Lösungsvorschlag (Klasse 10, Stochastik)
Aufgabe 1
a) Ein Ereignis ist eine Teilmenge des Ergebnisraums.
b) Zufallsexperimente, bei denen alle Versuchsausgänge die gleiche Wahrscheinlichkeit
haben, nennt man Laplace-Experimente.
c) Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich in Histogrammen sowie
Mengendiagrammen (Venndiagrammen)darstellen.
Beispiel für ein Histogramm: Beispiel für ein Mengendiagramm:
Aufgabe 2
Es gibt 8 Lösungen: Variation mit Wiederholung. Die Lösungen heißen:
nnj
njn
njj
jnn
jnj
jjn
jjj
nnn
A: Ute ist unerreichbar: Ute ist die „erste Freundin“ (in der Darstellung muss also die erste
Stelle „n“ sein, der Rest ist egal)
nnj ; njn; njj; nnn
B: Ute und Sybille sind nicht erreichbar: Ute ist die „erste Freundin“, Sybille die „zweite“
nnj; nnn
C: Mindestens eine der drei Freundinnen ist nicht erreichbar (entspricht: eine oder noch mehr
nicht erreichbar)
nnj, njn, njj, jnn, jnj, jjn, nnn
Gegenereignis wäre: alle Freundinnen erreichbar: jjj
Aufgabe 3
20 Zahlen: 1-19; 53
A = {1,7,17,53}
Gegenereignis von A = {3,5,9,11,13,15,19}
B: Nicht teilbar durch 5
Gegenereignis von B = teilbar durch 5
Aufgabe 1
a) Ein Ereignis ist eine Teilmenge des Ergebnisraums.
b) Zufallsexperimente, bei denen alle Versuchsausgänge die gleiche Wahrscheinlichkeit
haben, nennt man Laplace-Experimente.
c) Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich in Histogrammen sowie
Mengendiagrammen (Venndiagrammen)darstellen.
Beispiel für ein Histogramm: Beispiel für ein Mengendiagramm:
Aufgabe 2
Es gibt 8 Lösungen: Variation mit Wiederholung. Die Lösungen heißen:
nnj
njn
njj
jnn
jnj
jjn
jjj
nnn
A: Ute ist unerreichbar: Ute ist die „erste Freundin“ (in der Darstellung muss also die erste
Stelle „n“ sein, der Rest ist egal)
nnj ; njn; njj; nnn
B: Ute und Sybille sind nicht erreichbar: Ute ist die „erste Freundin“, Sybille die „zweite“
nnj; nnn
C: Mindestens eine der drei Freundinnen ist nicht erreichbar (entspricht: eine oder noch mehr
nicht erreichbar)
nnj, njn, njj, jnn, jnj, jjn, nnn
Gegenereignis wäre: alle Freundinnen erreichbar: jjj
Aufgabe 3
20 Zahlen: 1-19; 53
A = {1,7,17,53}
Gegenereignis von A = {3,5,9,11,13,15,19}
B: Nicht teilbar durch 5
Gegenereignis von B = teilbar durch 5
B = {5,15}
C: keine Primzahl
Gegenereignis von C = Primzahl
C = {3,5,7,11,13,17,19,53}
D: Primzahl, aber größer als 11
Gegenereignis von D: keine Primzahl und kleiner gleich 11
D = {9}
Aufgabe 4
P6 = 0,3
P1 = 0,1
P2 = P3 =P4 = P5 = 0,15 (errechnet: 0,3+0,1 = 0,4 * * * 1 – 0,4 = 0,6 * * * 0,6 : 4)
A: 0,3 · 0,15 = 0,045 = 4,5%
B: 0,7 · 0,3 = 0,21
C:
Ereignisse mit gleicher Augenzahl: 11,22,33,44,55,66. Alle anderen 30:
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
2,1
2,3
2,4
2,5
2,6
3,1
3,2
3,4
3,5
3,6
4,1
4,2
4,3
4,5
4,6
5,1
5,2
5,3
5,4
5,6
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
Æ sind alle möglichen Ereignisse mit verschiedenen Augenzahlen
C: keine Primzahl
Gegenereignis von C = Primzahl
C = {3,5,7,11,13,17,19,53}
D: Primzahl, aber größer als 11
Gegenereignis von D: keine Primzahl und kleiner gleich 11
D = {9}
Aufgabe 4
P6 = 0,3
P1 = 0,1
P2 = P3 =P4 = P5 = 0,15 (errechnet: 0,3+0,1 = 0,4 * * * 1 – 0,4 = 0,6 * * * 0,6 : 4)
A: 0,3 · 0,15 = 0,045 = 4,5%
B: 0,7 · 0,3 = 0,21
C:
Ereignisse mit gleicher Augenzahl: 11,22,33,44,55,66. Alle anderen 30:
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
2,1
2,3
2,4
2,5
2,6
3,1
3,2
3,4
3,5
3,6
4,1
4,2
4,3
4,5
4,6
5,1
5,2
5,3
5,4
5,6
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
Æ sind alle möglichen Ereignisse mit verschiedenen Augenzahlen
30 Möglichkeiten, dass unterschiedliche Augenzahlen fallen (gewürfelt werden).
Wahrscheinlichkeit (es gibt insgesamt 36 Möglichkeiten, wie der Würfel fällt):
30 = 5 = Pin beiden Würfen fallen verschiedene Augenzahlen
36 6
D:
höchstens einmal = einmal oder keinmal
P (es fällt höchstens einmal eine Sechs) mit Binomialformel gerechnet:
2 · 0,31 · 0,71
1
+ 2 · 0,30 · 0,7²
0
Erklärung zur Formel: von zwei Würfen soll entweder einmal oder keinmal die 6 vorkommen.
0,3 ist die Wahrscheinlichkeit für die 6 (in Mathebüchern oft mit „Trefferquote“ angegeben).
0,7 ist die Wahrscheinlichkeit für jede andere Zahl außer der sechs, die von zwei Würfen
einmal oder zweimal vorkommen muss.
E: Die Augensumme aus beiden Würfen ist gerade
18 mögliche Ereignisse:
1,1
1,3
1,5
2,2
2,4
2,6
3,1
3,3
3,5
4,2
4,4
4,6
5,1
5,3
5,5
6,2
6,4
6,6
Bei einem fairen Würfel:
18/36 = ½ = PDie Augensumme aus beiden Würfen ist gerade
Bei unserem unfairen Würfel:
siehe hinter den Ereignissen
Æ die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten, gerade Augensummen zu bekommen, müssen addiert
werden
0,01+0,015+ ... = 0,52 = 52% = PDie Augensumme aus beiden Würfen ist gerade
0,1² = 0,01
0,1 · 0,15 = 0,015
0,1 · 0,15 = 0,015
0,15² = 0,0225
0,15² = 0,0225
0,15 · 0,3 = 0,045
0,15 · 0,1 = 0,015
0,15² = 0,0225
0,15² = 0,0225
0,15² = 0,0225
0,15² = 0,0225
0,15 · 0,3 = 0,045
0,15 · 0,1 = 0,015
0,15² = 0,0225
0,15² = 0,0225
0,3 · 0,15 = 0,045
0,3 · 0,15 = 0,045
0,3 ² = 0,09
