Seite 1
Das Dreier- und Viererzahlensystem
Wie beim Binärsystem alle Zahlen auf 2 aufgebaut sind, so sind im
Dreiersystem alle Zahlen auf Eins, Drei und die Potenzen von
Drei aufgebaut: Folglich gilt: 3 Einer ergeben einen Dreier, 3
Dreier ergeben einen Neuner, ... Die Zahlen werden mit einer 3
gekennzeichnet:
Beispiel: 48
48 = 12103
Das Vierersystem
Ähnlich wie beim Zweier- und Dreiersystem gilt: Es werden nur die
Eins, Vier und alle Potenzen von Vier verwendet: 4 Einer ergeben
einen Vierer, 4 Vierer ergeben einen Sechzehner, 4 Sechzehner
ergeben einen Vierundsechziger, ... Die Zahlen werden mit einer 4
gekennzeichnet.
Beispiel: 93
93 = 11314
81 27 9 3 1
0 1 2 1 0
0 81 + 1 27 + 2 9 +1 3 + 0 1
256 64 16 4 1
0 1 1 3 1
0 256 + 1 64 + 1 16 + 3 4 + 1 1
Das Dreier- und Viererzahlensystem
Wie beim Binärsystem alle Zahlen auf 2 aufgebaut sind, so sind im
Dreiersystem alle Zahlen auf Eins, Drei und die Potenzen von
Drei aufgebaut: Folglich gilt: 3 Einer ergeben einen Dreier, 3
Dreier ergeben einen Neuner, ... Die Zahlen werden mit einer 3
gekennzeichnet:
Beispiel: 48
48 = 12103
Das Vierersystem
Ähnlich wie beim Zweier- und Dreiersystem gilt: Es werden nur die
Eins, Vier und alle Potenzen von Vier verwendet: 4 Einer ergeben
einen Vierer, 4 Vierer ergeben einen Sechzehner, 4 Sechzehner
ergeben einen Vierundsechziger, ... Die Zahlen werden mit einer 4
gekennzeichnet.
Beispiel: 93
93 = 11314
81 27 9 3 1
0 1 2 1 0
0 81 + 1 27 + 2 9 +1 3 + 0 1
256 64 16 4 1
0 1 1 3 1
0 256 + 1 64 + 1 16 + 3 4 + 1 1
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Zahlen in der Wissenschaft
In der Wissenschaft sind die Zahlen leider nicht so handlich wie in
den meisten Mathebüchern. Es können sehr große, aber auch sehr
kleine Zahlen auftreten.
Beispiel: Die Entfernung der Erde zur Sonne ist 150 000 000 km.
Beispiel 2: Die Masse eines Wasserstoffatoms (das ist so ziemlich
das kleinste, was wir Menschen überhaupt kennen) ist
0,000 000 000 000 000 000 000 001 674 g.
Wer will schon immer solche langen Zahlen schreiben? Zum 1.
Beispiel könnte man nun sagen, das sind 150 Gigameter, aber
wenn man das ausschreibt ändert sich nichts. Zum 2. Beispiel
könnte man sagen, ... Das geht auch anders. Die ganzen Nullen
lassen sich mathematisch auch noch anders ausdrücken.
Zu 100 könnte man sagen: 10 · 10 oder 10²
Zu 1 000 könnte man auch 10 · 10 · 10, also 10³ sagen.
Das ist einfach 1 000 hat drei Nullen und 10 hoch drei ist das
gleiche.
15 · 107 ist also eine 15 mit sieben Nullen. In einigen Büchern und
Taschenrechnern wird die mal 10 einfach weggelassen. Dann ist
157 km die Entfernung zur Sonne.
Die vielen Nullen nach dem Komma in Beispiel 2 werden durch
einen negativen E•ponenten ausgedrückt. Wie man das rechnet
lernt man in Klasse 10. Ein Wasserstoffatom ist folglich
1,674 · 10-24 g.
Zahlen in der Wissenschaft
In der Wissenschaft sind die Zahlen leider nicht so handlich wie in
den meisten Mathebüchern. Es können sehr große, aber auch sehr
kleine Zahlen auftreten.
Beispiel: Die Entfernung der Erde zur Sonne ist 150 000 000 km.
Beispiel 2: Die Masse eines Wasserstoffatoms (das ist so ziemlich
das kleinste, was wir Menschen überhaupt kennen) ist
0,000 000 000 000 000 000 000 001 674 g.
Wer will schon immer solche langen Zahlen schreiben? Zum 1.
Beispiel könnte man nun sagen, das sind 150 Gigameter, aber
wenn man das ausschreibt ändert sich nichts. Zum 2. Beispiel
könnte man sagen, ... Das geht auch anders. Die ganzen Nullen
lassen sich mathematisch auch noch anders ausdrücken.
Zu 100 könnte man sagen: 10 · 10 oder 10²
Zu 1 000 könnte man auch 10 · 10 · 10, also 10³ sagen.
Das ist einfach 1 000 hat drei Nullen und 10 hoch drei ist das
gleiche.
15 · 107 ist also eine 15 mit sieben Nullen. In einigen Büchern und
Taschenrechnern wird die mal 10 einfach weggelassen. Dann ist
157 km die Entfernung zur Sonne.
Die vielen Nullen nach dem Komma in Beispiel 2 werden durch
einen negativen E•ponenten ausgedrückt. Wie man das rechnet
lernt man in Klasse 10. Ein Wasserstoffatom ist folglich
1,674 · 10-24 g.
Seite 3
Zahlensysteme 3
Aufgabe 1: Wandle die angegebenen Zahlen ins Zehnersystem um:
gegeben Z.system (101)5
(10110)2 (1204)5
(10011100)2 (2310)5
(11000011)2 (24421)5
(11001100)2 (34234)5
(1000010111)2 (43313)5
(10011001111)2 (106)7
(10101)3 (115)7
(11002)3 (1061)7
(22121)3 (2040)7
(121011)3 (2161)7
(2111010)3 (4035)7
(11222002)3
Aufgabe 2: Wandle die gegebenen Dezimalzahlen ins 2er, 3er, 5er und
7er-System um
gegeben Lösung gegeben Lösung gegeben Lösung
37
(_________)2
(_________)3
(_________)5
(_________)7
111
(_________)2
(_________)3
(_________)5
(_________)7
1945
(_________)2
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(_________)2
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700
(_________)2
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2007
(_________)2
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Zahlensysteme 3
Aufgabe 1: Wandle die angegebenen Zahlen ins Zehnersystem um:
gegeben Z.system (101)5
(10110)2 (1204)5
(10011100)2 (2310)5
(11000011)2 (24421)5
(11001100)2 (34234)5
(1000010111)2 (43313)5
(10011001111)2 (106)7
(10101)3 (115)7
(11002)3 (1061)7
(22121)3 (2040)7
(121011)3 (2161)7
(2111010)3 (4035)7
(11222002)3
Aufgabe 2: Wandle die gegebenen Dezimalzahlen ins 2er, 3er, 5er und
7er-System um
gegeben Lösung gegeben Lösung gegeben Lösung
37
(_________)2
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(_________)2
(_________)3
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1945
(_________)2
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2007
(_________)2
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Zahlensysteme 4
Aufgabe 1
a) Rechne um in das Zehnersystem
( 1011 )2 = _______ ( 100110 )2 = _______ ( 101 )2 = _______
b) Rechne um in das Dualsystem ( Zweiersystem )
12 = (___________)2 48 = (___________)2
Aufgabe 2
Schreibe als Dezimalzahl
a) 101112 = ________________________
b) 11 001 0002 = ______________________________
c) 12234 = ________________________
d) 2 031 5= ______________________________
Aufgabe 3
Schreibe als Dualzahl:
a) 128 = ______________________
b) 101 = _______________________
Aufgabe 4
Schreibe im Fünfersystem:
a) 195 = __________________________
b) 297 = __________________________
Aufgabe 5
Zähle im Vierersystem von 224 bis 1114
224 , 234 ,
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
Zahlensysteme 4
Aufgabe 1
a) Rechne um in das Zehnersystem
( 1011 )2 = _______ ( 100110 )2 = _______ ( 101 )2 = _______
b) Rechne um in das Dualsystem ( Zweiersystem )
12 = (___________)2 48 = (___________)2
Aufgabe 2
Schreibe als Dezimalzahl
a) 101112 = ________________________
b) 11 001 0002 = ______________________________
c) 12234 = ________________________
d) 2 031 5= ______________________________
Aufgabe 3
Schreibe als Dualzahl:
a) 128 = ______________________
b) 101 = _______________________
Aufgabe 4
Schreibe im Fünfersystem:
a) 195 = __________________________
b) 297 = __________________________
Aufgabe 5
Zähle im Vierersystem von 224 bis 1114
224 , 234 ,
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
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Zahlensysteme 5
Aufgabe 1
Berechne:
a) 2 • 105 + 7 • 103 = _______________________ b) 2 • 106 – 9 • 104 = _______________________
c) 99 • 104 – 9 • 105 = _______________________ d) 109 – 107 = _______________________
Aufgabe 2
a) Verwandle die Zahlen ins Zehnersystem:
(100011)2 _______________________ (10111100)2 _______________________
(132)5 _______________________ (1030)5 _______________________
b) Verwandle die Zahlen ins Zweiersystem:
1.) 23 _______________________ 2.) 148 _______________________
c) Verwandle die Zahlen ins Fünfersystem:
1.) 117 _______________________ 2.) 603 _______________________
Aufgabe 3 Begriffe zu Zahlensystemen
a) Wie viele Ziffern benötigt man für dass Sechzehnersystem mit der Grundzahl 16?
______________________________________________________________
b) Welchen Stellenwert hat die Ziffer „1“ in der Zahl (10000000)2
_______________________________________________________________________________________________
Aufgabe 4 Ergänze auf dem Zettel die fehlenden Zahlen; gib auch die
Stufenzahlen an:
Zahlensysteme 5
Aufgabe 1
Berechne:
a) 2 • 105 + 7 • 103 = _______________________ b) 2 • 106 – 9 • 104 = _______________________
c) 99 • 104 – 9 • 105 = _______________________ d) 109 – 107 = _______________________
Aufgabe 2
a) Verwandle die Zahlen ins Zehnersystem:
(100011)2 _______________________ (10111100)2 _______________________
(132)5 _______________________ (1030)5 _______________________
b) Verwandle die Zahlen ins Zweiersystem:
1.) 23 _______________________ 2.) 148 _______________________
c) Verwandle die Zahlen ins Fünfersystem:
1.) 117 _______________________ 2.) 603 _______________________
Aufgabe 3 Begriffe zu Zahlensystemen
a) Wie viele Ziffern benötigt man für dass Sechzehnersystem mit der Grundzahl 16?
______________________________________________________________
b) Welchen Stellenwert hat die Ziffer „1“ in der Zahl (10000000)2
_______________________________________________________________________________________________
Aufgabe 4 Ergänze auf dem Zettel die fehlenden Zahlen; gib auch die
Stufenzahlen an:
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Zahlensysteme – Lösung (Seite 3)
Aufgabe 1:: Aufgabe 2:
gegeben Lösung
(10110)2 22
(10011100)2 156
(11000011)2 195
(11001100)2 204
(1000010111)2 535
(10011001111)2 1231
(10101)3 91
(11002)3 110
(22121)3 232
(121011)3 436
(2111010)3 1812
(11222002)3 3620
(101)5 26
(1204)5 179
(2310)5 330
(24421)5 1861
(34234)5 2444
(43313)5 2958
(106)7 55
(115)7 61
(1061)7 386
(2040)7 714
(2161)7 778
(4035)7 1398
Zahlensysteme – Lösung (Seite 4)
1a) ( 1011 )2 = 11 ( 100110 )2 = 38 ( 101 )2 = 5
1b) 12 = ( 1100 )2 48 = ( 110000 )2
Lösung gegeben
(100101)2
(1101)3
(122)5
(52)7
37
(110001)2
(1211)3
(144)5
(100)7
49
(1101111)2
(11010)3
(421)5
(216)7
111
(1010111100)2
(221221)3
(10300)5
(2020)7
700
(1111001101)2
(2200001)3
(30240)5
(5446)7
1945
(11111010111)2
(2202100)3
(31012)5
(5565)7
2007
Zahlensysteme – Lösung (Seite 3)
Aufgabe 1:: Aufgabe 2:
gegeben Lösung
(10110)2 22
(10011100)2 156
(11000011)2 195
(11001100)2 204
(1000010111)2 535
(10011001111)2 1231
(10101)3 91
(11002)3 110
(22121)3 232
(121011)3 436
(2111010)3 1812
(11222002)3 3620
(101)5 26
(1204)5 179
(2310)5 330
(24421)5 1861
(34234)5 2444
(43313)5 2958
(106)7 55
(115)7 61
(1061)7 386
(2040)7 714
(2161)7 778
(4035)7 1398
Zahlensysteme – Lösung (Seite 4)
1a) ( 1011 )2 = 11 ( 100110 )2 = 38 ( 101 )2 = 5
1b) 12 = ( 1100 )2 48 = ( 110000 )2
Lösung gegeben
(100101)2
(1101)3
(122)5
(52)7
37
(110001)2
(1211)3
(144)5
(100)7
49
(1101111)2
(11010)3
(421)5
(216)7
111
(1010111100)2
(221221)3
(10300)5
(2020)7
700
(1111001101)2
(2200001)3
(30240)5
(5446)7
1945
(11111010111)2
(2202100)3
(31012)5
(5565)7
2007
Seite 7
2. Schreibe als Dezimalzahl
a) 101112 = 1 + 2 + 4 + 16 = 23
b) 11 001 0002 = 8 + 64 + 128 = 200
c) 12234 = 3 + 8 + 32 + 64
d) 2 0315 = 1 + 15 + 250 = 107 = 266
3. Schreibe als Dualzahl:
a) 128 = 10.000.0002
b) 101 = 11001012
4. Schreibe im Fünfersystem:
a) 195 = 12405
b) 297 = 21425
5. Zähle im Vierersystem von 224 bis 1114
224 , 234 , 304 , 314 , 324 , 334 , 1004 , 1014 , 1024 , 1034 , 1104 , 1114
Zahlensysteme – Lösung (Seite 5)
1. Berechne:
a) 2 x 105 + 7 x 104 = 20 x 104 + 7 x 104 = 27 x 104
b) 2 x106 – 9 x 104 = 200 x 104 – 9 x 104 = 191 x 104
c) 99 x 104 – 9 x 105 = 99 x 104 – 90 x 104 = 9 x 104
d) 1 x 109 – 1 x 107 = 100 x 107 – 1 x 107 = 99 x 107
2. a) Verwandle die Zahlen ins Zehnersystem:(100011)2 (10111100)2 (132)5 (1030)5
1 • 32 + 1 • 2 + 1 • 1 = 32 + 2 + 1 = 35,
1 • 128 + 1 • 32 + 1 • 16 + 1 • 8 + 1 • 4 = 128 + 32 + 16 + 8 + 4 = 188
1 • 25 + 3 • 5 + 1 • 2 = 25 + 15 + 2 = 42,
1 • 125 + 3 • 5 = 125 + 15 = 140
b) Verwandle die Zahlen ins Zweiersystem:
1.) 23 1 • 16 + 1 • 4 + 1 • 2 + 1 • 1 = ( 10111) 2,
2.) 148 1 • 128 + 1 • 16 + 1 • 42 = ( 10010100) 2,
c) Verwandle die Zahlen ins Fünfersystem:
1.) 117 4 • 25 + 3 • 5 + 2 • 1 = (432)5
2.) 603 4 • 125 + 4 • 25 + 3 • 1 = (4403)5
3.a) Wie viele Ziffern benötigt man für dass Sechzehnersystem mit der Grundzahl 16?
Man benötigt 16 Ziffern
b) Welchen Stellenwert hat die Ziffer „1“ in der Zahl (10000000)2
Der Stellenwert beträgt 128
4) Ergänze auf dem Zettel die fehlenden Zahlen; gib auch die Stufenzahlen an:
2. Schreibe als Dezimalzahl
a) 101112 = 1 + 2 + 4 + 16 = 23
b) 11 001 0002 = 8 + 64 + 128 = 200
c) 12234 = 3 + 8 + 32 + 64
d) 2 0315 = 1 + 15 + 250 = 107 = 266
3. Schreibe als Dualzahl:
a) 128 = 10.000.0002
b) 101 = 11001012
4. Schreibe im Fünfersystem:
a) 195 = 12405
b) 297 = 21425
5. Zähle im Vierersystem von 224 bis 1114
224 , 234 , 304 , 314 , 324 , 334 , 1004 , 1014 , 1024 , 1034 , 1104 , 1114
Zahlensysteme – Lösung (Seite 5)
1. Berechne:
a) 2 x 105 + 7 x 104 = 20 x 104 + 7 x 104 = 27 x 104
b) 2 x106 – 9 x 104 = 200 x 104 – 9 x 104 = 191 x 104
c) 99 x 104 – 9 x 105 = 99 x 104 – 90 x 104 = 9 x 104
d) 1 x 109 – 1 x 107 = 100 x 107 – 1 x 107 = 99 x 107
2. a) Verwandle die Zahlen ins Zehnersystem:(100011)2 (10111100)2 (132)5 (1030)5
1 • 32 + 1 • 2 + 1 • 1 = 32 + 2 + 1 = 35,
1 • 128 + 1 • 32 + 1 • 16 + 1 • 8 + 1 • 4 = 128 + 32 + 16 + 8 + 4 = 188
1 • 25 + 3 • 5 + 1 • 2 = 25 + 15 + 2 = 42,
1 • 125 + 3 • 5 = 125 + 15 = 140
b) Verwandle die Zahlen ins Zweiersystem:
1.) 23 1 • 16 + 1 • 4 + 1 • 2 + 1 • 1 = ( 10111) 2,
2.) 148 1 • 128 + 1 • 16 + 1 • 42 = ( 10010100) 2,
c) Verwandle die Zahlen ins Fünfersystem:
1.) 117 4 • 25 + 3 • 5 + 2 • 1 = (432)5
2.) 603 4 • 125 + 4 • 25 + 3 • 1 = (4403)5
3.a) Wie viele Ziffern benötigt man für dass Sechzehnersystem mit der Grundzahl 16?
Man benötigt 16 Ziffern
b) Welchen Stellenwert hat die Ziffer „1“ in der Zahl (10000000)2
Der Stellenwert beträgt 128
4) Ergänze auf dem Zettel die fehlenden Zahlen; gib auch die Stufenzahlen an:
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