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Mathematikarbeit 8. Klasse (G8) Bruchterme, Wurzeln, Volumenberechnung von Prismen, irrationale Zahlen, Definitionsmengen
Die Benutzung des Taschenrechners ist nicht erlaubt.
Aufgabe 1
Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge
a) 2
2
1
4
−=− xx
b) 9²
28
3
3
3
7
−=−++ xxx
c) )2²2(3
56
)1(3
2
)1(2
7
−=−+ xx
x
x
x
Aufgabe 2
Berechne das Volumen des abgebildeten Prismas
Aufgabe 3
Ziehe teilweise die Wurzel, so dass der verbleibende
Radikand eine möglichst kleine natürliche Zahl wird.
a) 48 b) 125 c) 4050
Aufgabe 4
Vereinfache soweit wie möglich
a) 205
b) 3
27
c) ( ) ( )3535 +−
d) ( )1882 +
e) ²
³:6
7
b
x
b
x
f) 169 +
g) ( )0³2
72 5
bb
b
h) 2
2
1
2
1
− yx
Mathematikarbeit 8. Klasse (G8) Bruchterme, Wurzeln, Volumenberechnung von Prismen, irrationale Zahlen, Definitionsmengen
Die Benutzung des Taschenrechners ist nicht erlaubt.
Aufgabe 1
Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge
a) 2
2
1
4
−=− xx
b) 9²
28
3
3
3
7
−=−++ xxx
c) )2²2(3
56
)1(3
2
)1(2
7
−=−+ xx
x
x
x
Aufgabe 2
Berechne das Volumen des abgebildeten Prismas
Aufgabe 3
Ziehe teilweise die Wurzel, so dass der verbleibende
Radikand eine möglichst kleine natürliche Zahl wird.
a) 48 b) 125 c) 4050
Aufgabe 4
Vereinfache soweit wie möglich
a) 205
b) 3
27
c) ( ) ( )3535 +−
d) ( )1882 +
e) ²
³:6
7
b
x
b
x
f) 169 +
g) ( )0³2
72 5
bb
b
h) 2
2
1
2
1
− yx
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Aufgabe 5
Wahr oder falsch?
Begründe und beachte, dass zum Widerlegen einer Behauptung ein Gegenbeispiel genügt.
a) Alle rationalen Zahlen sind reelle Zahlen.
b) Die Wurzel aus einer Zahl ist immer eine irrationale Zahl.
c) Die Wurzel aus einer Zahl ist immer kleiner als die Zahl selbst.
d) Jede Gleichung der Form x² = b hat eine Lösung.
Aufgabe 6
Setze für a und b (a b) irrationale Zahlen ein, deren Produkt p eine rationale Zahl ist. pba =
a = b = p =
Bonusaufgabe
Bestimme den maximalen Definitionsbereich: 4² −x
x
Viel Erfolg!
Aufgabe 5
Wahr oder falsch?
Begründe und beachte, dass zum Widerlegen einer Behauptung ein Gegenbeispiel genügt.
a) Alle rationalen Zahlen sind reelle Zahlen.
b) Die Wurzel aus einer Zahl ist immer eine irrationale Zahl.
c) Die Wurzel aus einer Zahl ist immer kleiner als die Zahl selbst.
d) Jede Gleichung der Form x² = b hat eine Lösung.
Aufgabe 6
Setze für a und b (a b) irrationale Zahlen ein, deren Produkt p eine rationale Zahl ist. pba =
a = b = p =
Bonusaufgabe
Bestimme den maximalen Definitionsbereich: 4² −x
x
Viel Erfolg!
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Lösungen zur 4. Mathematikarbeit 8. Klasse (G8)
Aufgabe 1
a) 2
2
1
4
−=− xx
Die Definitonsmenge sind alle reellen Zahlen außer 2 und 1, da der Nenner nie 0 sein darf.
Die Lösungsmenge wird berechnet:
4
𝑥−1= 2
𝑥−2
2 ( x - 1) = 4 ( x – 2 )
2x – 2 = 4x – 8 | -2x + 8
8 – 2 = 4x – 2x
6 = 2x
x = 3
IL = {3} ID = 12 xxIRx
b) 9²
28
3
3
3
7
−=−++ xxx
Die Definitonsmenge sind alle reellen Zahlen außer 3 und -3, da der Nenner nie 0 sein darf.
Die Lösungsmenge wird berechnet:
7
(𝑥+3 )+ 3
( 𝑥−3 )= 28
𝑥2 −9
7 (𝑥−3 )+ 3 ( 𝑥+3)
(𝑥+3 )∙(𝑥−3 ) = 28
𝑥2 −9
7 𝑥−21+3𝑥+9
(𝑥+3 )∙(𝑥−3 ) = 28
𝑥2 −9
10 x – 12 = 28 | + 12
10 x = 40 | : 10
x = 4
IL = {4} ID = 33 − xxIRx
c) )2²2(3
56
)1(3
2
)1(2
7
−=−+ xx
x
x
x
14 x2
6 (x2 − 1 )= 56
6 (x2 −1)
14 x2 = 56 | : 14
x2 = 4
x1 = 2; x2= -2;
IL = 22 +== xxIRx ID = 11 − xxIRx
Aufgabe 2
Berechne das Volumen des abgebildeten Prismas
VQuader = V1 = G ∙ h
V1 = 18m ∙ 7m ∙ 4,5m = 567m³
V2 = 1,5m ∙ 18m ∙ 7m ∙ 2
1 = 94,5 m³
VPrisma = V1 + V2 = 567 m3 + 94,5 m3 = 661,5 m³
Antwort: Das Volumen des Prismas beträgt 661,5 m³.
Lösungen zur 4. Mathematikarbeit 8. Klasse (G8)
Aufgabe 1
a) 2
2
1
4
−=− xx
Die Definitonsmenge sind alle reellen Zahlen außer 2 und 1, da der Nenner nie 0 sein darf.
Die Lösungsmenge wird berechnet:
4
𝑥−1= 2
𝑥−2
2 ( x - 1) = 4 ( x – 2 )
2x – 2 = 4x – 8 | -2x + 8
8 – 2 = 4x – 2x
6 = 2x
x = 3
IL = {3} ID = 12 xxIRx
b) 9²
28
3
3
3
7
−=−++ xxx
Die Definitonsmenge sind alle reellen Zahlen außer 3 und -3, da der Nenner nie 0 sein darf.
Die Lösungsmenge wird berechnet:
7
(𝑥+3 )+ 3
( 𝑥−3 )= 28
𝑥2 −9
7 (𝑥−3 )+ 3 ( 𝑥+3)
(𝑥+3 )∙(𝑥−3 ) = 28
𝑥2 −9
7 𝑥−21+3𝑥+9
(𝑥+3 )∙(𝑥−3 ) = 28
𝑥2 −9
10 x – 12 = 28 | + 12
10 x = 40 | : 10
x = 4
IL = {4} ID = 33 − xxIRx
c) )2²2(3
56
)1(3
2
)1(2
7
−=−+ xx
x
x
x
14 x2
6 (x2 − 1 )= 56
6 (x2 −1)
14 x2 = 56 | : 14
x2 = 4
x1 = 2; x2= -2;
IL = 22 +== xxIRx ID = 11 − xxIRx
Aufgabe 2
Berechne das Volumen des abgebildeten Prismas
VQuader = V1 = G ∙ h
V1 = 18m ∙ 7m ∙ 4,5m = 567m³
V2 = 1,5m ∙ 18m ∙ 7m ∙ 2
1 = 94,5 m³
VPrisma = V1 + V2 = 567 m3 + 94,5 m3 = 661,5 m³
Antwort: Das Volumen des Prismas beträgt 661,5 m³.
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Aufgabe 3
Ziehe teilweise die Wurzel, so dass der verbleibende Radikand eine möglichst kleine
natürliche Zahl wird.
a) 48 = √4∙4∙3=2∙2 √3=4 √3
b) 125 = √25∙3=5 √3
c) 4050 = √81∙25∙2=9∙5 √2=45 √2
Aufgabe 4
Vereinfache soweit wie möglich
a) 205 = 100 = 10
b) 3
27 = √27
3 = √9 =3
c) ( ) ( )3535 +− = 25 – 3 = 22
d) ( )1882 + = 3616 + = 10
e) ²
³:6
7
b
x
b
x = 36
7 ²
xb
bx
= 4
4
b
x = ²
²
b
x
f) 169 + = 25 = 5
g) ( )0³2
72 5
bb
b = √72 b5
2 b3 = √36 b2 =6 b
h) 2
2
1
2
1
− yx = 1
4x−2∙ 1
2√x∙√1
2y+ 1
2y=1
4x−√1
2xy+ 1
2y
Hier muss die binomische Formel angewendet werden: (a – b) 2 = a2 – 2ab + b2!!!
Aufgabe 5
Wahr oder falsch:
a) Alle rationalen Zahlen sind reelle Zahlen.
A: Ja, denn die reellen Zahlen umfassen auch die rationalen Zahlen.
b) Die Wurzel aus einer Zahl ist immer eine irrationale Zahl
A: Nein, denn √4 = 2, 2 ist aber keine irrationale Zahl.
c) Die Wurzel aus einer Zahl ist immer kleiner als die Zahl selbst.
A: Nein, denn 10
1
100
1 = und 100
1
10
1 . Dies gilt nur für Zahlen > 1;
d) Jede Gleichung der Form x² = b hat eine Lösung
A: Nein, da x² = -4 nicht in den reellen Zahlen lösbar ist.
Aufgabe 6
Setze für a und b (a b) irrationale Zahlen ein, deren Produkt p eine rationale Zahl ist. pba =
a = b = p = ( ) 42244222
22
2
=+=+=+=
+=
=
pba
b
a
Aufgabe 3
Ziehe teilweise die Wurzel, so dass der verbleibende Radikand eine möglichst kleine
natürliche Zahl wird.
a) 48 = √4∙4∙3=2∙2 √3=4 √3
b) 125 = √25∙3=5 √3
c) 4050 = √81∙25∙2=9∙5 √2=45 √2
Aufgabe 4
Vereinfache soweit wie möglich
a) 205 = 100 = 10
b) 3
27 = √27
3 = √9 =3
c) ( ) ( )3535 +− = 25 – 3 = 22
d) ( )1882 + = 3616 + = 10
e) ²
³:6
7
b
x
b
x = 36
7 ²
xb
bx
= 4
4
b
x = ²
²
b
x
f) 169 + = 25 = 5
g) ( )0³2
72 5
bb
b = √72 b5
2 b3 = √36 b2 =6 b
h) 2
2
1
2
1
− yx = 1
4x−2∙ 1
2√x∙√1
2y+ 1
2y=1
4x−√1
2xy+ 1
2y
Hier muss die binomische Formel angewendet werden: (a – b) 2 = a2 – 2ab + b2!!!
Aufgabe 5
Wahr oder falsch:
a) Alle rationalen Zahlen sind reelle Zahlen.
A: Ja, denn die reellen Zahlen umfassen auch die rationalen Zahlen.
b) Die Wurzel aus einer Zahl ist immer eine irrationale Zahl
A: Nein, denn √4 = 2, 2 ist aber keine irrationale Zahl.
c) Die Wurzel aus einer Zahl ist immer kleiner als die Zahl selbst.
A: Nein, denn 10
1
100
1 = und 100
1
10
1 . Dies gilt nur für Zahlen > 1;
d) Jede Gleichung der Form x² = b hat eine Lösung
A: Nein, da x² = -4 nicht in den reellen Zahlen lösbar ist.
Aufgabe 6
Setze für a und b (a b) irrationale Zahlen ein, deren Produkt p eine rationale Zahl ist. pba =
a = b = p = ( ) 42244222
22
2
=+=+=+=
+=
=
pba
b
a
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Bonusaufgabe
Bestimme den maximalen Definitionsbereich: 4² −x
x
Definitionsmenge des Nenners: ID = 22 − xxIRx
Definitionsmenge des Zählers: ID = 0 xIRx
Ist allerdings der Zähler negativ und der Nenner negativ, so kann die Wurzel gezogen werden.
Allerdings darf dann x nicht -2 sein, da der Nenner sonst 0 ist.
ID = ( ) 202 − xXxIRx
Bonusaufgabe
Bestimme den maximalen Definitionsbereich: 4² −x
x
Definitionsmenge des Nenners: ID = 22 − xxIRx
Definitionsmenge des Zählers: ID = 0 xIRx
Ist allerdings der Zähler negativ und der Nenner negativ, so kann die Wurzel gezogen werden.
Allerdings darf dann x nicht -2 sein, da der Nenner sonst 0 ist.
ID = ( ) 202 − xXxIRx
