm)2 · π = 4,5 cm2 · π = 14,13 cm2 ≈ 14 cm2
c) Umfang:
(Der Umfang der Figur entspricht dem halben Umfang des großen Kreises + dreimal
dem halben Umfang des kleinen Kreises + zwei Geraden mit je 1 cm am großen
Kreis außen = rot markiert in der Skizze.)
1
2 · (2,25 cm · 2) · π + 3 · 1
2 · ( 0,75 cm · 2) · π + 2 · 1 cm =
2,25 cm · π + 2,25 cm · π + 2 cm = 4,5 cm · π + 2 cm = 14,13 cm ≈ 14 cm
Umfang: Flächeninhalt:
Flächeninhalt:
(Der Flächeninhalt entspricht dem halben Flächeninhalt des großen Kreises + der Fläche
des roten Rechtecks (in der Skizze) – dem halben Umfang des kleinen Kreises.)
1
2 · (2,25 cm)2 · π + 4,5 cm · 1 cm – 1
2 · (0,75cm)2 · π =
1
2 · 5,0625 cm2 · π + 4,5 cm2 – 1
2 · 0,5625 cm2 · π =
2,53125 cm2 · π + 4,5 cm2 – 0,28125 cm2 · π = 2,25 cm2 · π + 4,5 cm2 =
7,07 cm2 + 4,5 cm2 = 11,57 cm2
d) Umfang: 1
2 ·(2·0,5 cm)· 𝜋 + 2 · 1,5 cm + 1
2 · (2 · 0,5 cm) · 𝜋 + 1
2 · (2 · 1,5 cm) · 𝜋 + 4 · 0,5 cm +
1
2 · 2 · 1,5 cm · 𝜋 + 1
2 · 2 · 0,5 cm · 𝜋 + 2 cm + 2 · 0,5 cm · 𝜋 + 1 cm + 1
2 · 2 · 0,5 cm · 𝜋 =
0,5 cm · 𝜋 +3 cm + 0,5 cm · 𝜋 + 1,5 cm · 𝜋 + 2 cm + 1,5 cm · 𝜋 + 0,5 cm · 𝜋 + 2 cm +
1 cm · 𝜋 + 1 cm + 0,5 cm · 𝜋 = 6 cm · 𝜋 + 8 cm = 18,85 cm + 8 cm = 26,85 cm
oder:
(1
2 +1
4 +1
2 +1
2 +1
4 +1
2 +1
2)∙π∙1 cm+(1
4 +1
4 +1
2)∙π∙3 cm+8 cm≈26,85 cm
b) Umfang:
(Der Umfang der Figur entspricht dem halben Umfang des großen Kreises + dem
ganzen Umfang des kleinen Kreises.)
1
2 · 3 cm · 2 · π + 1,5 cm · 2 · π = 6 cm · π = 18,8 cm ≈ 19 cm
Flächeninhalt:
(Die Fläche des grauen Halbkreises rechts oben entspricht genau der Fläche des
weißen Halbkreises links, damit hat die Figur genau die Fläche des Halbkreises mit
Radius 3 cm)
1
2 · (3 cm)2 · π = 4,5 cm2 · π = 14,13 cm2 ≈ 14 cm2
c) Umfang:
(Der Umfang der Figur entspricht dem halben Umfang des großen Kreises + dreimal
dem halben Umfang des kleinen Kreises + zwei Geraden mit je 1 cm am großen
Kreis außen = rot markiert in der Skizze.)
1
2 · (2,25 cm · 2) · π + 3 · 1
2 · ( 0,75 cm · 2) · π + 2 · 1 cm =
2,25 cm · π + 2,25 cm · π + 2 cm = 4,5 cm · π + 2 cm = 14,13 cm ≈ 14 cm
Umfang: Flächeninhalt:
Flächeninhalt:
(Der Flächeninhalt entspricht dem halben Flächeninhalt des großen Kreises + der Fläche
des roten Rechtecks (in der Skizze) – dem halben Umfang des kleinen Kreises.)
1
2 · (2,25 cm)2 · π + 4,5 cm · 1 cm – 1
2 · (0,75cm)2 · π =
1
2 · 5,0625 cm2 · π + 4,5 cm2 – 1
2 · 0,5625 cm2 · π =
2,53125 cm2 · π + 4,5 cm2 – 0,28125 cm2 · π = 2,25 cm2 · π + 4,5 cm2 =
7,07 cm2 + 4,5 cm2 = 11,57 cm2
d) Umfang: 1
2 ·(2·0,5 cm)· 𝜋 + 2 · 1,5 cm + 1
2 · (2 · 0,5 cm) · 𝜋 + 1
2 · (2 · 1,5 cm) · 𝜋 + 4 · 0,5 cm +
1
2 · 2 · 1,5 cm · 𝜋 + 1
2 · 2 · 0,5 cm · 𝜋 + 2 cm + 2 · 0,5 cm · 𝜋 + 1 cm + 1
2 · 2 · 0,5 cm · 𝜋 =
0,5 cm · 𝜋 +3 cm + 0,5 cm · 𝜋 + 1,5 cm · 𝜋 + 2 cm + 1,5 cm · 𝜋 + 0,5 cm · 𝜋 + 2 cm +
1 cm · 𝜋 + 1 cm + 0,5 cm · 𝜋 = 6 cm · 𝜋 + 8 cm = 18,85 cm + 8 cm = 26,85 cm
oder:
(1
2 +1
4 +1
2 +1
2 +1
4 +1
2 +1
2)∙π∙1 cm+(1
4 +1
4 +1
2)∙π∙3 cm+8 cm≈26,85 cm
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Flächeninhalt: 1
2 ·(0,5 cm)2 · 𝜋 + 1,5 cm · 1 cm + 2 · (1
4 ·(1,5 cm)2 · 𝜋 – 1
4 ·(0,5 cm)2 · 𝜋) + 2 · 0,5 cm · 1 cm +
1
2 ·(1,5 cm)2 · 𝜋 – 1
2 ·(0,5 cm)2 · 𝜋 + 2 cm · 1,5 cm + 0,5 cm · 1 cm + 1
2 ·(0,5 cm)2 · 𝜋 =
1
2 ·0,25 cm2 · 𝜋 + 1,5 cm2 + 2 · (1
4 ·2,25 cm2 · 𝜋 – 1
4 ·0,25 cm2 · 𝜋) + 1 cm2 +
1
2 ·2,25 cm2 · 𝜋 – 1
2 ·0,25 cm2 · 𝜋 + 3 cm2 + 0,5 cm2 + 1
2 ·0,25 cm2 · 𝜋 =
0,125 cm2 · 𝜋 + 1,5 cm2 + 1,125 cm2 · 𝜋 – 0,125 cm2 · 𝜋 + 1 cm2 +
1,125 cm2 · 𝜋 – 0,125 cm2 · 𝜋 + 3 cm2 + 0,5 cm2 + 0,125 cm2 · 𝜋 =
2,25 cm2 · 𝜋 + 5,5 cm2 = 7,069 cm2 + 6 cm2 = 13,07 cm2
oder:
π · 1,5 · 1,5 cm2 + 1 · 1,5 cm2 + 2 · 0,5 · 1 cm2 + 1,5 · 2 cm2 + 0,5 · 1 cm2 ≈ 13 cm2
2. In der nebenstehenden Figur beträgt die Seitenlänge des
Quadrates a = 4,4 cm und die Länge der Diagonalen des
Quadrates d = 6,2 cm.
a) Berechne den Inhalt der blau gekennzeichneten Fläche.
Der Radius jedes blauen Kreises ist a
2 =2,2 cm. Jeder der blauen Kreise ist nur zu drei
Vierteln sichtbar.
Ablau = 4∙3
4 ∙π∙(a
2)2
=3·π· (2,2)2 =3·π·4,84 cm2 =14,52 cm2 · π=45,6 cm²
b) Berechne den Inhalt der grau gekennzeichneten Fläche.
Radius des grauen Kreises: 𝑟=𝑎
2 +𝑑
2 also ist der Inhalt der grauen Fläche:
Agrau = 𝜋 r ² – Ablau – a2 = 𝜋 (2,2 cm + 3,1 cm)2 – 45,6 cm2 – 19,36 cm2
= 28,09 cm2 · 𝜋 – 45,6 cm2 – 19,36 cm2 = 88,25 cm2 – 45,6 cm2 – 19,36 cm2 =
23,29 cm2 ≈ 23,3 cm2
3. Berechne die Querschnittsfläche des Drahtes mit dem Durchmesser d = 0,25 mm.
A = 𝜋 · r2 r = 0,125 mm
A = (0,125 mm)2 · 𝜋 = 0,015625 cm2 · 𝜋
A = 0,049 mm2
4. Fülle die Tabelle aus
r d U A
2 cm 4 cm 12,56 cm 12,56 cm²
10 m 20 m 62,8 m 314,16 m²
3 m 6 m 18,85 m 28,27 m²
50 m 100 m 314,16 m 7853,98 m²
5 . Eine Torte wird in 12 Stücke aufgeteilt. Der Durchmesser der Torte beträgt 24 cm.
Wie groß ist die Fläche eines Tortenstücks?
A = r2 · 𝜋 A = (12 cm)2 · 𝜋 A = 452,39 cm2 452,39 cm2 : 12 = 37,70 cm2
Die Fläche eines Tortenstücks beträgt 37,7 cm2.
Flächeninhalt: 1
2 ·(0,5 cm)2 · 𝜋 + 1,5 cm · 1 cm + 2 · (1
4 ·(1,5 cm)2 · 𝜋 – 1
4 ·(0,5 cm)2 · 𝜋) + 2 · 0,5 cm · 1 cm +
1
2 ·(1,5 cm)2 · 𝜋 – 1
2 ·(0,5 cm)2 · 𝜋 + 2 cm · 1,5 cm + 0,5 cm · 1 cm + 1
2 ·(0,5 cm)2 · 𝜋 =
1
2 ·0,25 cm2 · 𝜋 + 1,5 cm2 + 2 · (1
4 ·2,25 cm2 · 𝜋 – 1
4 ·0,25 cm2 · 𝜋) + 1 cm2 +
1
2 ·2,25 cm2 · 𝜋 – 1
2 ·0,25 cm2 · 𝜋 + 3 cm2 + 0,5 cm2 + 1
2 ·0,25 cm2 · 𝜋 =
0,125 cm2 · 𝜋 + 1,5 cm2 + 1,125 cm2 · 𝜋 – 0,125 cm2 · 𝜋 + 1 cm2 +
1,125 cm2 · 𝜋 – 0,125 cm2 · 𝜋 + 3 cm2 + 0,5 cm2 + 0,125 cm2 · 𝜋 =
2,25 cm2 · 𝜋 + 5,5 cm2 = 7,069 cm2 + 6 cm2 = 13,07 cm2
oder:
π · 1,5 · 1,5 cm2 + 1 · 1,5 cm2 + 2 · 0,5 · 1 cm2 + 1,5 · 2 cm2 + 0,5 · 1 cm2 ≈ 13 cm2
2. In der nebenstehenden Figur beträgt die Seitenlänge des
Quadrates a = 4,4 cm und die Länge der Diagonalen des
Quadrates d = 6,2 cm.
a) Berechne den Inhalt der blau gekennzeichneten Fläche.
Der Radius jedes blauen Kreises ist a
2 =2,2 cm. Jeder der blauen Kreise ist nur zu drei
Vierteln sichtbar.
Ablau = 4∙3
4 ∙π∙(a
2)2
=3·π· (2,2)2 =3·π·4,84 cm2 =14,52 cm2 · π=45,6 cm²
b) Berechne den Inhalt der grau gekennzeichneten Fläche.
Radius des grauen Kreises: 𝑟=𝑎
2 +𝑑
2 also ist der Inhalt der grauen Fläche:
Agrau = 𝜋 r ² – Ablau – a2 = 𝜋 (2,2 cm + 3,1 cm)2 – 45,6 cm2 – 19,36 cm2
= 28,09 cm2 · 𝜋 – 45,6 cm2 – 19,36 cm2 = 88,25 cm2 – 45,6 cm2 – 19,36 cm2 =
23,29 cm2 ≈ 23,3 cm2
3. Berechne die Querschnittsfläche des Drahtes mit dem Durchmesser d = 0,25 mm.
A = 𝜋 · r2 r = 0,125 mm
A = (0,125 mm)2 · 𝜋 = 0,015625 cm2 · 𝜋
A = 0,049 mm2
4. Fülle die Tabelle aus
r d U A
2 cm 4 cm 12,56 cm 12,56 cm²
10 m 20 m 62,8 m 314,16 m²
3 m 6 m 18,85 m 28,27 m²
50 m 100 m 314,16 m 7853,98 m²
5 . Eine Torte wird in 12 Stücke aufgeteilt. Der Durchmesser der Torte beträgt 24 cm.
Wie groß ist die Fläche eines Tortenstücks?
A = r2 · 𝜋 A = (12 cm)2 · 𝜋 A = 452,39 cm2 452,39 cm2 : 12 = 37,70 cm2
Die Fläche eines Tortenstücks beträgt 37,7 cm2.
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Berechnungen am Kreis Lösungen 4
1. Von den acht Bahnen um einen Fußballplatz ist die innere Laufbahn auf der Innenseite
gemessen 400 m lang. Die Geraden sind jeweils 100 m lang.
a) Berechne den Durchmesser der Innenbahnkurve und zeichne die Bahn ein
(1 cm entspricht 20 m).
U = d · , d = U : 𝜋
d = 200 m : 3,14 = 63,69 m
Der Durchmesser der Innenbahnkurve beträgt 63,69 m.
Durchmesser im richtigen Maßstab:
63,69 m: 20 = 3,18...m = ca. 3,2 cm
Der Durchmesser der Innenbahnkurve beträgt in der Zeichnung 3,2 cm.
b) Eine Bahn ist 1,25 m breit. Wie viel Vorsprung müssten die Läufer der Bahnen
2 bis 6 beim Start eines 400-Meter-Laufs erhalten?
U = d · 𝜋
U = (63,69 m + 2 · 1,25 m) · 3,14 = 207,95 m.
Der Läufer auf Bahn 2 erhält 7,95 m Vorsprung.
Die Läufer auf Bahn 3, 4, 5 und 6 erhalten auf Bahn 3 15,90 m Vorsprung; auf Bahn 4
23,85 m Vorsprung; auf Bahn 5 31,80 m Vorsprung und auf Bahn 6 39,75 m Vorsprung.
c) Erkläre, weshalb man bei längeren Strecken nur die erste Runde in festen Bahnen
läuft und dann nach innen wechseln darf.
Der Vorsprung ist nur für eine Bahn berechnet, danach sollen alle Läufer möglichst
innen laufen, um die gleiche Distanz zurückzulegen.
2. In einer Tischlerei werden runde Tischplatten einseitig mit Holzfurnier überzogen;
die Kanten werden mit einem Umleimer eingefasst. Berechne die mit Holzfurnier
belegte Fläche und die Länge des Umleimers für
a) eine Tischplatte mit d = 80 cm und
b) eine Platte mit d = 120 cm.
a) A = r2 · 𝜋 A = (40 cm) 2 · 𝜋 A = 1600 cm2 · 𝜋 A = 5026,55 cm2
U = d · 𝜋 U = 80 cm · 𝜋 U = 251,33 cm
b) A = r2 · 𝜋 A = (60 cm) 2 · 𝜋 A = 3600 cm2 · 𝜋 A = 11309,73 cm2
U = d · 𝜋 U = 120 cm · 𝜋 U = 377,99 cm
3. Berechne Umfang und Flächeninhalt eines Kreises mit d = 1,5 m!
U = d · 𝜋 U = 1,5 m · 𝜋 U = 4,71 m
A = r2 · 𝜋 A = (0,75 m) 2 · 𝜋 A ≈ 1,77 m2
4. Ein Rohr hat einen Umfang von 92,4 mm.
Wie groß ist der Durchmesser des Rohres in cm?
92,4 mm = 9,24 cm U = d · 𝜋 9,24 cm = d · 𝜋 d = 9,24
π cm d ≈ 2,94 cm
Berechnungen am Kreis Lösungen 4
1. Von den acht Bahnen um einen Fußballplatz ist die innere Laufbahn auf der Innenseite
gemessen 400 m lang. Die Geraden sind jeweils 100 m lang.
a) Berechne den Durchmesser der Innenbahnkurve und zeichne die Bahn ein
(1 cm entspricht 20 m).
U = d · , d = U : 𝜋
d = 200 m : 3,14 = 63,69 m
Der Durchmesser der Innenbahnkurve beträgt 63,69 m.
Durchmesser im richtigen Maßstab:
63,69 m: 20 = 3,18...m = ca. 3,2 cm
Der Durchmesser der Innenbahnkurve beträgt in der Zeichnung 3,2 cm.
b) Eine Bahn ist 1,25 m breit. Wie viel Vorsprung müssten die Läufer der Bahnen
2 bis 6 beim Start eines 400-Meter-Laufs erhalten?
U = d · 𝜋
U = (63,69 m + 2 · 1,25 m) · 3,14 = 207,95 m.
Der Läufer auf Bahn 2 erhält 7,95 m Vorsprung.
Die Läufer auf Bahn 3, 4, 5 und 6 erhalten auf Bahn 3 15,90 m Vorsprung; auf Bahn 4
23,85 m Vorsprung; auf Bahn 5 31,80 m Vorsprung und auf Bahn 6 39,75 m Vorsprung.
c) Erkläre, weshalb man bei längeren Strecken nur die erste Runde in festen Bahnen
läuft und dann nach innen wechseln darf.
Der Vorsprung ist nur für eine Bahn berechnet, danach sollen alle Läufer möglichst
innen laufen, um die gleiche Distanz zurückzulegen.
2. In einer Tischlerei werden runde Tischplatten einseitig mit Holzfurnier überzogen;
die Kanten werden mit einem Umleimer eingefasst. Berechne die mit Holzfurnier
belegte Fläche und die Länge des Umleimers für
a) eine Tischplatte mit d = 80 cm und
b) eine Platte mit d = 120 cm.
a) A = r2 · 𝜋 A = (40 cm) 2 · 𝜋 A = 1600 cm2 · 𝜋 A = 5026,55 cm2
U = d · 𝜋 U = 80 cm · 𝜋 U = 251,33 cm
b) A = r2 · 𝜋 A = (60 cm) 2 · 𝜋 A = 3600 cm2 · 𝜋 A = 11309,73 cm2
U = d · 𝜋 U = 120 cm · 𝜋 U = 377,99 cm
3. Berechne Umfang und Flächeninhalt eines Kreises mit d = 1,5 m!
U = d · 𝜋 U = 1,5 m · 𝜋 U = 4,71 m
A = r2 · 𝜋 A = (0,75 m) 2 · 𝜋 A ≈ 1,77 m2
4. Ein Rohr hat einen Umfang von 92,4 mm.
Wie groß ist der Durchmesser des Rohres in cm?
92,4 mm = 9,24 cm U = d · 𝜋 9,24 cm = d · 𝜋 d = 9,24
π cm d ≈ 2,94 cm
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5. Wie groß sind die grauen Flächen?
a) A = AQuadrat – AKreis
= (62 cm)2 - (31 cm) 2 · 𝜋
= 3844 cm2 – 961 cm2 · 𝜋
= 3844 cm2 – 191,64 cm2
= 826,46 cm2
b) A = 1
2 · (AGroßerKreis - AkleinerKreis) + AMiniKreis
= 1
2 ·[ (15 mm + 18 mm)2 · 𝜋 – (18 mm)2 · 𝜋] + (7,5 mm)2
·𝜋
= 1
2 ·[ (33 mm)2 · 𝜋 – 324 mm2 · 𝜋 ]+ 56,25 mm2 · 𝜋
= 1
2 ·[ 1089 mm2 · 𝜋 – 324 mm2 · 𝜋 ]+ 56,25 mm2 · 𝜋
= 382,5 mm2 · 𝜋 + 56,25 mm2 · 𝜋
= 438,75 mm2 · 𝜋 = 1378,37 mm2 = 13,7837 cm2
6. Herr Maier plant für seine Familie eine neue Villa. Da er für seinen Büroraum viel
Licht benötigt, soll jedes kreisrunde Fenster eine Gesamtfläche von 20,5 m2 haben.
Welchen Durchmesser hat das Fenster?
A = 𝜋 · r2 𝑟=√𝐴
π 𝑟 =√20,5 𝑚2
π 𝑟 =√6,53 𝑚2 r = 2,56 m
d = 2 · 2,56 m d = 5,12 m
Das Fenster hat einen Durchmesser von 5,12 m.
7. Aus einem quadratischen Blech wird die möglichst größte Kreisscheibe
herausgeschnitten. Das Blech hat eine Seitenlänge von 36 cm.
Wie viel cm2 Abfall muss man in Kauf nehmen?
AQuadrat = a2 AQuadrat = (36 cm)2 AQuadrat = 1296 cm2
AKreis = r2 · 𝜋 AKreis = (18 cm)2 · 𝜋 AKreis = 1017,9 cm²
Abfall = 1296 cm2 – 1017,9 cm2 = 278,1 cm2
Berechnung des Abfalls in Prozent: 278,1
1296 =0,21
Es müssen 21% Abfall in Kauf genommen werden.
5. Wie groß sind die grauen Flächen?
a) A = AQuadrat – AKreis
= (62 cm)2 - (31 cm) 2 · 𝜋
= 3844 cm2 – 961 cm2 · 𝜋
= 3844 cm2 – 191,64 cm2
= 826,46 cm2
b) A = 1
2 · (AGroßerKreis - AkleinerKreis) + AMiniKreis
= 1
2 ·[ (15 mm + 18 mm)2 · 𝜋 – (18 mm)2 · 𝜋] + (7,5 mm)2
·𝜋
= 1
2 ·[ (33 mm)2 · 𝜋 – 324 mm2 · 𝜋 ]+ 56,25 mm2 · 𝜋
= 1
2 ·[ 1089 mm2 · 𝜋 – 324 mm2 · 𝜋 ]+ 56,25 mm2 · 𝜋
= 382,5 mm2 · 𝜋 + 56,25 mm2 · 𝜋
= 438,75 mm2 · 𝜋 = 1378,37 mm2 = 13,7837 cm2
6. Herr Maier plant für seine Familie eine neue Villa. Da er für seinen Büroraum viel
Licht benötigt, soll jedes kreisrunde Fenster eine Gesamtfläche von 20,5 m2 haben.
Welchen Durchmesser hat das Fenster?
A = 𝜋 · r2 𝑟=√𝐴
π 𝑟 =√20,5 𝑚2
π 𝑟 =√6,53 𝑚2 r = 2,56 m
d = 2 · 2,56 m d = 5,12 m
Das Fenster hat einen Durchmesser von 5,12 m.
7. Aus einem quadratischen Blech wird die möglichst größte Kreisscheibe
herausgeschnitten. Das Blech hat eine Seitenlänge von 36 cm.
Wie viel cm2 Abfall muss man in Kauf nehmen?
AQuadrat = a2 AQuadrat = (36 cm)2 AQuadrat = 1296 cm2
AKreis = r2 · 𝜋 AKreis = (18 cm)2 · 𝜋 AKreis = 1017,9 cm²
Abfall = 1296 cm2 – 1017,9 cm2 = 278,1 cm2
Berechnung des Abfalls in Prozent: 278,1
1296 =0,21
Es müssen 21% Abfall in Kauf genommen werden.
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Berechnungen am Kreis Lösungen 5
1. Ein „Durchfahrt Verboten“ Schild hat den Durchmesser von einem halben Meter. Der
weiße Innenkreis hat einen Radius von 17 cm.
Wie groß ist der Flächeninhalt des roten Ringes?
(Fläche Kreisring = Fläche Außenkreis – Fläche Innenkreis)
AKR = AAK – AIK rAK = 25 cm rIK = 17 cm
AKR = (25 cm) 2 · 𝜋 – (17 cm) 2 · 𝜋
= 625 cm2 · 𝜋 – 289 cm2 · 𝜋
= 336 cm2 · 𝜋
= 1055,58 cm2
Der Flächeninhalt des roten Ringes beträgt 1055,58 cm2.
2. Frau Werner kauft für ihr neues Esszimmer einen kreisrunden Tisch mit einem
Durchmesser von 1,75 m.
a) Wie teuer wird eine Tischdecke für diesen Tisch, wenn die Decke aus
optischen Gründen überall 25 cm überhängen? 1 m2 Tischstoff kostet 64 Euro.
Durchmesser mit Überlappung: d = 1,75 m + 0,5 m = 2,25 m
Radius ist mit Überlappung: r = 1,125 m
(1,125 m)2 · 𝜋 = 1,265625 m2 · 𝜋 = 1,27 m2 · 𝜋 = 3,99 m²
1 m2 Stoff kostet 64 Euro, also kosten 3,99 m2
→ (64 ∙ 3,99) € = 255,36 €
Die Tischdecke kostet 255, 36 €.
b) Wie viele Personen haben an diesem Tisch Platz, wenn man pro Person 75 cm Platz
einrechnet?
Kreisumfang: U = d · 𝜋 U = 1,75 m · 𝜋 U = 5,5 m
5,5 m : 0,75 m = 7,33
An diesem Tisch haben 7 Personen Platz.
3. Berechne die fehlenden Werte der ganzen Kreise in der Tabelle:
Radius Umfang Fläche
15,92 cm 100,028 cm 796,225 cm2
5,001 cm 31,42 dm 78,56 dm2
3 m 18,85 m 28,27 m2
Berechnungen am Kreis Lösungen 5
1. Ein „Durchfahrt Verboten“ Schild hat den Durchmesser von einem halben Meter. Der
weiße Innenkreis hat einen Radius von 17 cm.
Wie groß ist der Flächeninhalt des roten Ringes?
(Fläche Kreisring = Fläche Außenkreis – Fläche Innenkreis)
AKR = AAK – AIK rAK = 25 cm rIK = 17 cm
AKR = (25 cm) 2 · 𝜋 – (17 cm) 2 · 𝜋
= 625 cm2 · 𝜋 – 289 cm2 · 𝜋
= 336 cm2 · 𝜋
= 1055,58 cm2
Der Flächeninhalt des roten Ringes beträgt 1055,58 cm2.
2. Frau Werner kauft für ihr neues Esszimmer einen kreisrunden Tisch mit einem
Durchmesser von 1,75 m.
a) Wie teuer wird eine Tischdecke für diesen Tisch, wenn die Decke aus
optischen Gründen überall 25 cm überhängen? 1 m2 Tischstoff kostet 64 Euro.
Durchmesser mit Überlappung: d = 1,75 m + 0,5 m = 2,25 m
Radius ist mit Überlappung: r = 1,125 m
(1,125 m)2 · 𝜋 = 1,265625 m2 · 𝜋 = 1,27 m2 · 𝜋 = 3,99 m²
1 m2 Stoff kostet 64 Euro, also kosten 3,99 m2
→ (64 ∙ 3,99) € = 255,36 €
Die Tischdecke kostet 255, 36 €.
b) Wie viele Personen haben an diesem Tisch Platz, wenn man pro Person 75 cm Platz
einrechnet?
Kreisumfang: U = d · 𝜋 U = 1,75 m · 𝜋 U = 5,5 m
5,5 m : 0,75 m = 7,33
An diesem Tisch haben 7 Personen Platz.
3. Berechne die fehlenden Werte der ganzen Kreise in der Tabelle:
Radius Umfang Fläche
15,92 cm 100,028 cm 796,225 cm2
5,001 cm 31,42 dm 78,56 dm2
3 m 18,85 m 28,27 m2
www.Klassenarbeiten.de Seite 14
4. Die Zeichnung zeigt einen Sportplatz.
Berechne den Umfang und die Fläche
Der Umfang des Sportplatzes besteht aus dem Umfang des Kreises mit dem
Radius 31,83 m + den beiden Geraden von je 100 m.
U = 2 · r · 𝜋 + 200 m U = 2 · 31,83 m · 𝜋 + 200 m
U = 63,66 m · 𝜋 + 200 m U = 199,99 m + 200 m U = 399,99 m
Der Umfang des Sportplatzes beträgt 399,99 m.
Die Fläche des Sportplatzes besteht aus der Fläche des Kreises mit dem Radius 31,83 m
und der Fläche des Rechtecks mit den Kantenlängen a = 100 m, b = 2 · 31,83 m
AKreis: r2 · 𝜋 A = (31,83m)2 · 𝜋 A = 1013,15 m2 · 𝜋 A = 3182,90 m2
AQuadrat: a · b A = 100 m · (2 · 31,83 m) A = 100 m · 62,6 m A = 6366 m2
AKreis + AQuadrat: 3182,90 m2 + 6366 m2 Ages = 9548,90 m2
Die Gesamtfläche des Sportplatzes beträgt 9548,90 m2.
5. Berechne den Umfang eines Viertelkreises mit r = 7 cm.
U = 1
4· 2 · r · 𝜋 U = 1
2 · 7 cm · 𝜋 U = 3,5 cm · 𝜋 U = 10,9955 cm
6. Der Umfang eines Kreises misst 30 cm. Berechne den Durchmesser.
U = d · 𝜋 d = 𝑈
𝜋 d = 30 𝑐𝑚
𝜋 d = 9,55 cm
7. Simon will seinen Teich im Winter abdecken, der Teich hat einen Umfang von 3 m.
Wie groß muss die Fläche der Abdeckung sein?
U = 2 · r · 𝜋 r = 𝑈
2∙𝜋 r = 3𝑚
2∙𝜋 r = 1,5 m : 𝜋 r ≈ 0,477 m
A = r2 · 𝜋 A = (0,477 m)2 · 𝜋 A = 0,228 m2 · 𝜋 A = 0,716 m2
Die Fläche der Abdeckung muss 0,716 m2 sein.
4. Die Zeichnung zeigt einen Sportplatz.
Berechne den Umfang und die Fläche
Der Umfang des Sportplatzes besteht aus dem Umfang des Kreises mit dem
Radius 31,83 m + den beiden Geraden von je 100 m.
U = 2 · r · 𝜋 + 200 m U = 2 · 31,83 m · 𝜋 + 200 m
U = 63,66 m · 𝜋 + 200 m U = 199,99 m + 200 m U = 399,99 m
Der Umfang des Sportplatzes beträgt 399,99 m.
Die Fläche des Sportplatzes besteht aus der Fläche des Kreises mit dem Radius 31,83 m
und der Fläche des Rechtecks mit den Kantenlängen a = 100 m, b = 2 · 31,83 m
AKreis: r2 · 𝜋 A = (31,83m)2 · 𝜋 A = 1013,15 m2 · 𝜋 A = 3182,90 m2
AQuadrat: a · b A = 100 m · (2 · 31,83 m) A = 100 m · 62,6 m A = 6366 m2
AKreis + AQuadrat: 3182,90 m2 + 6366 m2 Ages = 9548,90 m2
Die Gesamtfläche des Sportplatzes beträgt 9548,90 m2.
5. Berechne den Umfang eines Viertelkreises mit r = 7 cm.
U = 1
4· 2 · r · 𝜋 U = 1
2 · 7 cm · 𝜋 U = 3,5 cm · 𝜋 U = 10,9955 cm
6. Der Umfang eines Kreises misst 30 cm. Berechne den Durchmesser.
U = d · 𝜋 d = 𝑈
𝜋 d = 30 𝑐𝑚
𝜋 d = 9,55 cm
7. Simon will seinen Teich im Winter abdecken, der Teich hat einen Umfang von 3 m.
Wie groß muss die Fläche der Abdeckung sein?
U = 2 · r · 𝜋 r = 𝑈
2∙𝜋 r = 3𝑚
2∙𝜋 r = 1,5 m : 𝜋 r ≈ 0,477 m
A = r2 · 𝜋 A = (0,477 m)2 · 𝜋 A = 0,228 m2 · 𝜋 A = 0,716 m2
Die Fläche der Abdeckung muss 0,716 m2 sein.
