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Faktorisieren - Binomische Formeln 1
Faktorisieren bedeutet eine Summe oder Differenz in ein Produkt zu verwandeln.
Mit faktorisierten Termen kann man häufig deutlich besser weiterrechnen.
Verschiedene Verfahren zum Faktorisieren:
Ausklammern
Beispiel:
x2 + 4x = x ⋅ ( x + 4 )
Vorsicht: Das Ausklammern einer Zahl reicht nicht zum Faktorisieren.
Erste binomische Formel:
( a + b )² = a² + 2ab + b²
Nicht vergessen: ( a + b )² = ( a + b ) ⋅ ( a + b )
Zweite binomische Formel:
( a – b )2 = a2 - 2ab + b2
Nicht vergessen: ( a – b ) 2 = ( a – b ) ⋅ (a – b )
Dritte binomische Formel:
( a + b ) ⋅ ( a – b ) = a2 - b2
1. Klammere größtmögliche gemeinsame Faktoren aus:
35ab – 21a2b + 63ab2 =___________________
42k3l2m – 77k2l3m2 - 14k2l2m2 = _________________
2. Vereinfache so weit wie möglich:
-18f – [-16g + (- 28f +2 – 20g)] = __________________
(d + 3e) 2 = ______________________
(5x - y) 2 = ______________________
(5
6u−7
2v)2
= _________________________
(3x - 4y) (6y + 7x) = ______________________
(3x + 4)2 - (3 - 2x)2 =______________________
2y (3y - 8x) (3y + 8x) =_____________________
3. Fülle die Lücken:
c2 + 34c + _____ = ( _____ + ______ ) 2
9x2 + _____ + 25y2 = (3x + _____ )2
Faktorisieren - Binomische Formeln 1
Faktorisieren bedeutet eine Summe oder Differenz in ein Produkt zu verwandeln.
Mit faktorisierten Termen kann man häufig deutlich besser weiterrechnen.
Verschiedene Verfahren zum Faktorisieren:
Ausklammern
Beispiel:
x2 + 4x = x ⋅ ( x + 4 )
Vorsicht: Das Ausklammern einer Zahl reicht nicht zum Faktorisieren.
Erste binomische Formel:
( a + b )² = a² + 2ab + b²
Nicht vergessen: ( a + b )² = ( a + b ) ⋅ ( a + b )
Zweite binomische Formel:
( a – b )2 = a2 - 2ab + b2
Nicht vergessen: ( a – b ) 2 = ( a – b ) ⋅ (a – b )
Dritte binomische Formel:
( a + b ) ⋅ ( a – b ) = a2 - b2
1. Klammere größtmögliche gemeinsame Faktoren aus:
35ab – 21a2b + 63ab2 =___________________
42k3l2m – 77k2l3m2 - 14k2l2m2 = _________________
2. Vereinfache so weit wie möglich:
-18f – [-16g + (- 28f +2 – 20g)] = __________________
(d + 3e) 2 = ______________________
(5x - y) 2 = ______________________
(5
6u−7
2v)2
= _________________________
(3x - 4y) (6y + 7x) = ______________________
(3x + 4)2 - (3 - 2x)2 =______________________
2y (3y - 8x) (3y + 8x) =_____________________
3. Fülle die Lücken:
c2 + 34c + _____ = ( _____ + ______ ) 2
9x2 + _____ + 25y2 = (3x + _____ )2
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Faktorisieren – Binomische- Formeln 2
1. Verwandle in ein Produkt (= Faktorisiere):
a) 9x2 + 78x + 169 =________________
b) 0,49a2 - 0,25b2 =__________________
2. Klammere vor dem Faktorisieren einen geeigneten Faktor aus:
a) 3x2 - 6xy + 3y2 =______________________
b) 8u2 - 18y2 =______________________
3. Gib die Oberfläche des Quaders mit einem Term an (nur Term, keine
Berechnung)
x-1
4x+1
2x
4. Klammere einen gemeinsamen Faktor aus.
a) 5a + 5b b) 3x + 3y c) 4x + 4y
d) 8ab + 8cd e) 15m + 5 n f) 3e + 6f
5. Klammere einen gemeinsamen Faktor aus.
a) 4x – 2y b) 12m – 8n c) 9r – 3s
d) 2ab – 4xy e) 20r – 5s f) 5p – 20q
6. Faktorisiere so, dass in der Klammer ein möglichst einfacher Term
entsteht.
a) 8ab + 4ac b) 24x2 + 8xy c) 40uv2 – 32u2v
d) 4xy – 16xz e) 12a2b2 – 4ac f) 12rs + 32st
7. Faktorisiere.
a) 15a – 5 b) r2s – s c) 9mn – 3m
d) 24x2y2 – 4x e) 15x + 10 f) x2y + x
8. Faktorisiere.
a) uv – uvw – u2v b) 4rs – rt + r c) 6ab + 18b – 2bc
d) 12x – 18xy + xz e) 3ab + 9a – ax f) ab + 8a + a2
Faktorisieren – Binomische- Formeln 2
1. Verwandle in ein Produkt (= Faktorisiere):
a) 9x2 + 78x + 169 =________________
b) 0,49a2 - 0,25b2 =__________________
2. Klammere vor dem Faktorisieren einen geeigneten Faktor aus:
a) 3x2 - 6xy + 3y2 =______________________
b) 8u2 - 18y2 =______________________
3. Gib die Oberfläche des Quaders mit einem Term an (nur Term, keine
Berechnung)
x-1
4x+1
2x
4. Klammere einen gemeinsamen Faktor aus.
a) 5a + 5b b) 3x + 3y c) 4x + 4y
d) 8ab + 8cd e) 15m + 5 n f) 3e + 6f
5. Klammere einen gemeinsamen Faktor aus.
a) 4x – 2y b) 12m – 8n c) 9r – 3s
d) 2ab – 4xy e) 20r – 5s f) 5p – 20q
6. Faktorisiere so, dass in der Klammer ein möglichst einfacher Term
entsteht.
a) 8ab + 4ac b) 24x2 + 8xy c) 40uv2 – 32u2v
d) 4xy – 16xz e) 12a2b2 – 4ac f) 12rs + 32st
7. Faktorisiere.
a) 15a – 5 b) r2s – s c) 9mn – 3m
d) 24x2y2 – 4x e) 15x + 10 f) x2y + x
8. Faktorisiere.
a) uv – uvw – u2v b) 4rs – rt + r c) 6ab + 18b – 2bc
d) 12x – 18xy + xz e) 3ab + 9a – ax f) ab + 8a + a2
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Faktorisieren – Binomische- Formeln 3
1. Klammere aus je zwei Summanden den gemeinsamen Faktor aus.
a) 6x + ax + 10y + by b) 4a – ab + 6x + xy c) a – ab + xy – y
d) ab + b2 + mn + n2 e) 4x + xy – 6a – ab f) 14x – x2 – ab + 10a
2. Schreibe als Produkt.
a) a(x + 3) + b(x + 3) b) x(y + 7) – 5(y + 7) c) a(8 – 4b) – 3(8 – 4b)
d) a(3 + c) – b(3 + c) e) x(a – b) – (a – b) f) x(r + v) + (r + v)
3. Faktorisiere.
a) 2a + ab + 2c + bc b) 5x – xy + 5z – yz c) ax + bx + ay + by
d) a2 + ax + ab + bx e) xy – xz + y2 – yz f) 8a + ax – 8b – bx
4. Faktorisiere mit Hilfe der 3. Binomischen Formel.
a) x2 – y2 b) k2 – 9 c) a2 – 16b2
d) 9,61x2 – 0,64y2 e) x2 – 1,44 f) r2 – 121s2
5. Faktorisiere mit Hilfe der 1. oder der 2. Binomischen Formel.
a) x2 + 2xy + y2 b) 9 + 12x + 4x2 c) x2 + 20xy + 100y2
d) 36 + 12b + b2 e) 25 – 10k + k2 f) r2 – 2rs + s2
6. Faktorisiere mit Hilfe einer Binomischen Formel.
a) 25x2 – 100y2 b) 400x2 – 900y2 c) 12uv + 36u2 + v2
d) 0,25a2 + 2ab + 4b2 e) 9x2 – 0,6xy + 0,01y2 f) 16u2 + v2 – 8uv
7. Faktorisiere mit Hilfe einer Binomischen Formel; klammere zunächst einen
gemeinsamen Faktor aus.
a) 8x2 – 98y2 b) 810a2 – 360ab + 40b2 c) 980x2 – 320y2
d) 8a2 + 24ab + 18b2 e) 2x2 + 4xy + 2y2 f) 108r2 + 252rs + 147s2
8. Faktorisiere.
a) a2 + 8a + 15 b) y2 + 5y + 4 c) x2 + 7x + 6
d) a2 + 2a – 8 e) p2 + 6p – 16 f) y2 + 5y – 36
Faktorisieren – Binomische- Formeln 3
1. Klammere aus je zwei Summanden den gemeinsamen Faktor aus.
a) 6x + ax + 10y + by b) 4a – ab + 6x + xy c) a – ab + xy – y
d) ab + b2 + mn + n2 e) 4x + xy – 6a – ab f) 14x – x2 – ab + 10a
2. Schreibe als Produkt.
a) a(x + 3) + b(x + 3) b) x(y + 7) – 5(y + 7) c) a(8 – 4b) – 3(8 – 4b)
d) a(3 + c) – b(3 + c) e) x(a – b) – (a – b) f) x(r + v) + (r + v)
3. Faktorisiere.
a) 2a + ab + 2c + bc b) 5x – xy + 5z – yz c) ax + bx + ay + by
d) a2 + ax + ab + bx e) xy – xz + y2 – yz f) 8a + ax – 8b – bx
4. Faktorisiere mit Hilfe der 3. Binomischen Formel.
a) x2 – y2 b) k2 – 9 c) a2 – 16b2
d) 9,61x2 – 0,64y2 e) x2 – 1,44 f) r2 – 121s2
5. Faktorisiere mit Hilfe der 1. oder der 2. Binomischen Formel.
a) x2 + 2xy + y2 b) 9 + 12x + 4x2 c) x2 + 20xy + 100y2
d) 36 + 12b + b2 e) 25 – 10k + k2 f) r2 – 2rs + s2
6. Faktorisiere mit Hilfe einer Binomischen Formel.
a) 25x2 – 100y2 b) 400x2 – 900y2 c) 12uv + 36u2 + v2
d) 0,25a2 + 2ab + 4b2 e) 9x2 – 0,6xy + 0,01y2 f) 16u2 + v2 – 8uv
7. Faktorisiere mit Hilfe einer Binomischen Formel; klammere zunächst einen
gemeinsamen Faktor aus.
a) 8x2 – 98y2 b) 810a2 – 360ab + 40b2 c) 980x2 – 320y2
d) 8a2 + 24ab + 18b2 e) 2x2 + 4xy + 2y2 f) 108r2 + 252rs + 147s2
8. Faktorisiere.
a) a2 + 8a + 15 b) y2 + 5y + 4 c) x2 + 7x + 6
d) a2 + 2a – 8 e) p2 + 6p – 16 f) y2 + 5y – 36
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Faktorisieren – Binomische- Formeln 4
1. Vereinfache den Term durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen
1. Faktorisiere.
a) b2 – 2b – 24 b) q2 – 8q – 9 c) z2 – 11z – 12
d) m2 + 5mn – 24n2 e) 9x2 – 10xy + y2 f) 14a2 – 9ab + b2
Zerlege die folgenden Summen in Faktoren. Überprüfe, ob eine der drei
Binomischen Formeln Anwendung findet.
2. a) 8a – 12b b) 15m – 25s c) 24u + 8 v d) 22x – 11
e) ab + ac f) bx – by g) pq + qr h) xy + y2
3. a) 15ab + 25a b) 18mn – 24n c) 27pq + 36p d) 8yz – 16z
e) 21a2 – 24a f) 45x2 – 36x g) 20y + 28y2 h) 12z2 – 18z
4. a) 9a2b2 – 6a2b + 15ab2 b) 24pq2 + 12p2q – 4p2q2 c) 14xy2 – 21x2y + 7xy
d) a(p + q) + b(p + q) e) p(a – b) – q(a – b) f) m(x + y) – n(x + y)
5. a) a2 – 25 b) a2 + 10a + 25 c) p2 – 12p + 36 d) 4 – x2
e) 1 – p2 f) x2 + 14x + 49 g) a2 + 8a + 15 h) p2 + 9p + 18
6. a) 9x2 – 4y2 b) x2 + 7x + 6 c) y2 + 5y + 4 d) 1 + 4a + 4a2
e) 16 + 8x + x2 f) 1 – 4u2v2 g) 36q4 – 25q2 h) 1 – 10y + 25y2
7. a) 4a2 – 4ab + b2 b) n2 – n – 20 c) 7p2 + 8pq + q2
d) z2 – 11z – 12 e) x4y4 – z4 f) 25p2 + 1 + 10p
8. a) b2 – 2b – 24 b) x2 + x – 12 c) 144y2 – 169 z2
d) 81x2 + 36xy + 4y2 e) 64u2 + 25v2 – 80uv f) b2 – 2b + 1
9. Schreibe als Summe
6 (x + 3y) = _________ 7x (2x + 3y) = _________
1,5 (3 – 4xa) = _______ (7x + _____) · (-x) = __________-3xy
(8x + 4) : 2 = ________ (____ - 6) : (-2) = -a + ________
(-16y – 4y2) : 4y = ________ (________) : 2 = x – 6y
10. Sue hat vergessen, Klammern zu setzen. Verbessere
2 · 7x + 4 = 14x + 8 3xy – 12x2 = 3x · y – 4x
-5 · 5 · xy + 4 · x = -25 · xy – 20 · x
2xy2z – 2xy · 3x = 6x2y2 · z – 6x2y
21x3y – 12x2y2 + 9x2yz = 7x2y – 4xy2 + 3xyz · 3x
Faktorisieren – Binomische- Formeln 4
1. Vereinfache den Term durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen
1. Faktorisiere.
a) b2 – 2b – 24 b) q2 – 8q – 9 c) z2 – 11z – 12
d) m2 + 5mn – 24n2 e) 9x2 – 10xy + y2 f) 14a2 – 9ab + b2
Zerlege die folgenden Summen in Faktoren. Überprüfe, ob eine der drei
Binomischen Formeln Anwendung findet.
2. a) 8a – 12b b) 15m – 25s c) 24u + 8 v d) 22x – 11
e) ab + ac f) bx – by g) pq + qr h) xy + y2
3. a) 15ab + 25a b) 18mn – 24n c) 27pq + 36p d) 8yz – 16z
e) 21a2 – 24a f) 45x2 – 36x g) 20y + 28y2 h) 12z2 – 18z
4. a) 9a2b2 – 6a2b + 15ab2 b) 24pq2 + 12p2q – 4p2q2 c) 14xy2 – 21x2y + 7xy
d) a(p + q) + b(p + q) e) p(a – b) – q(a – b) f) m(x + y) – n(x + y)
5. a) a2 – 25 b) a2 + 10a + 25 c) p2 – 12p + 36 d) 4 – x2
e) 1 – p2 f) x2 + 14x + 49 g) a2 + 8a + 15 h) p2 + 9p + 18
6. a) 9x2 – 4y2 b) x2 + 7x + 6 c) y2 + 5y + 4 d) 1 + 4a + 4a2
e) 16 + 8x + x2 f) 1 – 4u2v2 g) 36q4 – 25q2 h) 1 – 10y + 25y2
7. a) 4a2 – 4ab + b2 b) n2 – n – 20 c) 7p2 + 8pq + q2
d) z2 – 11z – 12 e) x4y4 – z4 f) 25p2 + 1 + 10p
8. a) b2 – 2b – 24 b) x2 + x – 12 c) 144y2 – 169 z2
d) 81x2 + 36xy + 4y2 e) 64u2 + 25v2 – 80uv f) b2 – 2b + 1
9. Schreibe als Summe
6 (x + 3y) = _________ 7x (2x + 3y) = _________
1,5 (3 – 4xa) = _______ (7x + _____) · (-x) = __________-3xy
(8x + 4) : 2 = ________ (____ - 6) : (-2) = -a + ________
(-16y – 4y2) : 4y = ________ (________) : 2 = x – 6y
10. Sue hat vergessen, Klammern zu setzen. Verbessere
2 · 7x + 4 = 14x + 8 3xy – 12x2 = 3x · y – 4x
-5 · 5 · xy + 4 · x = -25 · xy – 20 · x
2xy2z – 2xy · 3x = 6x2y2 · z – 6x2y
21x3y – 12x2y2 + 9x2yz = 7x2y – 4xy2 + 3xyz · 3x
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Faktorisieren – Binomische- Formeln 5
1. Hier wurden Fehler gemacht, berichtige die Fehler
(4a + 4) 2 = 16a2 + 16a + 16+
(-1a - 6) 2 = -a2 - 12a + 36
(-10x + 7) 2 = 100x2 - 140x + 49x
(9x – 8) 2 = 81x2 - 126x + 64
(4b – 4c) (4b + 4c) = 16b2 - 8c2
2. Fülle die Lücken so, dass Binome entstehen
(x + ___)2 = ___ + 2xy + ____ (x + ___)2 = ___ + 6xy + ___
(2x - ___) (___ + ___) = ___ - 25y2 (x - ___)2 = ___ - 4xy + ___
(___ - 7y) 2 = 9x2 - ___ + ___ (___ + ___)2 = 4x2 + 52xy + ___
3. Verwandle in ein Produkt
a2 - 4ab + 4b2 = _______________ 4x2 + 20x +25 = ______________
36n2 - 1 = ____________ 900m² - 6400 n2 = _____________
9b2 + 6bc + c2 = _____________ x2 - xy + 1
4y² = _______________
49 – b2 = _______________ v2 + 18uv + 81u2 = _____________
3. Forme in eine Summe oder Differenz um. Vereinfache dabei soweit wie
möglich.
(a + 4) 2 = __________ (x – 0,5) 2 = _________
(2x – 1) (2x + 1) = ___________ (0,1z – 10) 2 = __________
(3x + 7) 2 – (3x – 7) 2 = ___________ (8a – 1) 2 + (4a + 1) (4a – 1) = ______
4. Ergänze zunächst so, dass Du eine binomische Formel anwenden kannst.
Wandle anschließend in ein Produkt um.
______ - 32a + 64 = _______________
1
4a²x²+2axy+ ______ = __________________
5. Faktorisiere mit Hilfe einer binomischen Formel. Manchmal musst Du vorher
einen Faktor ausklammern.
25a2 – 50a + 25 = _____________ 2c2 – 32
9a2 + 6a + 1= ______________ 7a2 + 28ab + 28b2 = ________________________
32x4 + 48x2y + 18y2 = ______________ z3 - z = ___________
Faktorisieren – Binomische- Formeln 5
1. Hier wurden Fehler gemacht, berichtige die Fehler
(4a + 4) 2 = 16a2 + 16a + 16+
(-1a - 6) 2 = -a2 - 12a + 36
(-10x + 7) 2 = 100x2 - 140x + 49x
(9x – 8) 2 = 81x2 - 126x + 64
(4b – 4c) (4b + 4c) = 16b2 - 8c2
2. Fülle die Lücken so, dass Binome entstehen
(x + ___)2 = ___ + 2xy + ____ (x + ___)2 = ___ + 6xy + ___
(2x - ___) (___ + ___) = ___ - 25y2 (x - ___)2 = ___ - 4xy + ___
(___ - 7y) 2 = 9x2 - ___ + ___ (___ + ___)2 = 4x2 + 52xy + ___
3. Verwandle in ein Produkt
a2 - 4ab + 4b2 = _______________ 4x2 + 20x +25 = ______________
36n2 - 1 = ____________ 900m² - 6400 n2 = _____________
9b2 + 6bc + c2 = _____________ x2 - xy + 1
4y² = _______________
49 – b2 = _______________ v2 + 18uv + 81u2 = _____________
3. Forme in eine Summe oder Differenz um. Vereinfache dabei soweit wie
möglich.
(a + 4) 2 = __________ (x – 0,5) 2 = _________
(2x – 1) (2x + 1) = ___________ (0,1z – 10) 2 = __________
(3x + 7) 2 – (3x – 7) 2 = ___________ (8a – 1) 2 + (4a + 1) (4a – 1) = ______
4. Ergänze zunächst so, dass Du eine binomische Formel anwenden kannst.
Wandle anschließend in ein Produkt um.
______ - 32a + 64 = _______________
1
4a²x²+2axy+ ______ = __________________
5. Faktorisiere mit Hilfe einer binomischen Formel. Manchmal musst Du vorher
einen Faktor ausklammern.
25a2 – 50a + 25 = _____________ 2c2 – 32
9a2 + 6a + 1= ______________ 7a2 + 28ab + 28b2 = ________________________
32x4 + 48x2y + 18y2 = ______________ z3 - z = ___________
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Faktorisieren - binomische Formeln - Lösungen 1
1. Klammere größtmögliche gemeinsame Faktoren aus:
35ab – 21a2b + 63ab2 = 7 ab (5 – 3a + 9b)
42k3l2m – 77k2l3m2 - 14k2l2m2 = 7 k2l2m (6k -11lm - 2m)
2. Vereinfache so weit wie möglich:
-18f – [-16g + ( - 28f + 2 – 20g)] = -18f – [ -16g - 28f + 2 - 20g] =
-18f + 16g + 28f + 2 + 20g =
28f -18f +16g + 20g + 2 =
10f + 36g – 2
(d + 3e) 2 = d2 + 6de + 9e2
(5x - y) 2 = 25x2 - 10xy + y2
(5
6u−7
2v)2
=25
36u²−2 ∙ 5 ∙7
6 ∙ 2 uv+49
4 v²=25
36u²−70
12uv+49
4 v²=25
36u²−55
6uv+121
4v²
(3x - 4y) (6y + 7x) = 18xy + 21x2 - 24y2 - 28xy =
21x2 -10xy - 24y2
(3x + 4) 2 - (3 - 2x) 2 = 9x2 + 24x + 16 – (9 – 12x + 4x2) =
9x2 + 24x + 16 – 9 + 12x – 4x2 =
5x² + 36x + 9
2y (3y - 8x) (3y + 8x) = 2y ∙ (9y2 - 64x2) =
18y3 - 128x2y
3. Fülle die Lücken:
c2 + 34c + 289 = ( c + 17 )2
9x2 + 30xy + 25y2 = ( 3x + 5y )2
Faktorisieren - binomische Formeln - Lösungen 1
1. Klammere größtmögliche gemeinsame Faktoren aus:
35ab – 21a2b + 63ab2 = 7 ab (5 – 3a + 9b)
42k3l2m – 77k2l3m2 - 14k2l2m2 = 7 k2l2m (6k -11lm - 2m)
2. Vereinfache so weit wie möglich:
-18f – [-16g + ( - 28f + 2 – 20g)] = -18f – [ -16g - 28f + 2 - 20g] =
-18f + 16g + 28f + 2 + 20g =
28f -18f +16g + 20g + 2 =
10f + 36g – 2
(d + 3e) 2 = d2 + 6de + 9e2
(5x - y) 2 = 25x2 - 10xy + y2
(5
6u−7
2v)2
=25
36u²−2 ∙ 5 ∙7
6 ∙ 2 uv+49
4 v²=25
36u²−70
12uv+49
4 v²=25
36u²−55
6uv+121
4v²
(3x - 4y) (6y + 7x) = 18xy + 21x2 - 24y2 - 28xy =
21x2 -10xy - 24y2
(3x + 4) 2 - (3 - 2x) 2 = 9x2 + 24x + 16 – (9 – 12x + 4x2) =
9x2 + 24x + 16 – 9 + 12x – 4x2 =
5x² + 36x + 9
2y (3y - 8x) (3y + 8x) = 2y ∙ (9y2 - 64x2) =
18y3 - 128x2y
3. Fülle die Lücken:
c2 + 34c + 289 = ( c + 17 )2
9x2 + 30xy + 25y2 = ( 3x + 5y )2
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Faktorisieren - binomische Formeln - Lösungen 2
1. Verwandle in ein Produkt (= faktorisiere):
a) 9x2 + 78x + 169 = (3x + 13)2
b) 0,49a2 - 0,25b2 = (0,7a - 0,5b) (0,7a + 0,5b)
2. Klammere vor dem Faktorisieren einen geeigneten Faktor aus:
a) 3x2 - 6xy +3y2 = 3 (x2 - 2xy + y2) = 3 (x - y)2
b) 8u2 - 18y2 = 2 ( 4u2 - 9y2 ) = 2 (2 u - 3y ) (2u + 3y)
3. Gib die Oberfläche des Quaders mit einem Term an.
(nur Term, keine Berechnung)
2 (4x + 1) (x - 1) + 2 (2x) (x – 1) + 2 (4x + 1) (2x)
4. Klammere einen gemeinsamen Faktor aus.
a) 5a + 5b
= 5 (a + b)
b) 3x + 3y =
3 (x + y)
c) 4x + 4y =
4 (x + y)
d) 8ab + 8cd = e) 15m + 5 n f) 3e + 6f
= 8 (ab + cd) = 5 (3m + n) = 3 (e + 2f)
5. Klammere einen gemeinsamen Faktor aus.
a) 4x – 2y b) 12m – 8n c) 9r – 3s
= 2 (2x – y) = 4 (3m – 2n) = 3 (3r – s)
d) 2ab – 4xy e) 20r – 5s f) 5p – 20q
= 2 (ab – 2xy) = 5 (4r – s) = 5 (p – 4q)
6. Faktorisiere so, dass in der Klammer ein möglichst einfacher Term
entsteht.
a) 8ab + 4ac b) 24x2 + 8xy c) 40uv2 – 32u2v
= 4a (2b + c) = 8x (3x + y) = 8uv (5v – 4u)
d) 4xy – 16xz e) 12a2b2 – 4ac f) 12rs + 32st
= 4x (y – 4z) = 4a (3ab² – c) = 4s (3r + 8t)
7. Faktorisiere.
a) 15a – 5 b) r2s – s c) 9mn – 3m
= 5 (3a – 1) = s (r² – 1) =
s (r + 1)(r – 1)
= 3m (3n – 1)
d) 24x2y2 – 4x e) 15x + 10 f) x2y + x
= 4x (6xy² – 1) = 5 (3x + 2) = x (xy + 1)
8. Faktorisiere.
a) uv – uvw – u2v b) 4rs – rt + r c) 6ab + 18b – 2bc
= uv (1 – w – u) = r (4s – t + 1) = 2b (3a + 9 – c)
d) 12x – 18xy + xz e) 3ab + 9a – ax f) ab + 8a + a2
= x (12 – 18y + z) = a (3b + 9 – x) = a (b + 8 + a)
Faktorisieren - binomische Formeln - Lösungen 2
1. Verwandle in ein Produkt (= faktorisiere):
a) 9x2 + 78x + 169 = (3x + 13)2
b) 0,49a2 - 0,25b2 = (0,7a - 0,5b) (0,7a + 0,5b)
2. Klammere vor dem Faktorisieren einen geeigneten Faktor aus:
a) 3x2 - 6xy +3y2 = 3 (x2 - 2xy + y2) = 3 (x - y)2
b) 8u2 - 18y2 = 2 ( 4u2 - 9y2 ) = 2 (2 u - 3y ) (2u + 3y)
3. Gib die Oberfläche des Quaders mit einem Term an.
(nur Term, keine Berechnung)
2 (4x + 1) (x - 1) + 2 (2x) (x – 1) + 2 (4x + 1) (2x)
4. Klammere einen gemeinsamen Faktor aus.
a) 5a + 5b
= 5 (a + b)
b) 3x + 3y =
3 (x + y)
c) 4x + 4y =
4 (x + y)
d) 8ab + 8cd = e) 15m + 5 n f) 3e + 6f
= 8 (ab + cd) = 5 (3m + n) = 3 (e + 2f)
5. Klammere einen gemeinsamen Faktor aus.
a) 4x – 2y b) 12m – 8n c) 9r – 3s
= 2 (2x – y) = 4 (3m – 2n) = 3 (3r – s)
d) 2ab – 4xy e) 20r – 5s f) 5p – 20q
= 2 (ab – 2xy) = 5 (4r – s) = 5 (p – 4q)
6. Faktorisiere so, dass in der Klammer ein möglichst einfacher Term
entsteht.
a) 8ab + 4ac b) 24x2 + 8xy c) 40uv2 – 32u2v
= 4a (2b + c) = 8x (3x + y) = 8uv (5v – 4u)
d) 4xy – 16xz e) 12a2b2 – 4ac f) 12rs + 32st
= 4x (y – 4z) = 4a (3ab² – c) = 4s (3r + 8t)
7. Faktorisiere.
a) 15a – 5 b) r2s – s c) 9mn – 3m
= 5 (3a – 1) = s (r² – 1) =
s (r + 1)(r – 1)
= 3m (3n – 1)
d) 24x2y2 – 4x e) 15x + 10 f) x2y + x
= 4x (6xy² – 1) = 5 (3x + 2) = x (xy + 1)
8. Faktorisiere.
a) uv – uvw – u2v b) 4rs – rt + r c) 6ab + 18b – 2bc
= uv (1 – w – u) = r (4s – t + 1) = 2b (3a + 9 – c)
d) 12x – 18xy + xz e) 3ab + 9a – ax f) ab + 8a + a2
= x (12 – 18y + z) = a (3b + 9 – x) = a (b + 8 + a)
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Faktorisieren - binomische Formeln Lösungen 3
1. Klammere aus je zwei Summanden den gemeinsamen Faktor aus.
a) 6x + ax + 10y + by b) 4a – ab + 6x + xy c) a – ab + xy – y
= x(6 + a) + y(10 + b) = a(4 – b) + x(6 + y) = a(1 – b) + y(x – 1)
d) ab + b2 + mn + n2 e) 4x + xy – 6a – ab f) 14x – x2 – ab + 10a
= b(a + b) + n(m + n) = x(4 + y) – a(6 + b) = x(14 – x) – a(b – 10)
2. Schreibe als Produkt.
a) a(x + 3) + b(x + 3) b) x(y + 7) – 5(y + 7) c) a(8 – 4b) – 3(8 – 4b)
= (a + b)(x + 3) = (x – 5)(y + 7) = (a – 3)(8 – 4b)
d) a(3 + c) – b(3 + c) e) x(a – b) – (a – b) f) x(r + v) + (r + v)
= (a – b)(3 + c) = (x – 1)(a – b) = (x + 1)(r + v)
3. Faktorisiere.
a) 2a + ab + 2c + bc b) 5x – xy + 5z – yz c) ax + bx + ay + by
= a(2 + b) + c(2 + b) = x(5 – y) + z(5 – y) = x(a + b) + y(a + b)
= (a + c)(2 + b) = (x + z)(5 – y) = (x + y)(a + b)
d) a2 + ax + ab + bx e) xy – xz + y2 – yz f) 8a + ax – 8b – bx
= a(a + x) + b(a + x) = x(y – z) + y(y – z) = a(8 + x) – b(8 + x)
= (a + b)(a + x) = (x + y)(y – z) = (a – b)(8 + x)
4. Faktorisiere mit Hilfe der 3. Binomischen Formel.
a) x2 – y2 b) k2 – 9 c) a2 – 16b2
= (x + y)(x – y) = (k + 3)(k – 3) = (a + 4b)(a – 4b)
d) 9,61x2 – 0,64y² e) x2 – 1,44 f) r2 – 121s2
= (3,1x + 0,8y) ∙
(3,1x – 0,8y)
= (x + 1,2)(x – 1,2) = (r + 11s)(r – 11s)
5. Faktorisiere mit Hilfe der 1. oder der 2. Binomischen Formel.
a) x2 + 2xy + y2 b) 9 + 12x + 4x2 c) x2 + 20xy + 100y2
= (x + y) 2 = (3 + 2x) 2 = (x + 10y) 2
d) 36 + 12b + b2 e) 25 – 10k + k2 f) r2 – 2rs + s2
= (6 + b) 2 = (5 – k) 2 = (r – s) 2
6. Faktorisiere mit Hilfe einer Binomischen Formel.
a) 25x2 – 100y2 b) 400x2 – 900y2 c) 12uv + 36u2 + v2
= (5x + 10y)(5x – 10y) = (20x + 30y)(2x – 30y) = (v + 6u)2
d) 0,25a2 + 2ab + 4b2 e) 9x2 – 0,6xy + 0,01y2 f) 16u2 + v2 – 8uv
= (0,5a + 2b) 2 = (3x – 0,1y) 2 = (4u – v) 2
Faktorisieren - binomische Formeln Lösungen 3
1. Klammere aus je zwei Summanden den gemeinsamen Faktor aus.
a) 6x + ax + 10y + by b) 4a – ab + 6x + xy c) a – ab + xy – y
= x(6 + a) + y(10 + b) = a(4 – b) + x(6 + y) = a(1 – b) + y(x – 1)
d) ab + b2 + mn + n2 e) 4x + xy – 6a – ab f) 14x – x2 – ab + 10a
= b(a + b) + n(m + n) = x(4 + y) – a(6 + b) = x(14 – x) – a(b – 10)
2. Schreibe als Produkt.
a) a(x + 3) + b(x + 3) b) x(y + 7) – 5(y + 7) c) a(8 – 4b) – 3(8 – 4b)
= (a + b)(x + 3) = (x – 5)(y + 7) = (a – 3)(8 – 4b)
d) a(3 + c) – b(3 + c) e) x(a – b) – (a – b) f) x(r + v) + (r + v)
= (a – b)(3 + c) = (x – 1)(a – b) = (x + 1)(r + v)
3. Faktorisiere.
a) 2a + ab + 2c + bc b) 5x – xy + 5z – yz c) ax + bx + ay + by
= a(2 + b) + c(2 + b) = x(5 – y) + z(5 – y) = x(a + b) + y(a + b)
= (a + c)(2 + b) = (x + z)(5 – y) = (x + y)(a + b)
d) a2 + ax + ab + bx e) xy – xz + y2 – yz f) 8a + ax – 8b – bx
= a(a + x) + b(a + x) = x(y – z) + y(y – z) = a(8 + x) – b(8 + x)
= (a + b)(a + x) = (x + y)(y – z) = (a – b)(8 + x)
4. Faktorisiere mit Hilfe der 3. Binomischen Formel.
a) x2 – y2 b) k2 – 9 c) a2 – 16b2
= (x + y)(x – y) = (k + 3)(k – 3) = (a + 4b)(a – 4b)
d) 9,61x2 – 0,64y² e) x2 – 1,44 f) r2 – 121s2
= (3,1x + 0,8y) ∙
(3,1x – 0,8y)
= (x + 1,2)(x – 1,2) = (r + 11s)(r – 11s)
5. Faktorisiere mit Hilfe der 1. oder der 2. Binomischen Formel.
a) x2 + 2xy + y2 b) 9 + 12x + 4x2 c) x2 + 20xy + 100y2
= (x + y) 2 = (3 + 2x) 2 = (x + 10y) 2
d) 36 + 12b + b2 e) 25 – 10k + k2 f) r2 – 2rs + s2
= (6 + b) 2 = (5 – k) 2 = (r – s) 2
6. Faktorisiere mit Hilfe einer Binomischen Formel.
a) 25x2 – 100y2 b) 400x2 – 900y2 c) 12uv + 36u2 + v2
= (5x + 10y)(5x – 10y) = (20x + 30y)(2x – 30y) = (v + 6u)2
d) 0,25a2 + 2ab + 4b2 e) 9x2 – 0,6xy + 0,01y2 f) 16u2 + v2 – 8uv
= (0,5a + 2b) 2 = (3x – 0,1y) 2 = (4u – v) 2
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7. Faktorisiere mit Hilfe einer Binomischen Formel; klammere zunächst einen
gemeinsamen Faktor aus.
a) 8x2 – 98y2
= 2 (4x2 – 49y2)=
b) 810a2 – 360ab + 40b2
= 10(81a2 – 36ab + 4b2)
c) 980x2 – 320y2
= 20(49x2 – 16y2)
= 2(2x + 7y)(2x – 7y) = 10(9a – 2b) 2 = 20(7x + 4y)(7x – 4y)
d) 8a2 + 24ab + 18b2 e) 2x2 + 4xy + 2y2 f) 108r2 + 252rs + 147s2
= 2(4a2 + 12ab + 9b2) = 2(x2 + 2xy + y2) = 3(36r2 + 84rs + 49s2)
=2(2a + 3b) 2 = 2(x + y) 2 = 3(6r + 7s) 2
8. Faktorisiere.
a) a2 + 8a + 15 b) y2 + 5y + 4 c) x2 + 7x + 6
= (a + 3)(a + 5) = (y + 4)(y + 1) = (x + 1)(x + 6)
d) a2 + 2a – 8 e) p2 + 6p – 16 f) y2 + 5y – 36
= (a + 4)(a – 2) = (p + 8)(p – 2) = (y + 9)(y – 4)
Faktorisieren - binomische Formeln Lösungen 4
1. Faktorisiere.
a) b2 – 2b – 24 b) q2 – 8q – 9 c) z2 – 11z – 12
= (b + 4)(b – 6) = (q + 1)(q – 9) = (z + 1)(z – 12)
d) m2 + 5mn – 24n2 e) 9x2 – 10xy + y2 f) 14a2 – 9ab + b2
= (m + 8n)(m – 3n) = (9x – y)(x – y) = (7a – b)(2a – b)
Zerlege die folgenden Summen in Faktoren. Überprüfe, ob eine der drei
Binomischen Formeln Anwendung findet.
2. a) 8a – 12b b) 15m – 25s c) 24u + 8 v d) 22x – 11
= 4(2a – 3b) = 5(3m – 5s) = 8(3u + v) = 11(2x – 1)
e) ab + ac f) bx – by g) pq + qr h) xy + y2
= a(b + c) = b(x – y) = q(p + r) = y(x + y)
3. a) 15ab + 25a b) 18mn – 24n c) 27pq + 36p d) 8yz – 16z
= 5a(3b + 5) = 6n(3m – 4) = 9p(3q + 4) = 8z(y – 2)
e) 21a2 – 24a f) 45x2 – 36x g) 20y + 28y2 h) 12z2 – 18z
= 3a(7a – 8) = 9x(5x – 4) = 4y(5 + 7y) = 6z(2z – 3)
4. a) 9a2b2 – 6a2b + 15ab2 b) 24pq2 + 12p2q – 4p2q2 c) 14xy2 – 21x2y + 7xy
=3ab(3ab – 2a + 5b) = 4pq (6q + 3p – pq) = 7xy (2y – 3x + 1)
d) a(p + q) + b(p + q) e) p(a – b) – q(a – b) f) m(x + y) – n(x + y)
= (a + b)(p + q) = (p – q)(a – b) = (m – n)(x + y)
5. a) a2 – 25 b) a2 + 10a + 25 c) p2 – 12p + 36 d) 4 – x2
7. Faktorisiere mit Hilfe einer Binomischen Formel; klammere zunächst einen
gemeinsamen Faktor aus.
a) 8x2 – 98y2
= 2 (4x2 – 49y2)=
b) 810a2 – 360ab + 40b2
= 10(81a2 – 36ab + 4b2)
c) 980x2 – 320y2
= 20(49x2 – 16y2)
= 2(2x + 7y)(2x – 7y) = 10(9a – 2b) 2 = 20(7x + 4y)(7x – 4y)
d) 8a2 + 24ab + 18b2 e) 2x2 + 4xy + 2y2 f) 108r2 + 252rs + 147s2
= 2(4a2 + 12ab + 9b2) = 2(x2 + 2xy + y2) = 3(36r2 + 84rs + 49s2)
=2(2a + 3b) 2 = 2(x + y) 2 = 3(6r + 7s) 2
8. Faktorisiere.
a) a2 + 8a + 15 b) y2 + 5y + 4 c) x2 + 7x + 6
= (a + 3)(a + 5) = (y + 4)(y + 1) = (x + 1)(x + 6)
d) a2 + 2a – 8 e) p2 + 6p – 16 f) y2 + 5y – 36
= (a + 4)(a – 2) = (p + 8)(p – 2) = (y + 9)(y – 4)
Faktorisieren - binomische Formeln Lösungen 4
1. Faktorisiere.
a) b2 – 2b – 24 b) q2 – 8q – 9 c) z2 – 11z – 12
= (b + 4)(b – 6) = (q + 1)(q – 9) = (z + 1)(z – 12)
d) m2 + 5mn – 24n2 e) 9x2 – 10xy + y2 f) 14a2 – 9ab + b2
= (m + 8n)(m – 3n) = (9x – y)(x – y) = (7a – b)(2a – b)
Zerlege die folgenden Summen in Faktoren. Überprüfe, ob eine der drei
Binomischen Formeln Anwendung findet.
2. a) 8a – 12b b) 15m – 25s c) 24u + 8 v d) 22x – 11
= 4(2a – 3b) = 5(3m – 5s) = 8(3u + v) = 11(2x – 1)
e) ab + ac f) bx – by g) pq + qr h) xy + y2
= a(b + c) = b(x – y) = q(p + r) = y(x + y)
3. a) 15ab + 25a b) 18mn – 24n c) 27pq + 36p d) 8yz – 16z
= 5a(3b + 5) = 6n(3m – 4) = 9p(3q + 4) = 8z(y – 2)
e) 21a2 – 24a f) 45x2 – 36x g) 20y + 28y2 h) 12z2 – 18z
= 3a(7a – 8) = 9x(5x – 4) = 4y(5 + 7y) = 6z(2z – 3)
4. a) 9a2b2 – 6a2b + 15ab2 b) 24pq2 + 12p2q – 4p2q2 c) 14xy2 – 21x2y + 7xy
=3ab(3ab – 2a + 5b) = 4pq (6q + 3p – pq) = 7xy (2y – 3x + 1)
d) a(p + q) + b(p + q) e) p(a – b) – q(a – b) f) m(x + y) – n(x + y)
= (a + b)(p + q) = (p – q)(a – b) = (m – n)(x + y)
5. a) a2 – 25 b) a2 + 10a + 25 c) p2 – 12p + 36 d) 4 – x2
